典型相关分析及其应用实例

#页共33页AAH:九=0，H:九丰00lll它的似然比统计量为它的似然比统计量为AAAApAA二(1—九2)(1—九2)…(1—九2)=n(1—九2)112pii=1则统计量则统计量Q=-[n-2-丄(p+q+l)]lnA121给定显著性水平«，查表得X2，若Q>z2，则否定H，认为第一对典型变量a1ao相关，否则不相关.如果相关则依次逐个检验其余典型相关系数，直到某一个相A关系数九(k=2,…,p)检验为不显著时截止.k实例分析例1：某康复俱乐部对20名中年人测量了三个生理指标：体重(xl)、腰围(x)、脉搏(x)和三个训练指标：引体向上(y)、起坐次数(y)、跳跃次2312数(y)•数据如附录1：3解：记X=(x,x,x)'，Y=(y,y,y)'，其中样本容量n=20•123123附录1中的数据用SPSS统计软件计算得六个变量之间的相关矩阵如下:CorrelationsXIX2X3PearsonCorrelationSig.(2-tailed)NPearsonCorrelationSig.(2-tailed)NPearsonCorrelatioX1X2X3Y1Y2Y31.870(**)-.366-.390-.493(*)-.226•.000.113.089.027.337202020202020.870(**)1-.353-.552(*)-.646(**)-.191.000..127.012.002.419202020202020-.366-.3531.151.225.035Y1nSig.(2-tailed)NPearsonCorrelatioY2nSig.(2-tailed)NPearsonCorrelatioY3nSig.(2-tailed)NPearsonCorrelationSig.(2-tailed)N.113.127.526.340.884202020202020-.390-.552(*).1511.696(**).496(*).089.012.526..001.026202020202020-.493(*)-.646(**).225.696(**)1.669(**).027.002.340.001..001202020202020-.226-.191.035.496(*).669(**)1.337.419.884.026.001.202020202020**Correlationissignificantatthe0.01level(2-tailed).*Correlationissignificantatthe0.05level(2-tailed).即样本相关矩阵为：1R=0.870111-0.366-0.3531丿(1R=0.696122、0.4960.6691丿0.390-0.493R二R二-0.552-0.6461221I0.1510.225-0.226、-0.1920.035,于是特征方程R-1RR-1R—九2=011122221用Matlab求得矩阵R-1RR-1R的特征值分别为0.6630、0.0402和0.0053，于是11122221九=0.797，九=0.201，九=0.073123下面我们进行典型相关系数的显著性检验，先检验第一对典型变量的相关系数，欲检验：H:九=0,H:九H00111它的似然比统计量为A=(1—九2)(1-九2)(1—九2)=(1-0.6330)(1—0.0402)(1-0.0053)=0.35041123Q=-[20--(3+3+3)]lnA=-15.5xln0.3504=16.255121查x2分布表得，％2(9)=16.919，因此在a=0.05的显著性水平下，Q>/2(9),0.0510.05所以拒绝原假设H，也即认为第一对典型相关变量是显著相关的.0然后检验第二对典型变量的相关系数，即进一步检验:H:X=0，H:九H00212它的似然比统计量为A=(1-X2)(1-X2)223=(1-0.0402)(1-0.0053)=0.9547Q=-[20-1-丄(3+3+3)+X-2]lnA=-16.08xln0.9547=0.745<9.488=x2(4)22120.05所以无法否定原假设H，故接受H:X=0，即认为第二对典型相关变量不是002显著相关的.由以上检验可知只需求第一对典型变量即可.1于是求X=0.797的特征向量a*，而『*=—R-1Ra*，解得TOC\o"1-5"\h\z111X222111「-0.775「「-0.350_1.579，B*=1-1.054-0.05910.716Aa*1TOC\o"1-5"\h\z因此，第一对样本典型变量为u*=-0.775x*+1.579x*-0.059x*1123v*=-0.350y*-1.054y*+0.716y*1123X与Y第一对典型变量的相关系数为X]=0.797，可见两者的相关性较为密切，即可认为生理指标与训练指标之间存在显著相关性.例2：为了研究某企业不同部门人员工作时间的关系，随机选取25个企业进行入户调查，达到25个被访企业业务部门和技术部门经理每月工作时间和员工每月工作时间(单位为小时)，具体数据如附表2分析：设业务部门经理和员工每月工作时间为(X,X)，技术部门经理和员工12每月工作时间为(Y,Y)，利用典型相关分析研究企业业务部门和技术部门人12员工作时间的关系.解：样本容量为n二25，p=2，q=2分别为随机变量X与Y的维数.⑴标准化随机变量X二(X,X)'与Y=(Y,Y)'.1212根据样本均值X.与标准差丫厂，17ii依照公式X*ki4ii，对数据标准化.⑵求解［X］的相关矩阵R,IY丿并将其分块R=(RXXRyXXy丿yy将数据输入SPSS软件求得相关系数矩阵如下:XIX2Y1X1X2Y1Y2PearsonCorrelatio1.735(**).711(**).705(**)nSig.(2-tailed)•.000.000.000N25252525PearsonCorrelatio.735(**)1.693(**).705(**)nSig.