全等三角形.第4讲.全等三角形与旋转问题.学生版

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转问题把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度，得到图形G，这样的由图形G到把图形G绕平面上的一个定点点0叫做旋转中心，叫做旋转角，G叫做G的象；G叫做G的原象，无论是什么图形，在旋转变换下,象与原象是全等形.很明显，旋转变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等;对应直线的交角等于旋转角.旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演.

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化%.#「秦，*【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是)•B与其余三个图案旋转的角度不同，它是)•BAEFG可以看成是把A.顺时针旋转60AEFG可以看成是把A.顺时针旋转60。得到B.顺时针旋转120。得到C•逆时针旋转60。得到D.逆时针旋转120。得到【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形菱形ABCD以A为中心（）.CC【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△:DE,AD交CE于F,BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（）.【例4】已知：如图，点C为线段AB上一点,ACM、CBN是等边三角形•求证：ANBM.【例5】如图,B,C,E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形,连结BD,AE分别交AC,DC于M,N点•求证：CMCN.【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点,【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点,EACM、CBN是等边三角形.求证：CF平分AFB.NNNN【补充】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.请你证明：⑴ANBM;⑵DEIIAB;⑶CF平分AFB•【例6】【例6】（2008年怀化市初中毕业学业考试试卷）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：AECG.GEGE【例7】如图，点【例7】如图，点C为线段AB上一点，ACM、证：CDE是等边三角形.CBN是等边三角形,D是AN中点，E是BM中点，求NN【例8】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点.求证：AEBD.ECEC【例9】如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD,BPAB,DBPDBC，问BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.

【例10】如图，等腰直角三角形ABC中，ZB90,ABa,O为AC中点，EOOF.求证：BEBF为定值.【补充】如图，正方形OGHK【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB.ACAC【例11】（2004河北）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF.求证：DEBF.DECDEC【补充】如图所示，在四边形ABCD中,的面积是16，求DP的长.ADCABC90,ADCD,【补充】如图所示，在四边形ABCD中,的面积是16，求DP的长.ADCABC90,ADCD,DPAB于P，若四边形ABCD【例12】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且ZEAF45,AHEF,H为垂足，求证:AHAB.F【例13】（1997年安徽省初中数学竞赛题）在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使MCN45，记AMm,MNx,BNn，则以x、m、n为边长的三角形的形状是（）.A•锐角三角形B•直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的变化而变化

【巩固】如图，正方形CCABCD的边长为1，点【巩固】如图，正方形CCABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E.⑴求证：AFDFBE.⑵设DFx(0<x<1),ADF与ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S•若不存在，请说明理由.【例14】请阅读下列材料:已知：如图1在RtABC中，BAC90,ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45•探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED,使问题得到解决•请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图1

图1【例15】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.【例16】在等边ABC的两边【例16】在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BDCD，探究：当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时，BM,NC,MN之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系.⑴如图①，当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN此时Q=L⑵如图②，当点M,N在边AB,AC上，且DM时，BM,NC,MN之间的数量关系式DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=佣X，L表示)【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90,E、F分别是边BC、CD上的点，且1ZEAF=1ZBAD.求证：EF=BEFD;2DD(2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180,E、F分别是边BC、CD上的点，且/EAF=-ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.2DD【例17】平面上三个正三角形ACF,ABD,BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分.【例18】已知：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，ADDK•求证：HBD也是等边三角形.KKKK【例19】【例19】（1997年安徽省竞赛题）如图，在△ABC外面作正方形ABEF与ACGH,ADABC的高，其反向延长线交FH于M，求证：（1）BHCF;（2）MFMHFF【补充】以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE丄BG.GF在五边形ABCDE在五边形ABCDE90，【例20】（北京市初二数学竞赛试题）如图所示，ABCDAEBCDE1，求此五边形的面积.F【例21】在五边形ABCDE中，已知ABAE,BCDECD,ABCAED180°，连接AD•求证:AD平分CDE•家庭作业【习题1】如图，已知ABC和ADE都是等边三角形,B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相等的理由.【习题2】（湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意点，过点D作DFDE交BC的延长线于点F•求证:DEDF.C【习题3】在梯形ABCD中，ABIICD,A90,AB2,BC3,CD1,E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程.FDCAB【习题【习题4】已知：如图，点C为线段AB上一点,ACM、CBN是等边三角形.CG、CH分别是ACN、MCB的高.求证：CGCH.月测备选【备选【备选1】在等腰直角ABC中