(2-tailed).000.000.000N25252525PearsonCorrelatio.711(**).693(**)1.834(**)nSig..000.000..000CorrelationsY2(2-tailed)N252525PearsonCorrelatio.705(**).705(**).834(**)nSig..000.000.000(2-tailed)N2525252525**Correlationissignificantatthe0.01level(2-tailed).所以样本相关矩阵(1]TOC\o"1-5"\h\z0.7351R=0.7110.6931分块后0.7050.7050.8341丿分块后(RR)2R=xxxylRR丿2yxyy22⑶求解M二R-1R-1⑶求解M二R-1R-1R-1R-11xxxyyyyx,0.5388400.534949两个非零特征根为九2二0.6218,九2二0.0029.12⑷进行相关系数的显著性检验，取m<r个显著性检验不为0的特征根.X与Y第一对典型变量的相关系数为九=0.7885，X与Y第二对典型变量的相1关系数为九=0.0537.2先检验第一对典型变量的相关系数，假设H:X=0（即第一对典型变量011不相关），由典型相关系数的值可得A二(1-X2)(1—九2)二0.3771112计算统计量1Q=~[(n-1)-(p+q+1)]lnA121二(24-2.5)ln0.3771二20.97对于给定的显著性水平a=0.05Q=20.97>%2(p一m+1)(q一m+1)=%2(4)=9.4881a0.05所以否定零假设.H:X=0，即第一对典型变量是显著相关的.011然后检验第二对典型变量的相关系数，假设H:X=0(即第二对典型变022量不相关)，由典型相关系数的值可得A=(1-X2)=0.997122计算统计量1Q=-[(n-2)-(p+q+1)]lnA222=(24-2.5)ln0.9971=0.05945对于给定的显著性水平a=0.05Q=0.05945<%2(p一m+1)(q一m+1)=%2(1)=3.8412a0.05所以无法否定假设.H:X=0，即第二对典型变量不是显著相关的.由以上检验可知，只需求022第一对典型变量即可.⑸求m=1个显著性检验不为0的特征根X2的特征向量1，而111m=R-1R1，解得1=(0.55216,0.521548)'，m=(0.504018,0.538134)'.1Xyyyx1111⑹求出r对典型相关变量u=1'X，v=m'Y，j=1,2,,m.jjjj根据上面求得的特征向量1和m，得第一对典型相关变量为11[u=1'X=0.55216X+0.521548X<1112Iv=m'Y=0.504018Y+0.538134Y1112X与Y第一对典型变量的相关系数为X=0.7885，可见其相关性较为密切.1⑺由于u=1'X=0.55216X+0.521548X，与业务部门经理和员工每月工作1112时间都成正比，而且系数差不多，所以u可以解释为业务部门人员工作时间.同1理v可以解释为技术部门人员的工作时间.可见一个企业技术部门和业务部门人1员月工作时间存在显著的相关性.结语典型相关分析是一种采用类似主成分分析的做法，在每一组变量中都选择若干个有代表性的综合指标（变量的线性组合），通过研究两组的综合指标之间的关系来反映两组变量之间的相关关系.在实际中，只须着重研究相关关系较大的那几对典型相关变量.本文首先根据典型相关分析的统计理论，初步探讨了总体典型相关变量和典型相关系数，然后重点讨论了样本典型相关分析，以及它们的一系列性质与显著性检验，并做了相应的实例分析.通过实例分析，我们进一步明确了典型相关分析是研究两组变量之间相关性的一种降维技术的统计分析方法.而复相关是典型相关的一个特例，简单相关是复相关的一个特例.第一对典型相关包含有最多的有关两组变量间相关的信息，第二对其次，其他对依次递减.各对典型相关变量所含的信息互不重复.并且经标准化的两组变量之间的典型相关系数与原始的两组变量间的相应典型相关系数是相同的.致谢本文是在我的指导老师吴可法教授的精心指导和悉心关怀下完成的，在我的学习生涯和论文工作中无不倾注着老师的辛勤汗水和殷切关怀.吴老师宽厚的人格、敏捷的思维、严谨的治学态度、渊博的知识、积极向上的人生态度、平易近人的师长风范和两年来的谆谆教导，使我深受启迪，并永远铭记在心.从吴老师身上，我不仅学到了扎实的专业知识和技能，更学到了做人的道理，这些教诲必将成为惠及一生的宝贵财富.在此谨向吴老师致以最衷心的感谢和美好的祝愿!论文期间，我得到了许多老师和同学的帮助，本人在这里对他们致以衷心的感谢.我还要感谢我的家人，是他们的理解、支持和鼓励，使我的学习能够顺利进行.最后衷心感谢在百忙之中评审论文和参加答辩的各位专家、教授!参考文献【1】何晓群•多元统计分析[M].北京：中国人民大学出版社，2004【2】高惠璇.应用多元统计分析[M].北京：北京大学出版社，2005【3】方开泰•实用多元统计分析[M].上海：华东师范大学出版社，1989【4】王方.城镇居民消费结构影响因素的典型相关分析[J].统计与决策，2007,(03)【5】施锡铨，范正绮.数据分析方法[M].上海：上海财经大学出版社，1997【6】王学仁•多个变量集合的典型相关分析[J].云南大学学报(自然科学版)，1983，(Z1)【7】王学民•应用多元统计分析(第二版)[M].上海:上海财经大学出版社,2004.1【8】余锦华，杨维权.多元统计分析[M].广州：中山大学出版社，2005.2【9】于秀林，任雪松.多元统计分析与应用[M].北京：中国统计出版社，1999【10】张尧庭，方开泰•多元统计分析[M].北京：科学出版社，1980【11】KendallM.MultivariateAn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附录例1数据某康复俱乐部的生理指标和训练指标数据编号x1x2x3y1y2y311913650516260218937522110603193385812101101416235621210537518935461315558618236564101427211385681013881673460612540917631741520040101543356172512501116934501712038121663