分形市场中基于股票指数金融衍生品的定价研究

研究领域:金融学分形市场中基于股票指数金融衍生品的定价研究唐斌摘要随着我国国内金融市场的全面开放,一系列基于股票指数的金融衍生品将不断推出.在金融衍生产品的开发进程中，对股指期货、期权等金融衍生品的定价显得超级重要，对这些产品进行定价时，通常都是成立在有效市场假说的基础之上，但最近几年来许多实证研究说明,股票价钱并非遵循有效市场假说中的正态散布,而是一种分数布朗运动.基于此，本文在对沪深两大交易所的要紧股票指数进行了实证分析，进而为即将大规模推出的金融衍生品开发提供一种切实可行的定价方式。关键词分形市场有效市场假说分数布朗运动股票指数金融衍生产品1、引言2006年,央行推出了一系列关于金融衍生品的规定，包括开展人民币、美元货币掉期业务和人民币利率互换试点，和上海金融衍生品期货交易所的筹建等，金融衍生品将在中国取得迅速进展。随着中国股票市场对外吸引力的不断增加，海外证券市场基于中国股票市场的交易工具将会有不断活跃与增加的趋势，国内证券市场的股票指数也将会成为境外机构在海外发行金融衍生产品的首选标的。目前,国外有很多金融机构利用人民币或中国证券市场的股票指数为标的物，开始推出一系列地金融衍生产品，比如股指期货、指数期权和权证等。2004年，芝加哥期权交易所(CBOE)率先推出中国指数期货,2005年香港交易所与新华富时指数公司签定交易新华富时中国25指数期货及期权的协议。2006年1月新加坡交易所(SGX)宣布将于9月推出新华富时A50中国指数期货。随着我国国内金融市场的全面开放和金融管制的慢慢放松，基于中国证券市场的股票指数型金融衍生产品将会不断推出。1983年3月,第一份一般股指期权合约在芝加哥期权交易所显现。该期权的标的物是S&P100股票指数。随后，美国证券交易所和纽约证券交易所迅速引进了指数期权交易。以华尔街为代表的成熟的金融衍生品市场取得了迅速的进展。在进行基于股票指数的期权、权证等金融衍生产品研究开发时，需要充分考虑作为标的物的股票指数特点,才能取得一个合理的产品定价。传统的金融衍生品在定价时,常常成立在与实际不相吻合的有效市场假设之上，这一假设以为金融资产的价钱波动是彼此独立的，即遵从随机游走的布朗运动，且其收益率服从正态散布。但最近几年来，对股票市场的大量实证研究都说明股票市场价钱转变并非符合正态散布，它们呈现的是一种“尖峰胖尾”散布(Hu,Y.和0ksendal,B,2003；Bayraktar,2004；徐龙炳、陆蓉，1999①，而且股价之间在不同时刻存在着长期相关性，而不是随机游走的。1994年，Peters提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的阻碍，并应用R/S分析法证明了不同资本市场都存在着分形结构和非周期循环。分形市场假说由于不依托于独立及正态散布等假设，且利用这一假说中的分数布朗运动能够专门好地说明股票市场中的“尖峰胖尾”现象。因此在进行金融衍生品的开发时,对其定价有必要结合分形市场中的分数布朗运动来进行分析．为此,本文从分形市场动身,对基于股票指数的期权等金融衍生品的定价问题进行了研究.本文以下部份的结构为：第二部份，介绍有效市场假说的局限性及分形市场和分数布朗徐龙炳、陆蓉(1999)对深沪两市进行了R/S分析，其Hurst指数分别为和,这表明我国的股票市场也是一种呈“尖峰胖尾”分布的分形市场结构。运动；第三部份，论述了分形市场中的R/S分析方式；在第四部份，咱们利用股票市场上关于要紧股票指数的历史股价转变，对其Hurst系数进行了测定；然后在第五部份，对金融衍生品中的期权与不同Hurst系数之间的关系进行了说明;在最后一部份，对全文进行了总结。2、有效市场假说与分形市场介绍自从1970年Fama提出有效市场以后，有效市场假说便成为数量化资本市场理论的基石。许多现代金融投资理论，如CAPM(资本资产定价模型)、APT(套利定价理论)等都是成立在有效市场假设之上。可是，许多实证研究说明，有效市场假设已经很难反映市场的真实性，它存在着明显的缺点，具有必然的局限性。1994年，Peters第一次提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的阻碍，并以为所有的稳固市场中都存在分形结构。分形市场假说强调流动性的阻碍和基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合咱们观看的投资者行为和市场价钱运动的模型。Peters应用R/S分析法分析了不同资本市场(如股市收益率、汇率)，都发觉了分形结构和非周期循环，证明资本市场是非线性系统。由于分形市场理论能够说明“波动具有非线性、自相似性和长经历性”等有效市场理论无法说明的现象,因此，咱们在对金融资产定价分析时，运用分形市场理论将会比有效市场假说加倍准确地刻画市场的真实特性。我国一些学者针对分形市场也作了许多的实证研究。徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S分析，其Hurst指数别离为和，周期为195天；张维、黄兴(2001)采纳更长的采样区间、分析了沪深股市的日、周收益率，从而论证了市场存在非线性结构；周孝华(2002)通过度析布朗运动与分形布朗运动，提出了分形维纳进程的概念并利用它推导出不付盈利的股票价钱遵循含有分形维纳进程的微分方程。、有效市场假说及其局限性有效市场假设以为:证券市场中股票价钱能够及时、充分反映所有相关信息,以后的价钱只能由新的信息决定。资产价钱的波动服从布朗运动。有效市场假说由于未考虑投资者行为的复杂性、多样性，和市场关于信息的反馈机制等，要紧存在以下三个方面的局限：有效市场假说以为价钱是一个独立同散布的随机变量，当样本容量变大时，它将趋于正态散布，但通过大量实证结果说明，价钱及收益率的散布并非正态散布，而是呈现“尖峰厚尾”散布。假定市场的当前价钱已经充分反映了所有信息，价钱转变是独立变更进程。投资者当即对价钱做出反映，因此以后与过去或此刻都不相关。但由于人们对信息的反映是以非线性方式做出的，因此，价钱的变更具有长期经历的特性，过去的信息此刻和以后的价钱都会有阻碍。没有考虑市场波动的期限结构。事实上，在市场中的投资者是具有不同投资期限的，市场的流动性就在于投资者的不同投资期限、不同的信息集、和形成的对市场“公平价钱”的不同明白得。在有效市场假说下，通常假设股价和收益率的波动性与时刻的平方根成比例。但事实上股价和收益率的波动并非如此，它们的转变具有自相似和分形等特性。另外，市场有效不必然意味着它是随机游动的，但随机游动进程必然隐含着市场是有效的，换句话说确实是收益率正态散布的假设不是市场有效所必需的。有效市场理论存在的这些局限性，使它已不能客观地说明现实中金融价钱波动。而分形市场理论却能专门好地解决了有效市场理论的这些不足,从而加倍准确地刻画出市场的真实特性。、分形市场假说分形市场理论以为：金融资产的收益率并非是随机游走的，其概率散布也很少是正态散布或对数正态散布。正态散布只是分形散布的一种特例。它以为收益率的时刻序列具有相关性和长期经历性。收益的散布不是正态散布，且其方差可能无穷大或不存在。分形市场假说的内容要紧有以下三点：市场由众多的投资者组成，这些投资者处于不同的投资起点，投资者的投资起点对其行为会产生重大的阻碍。信息关于处于不同投资起点上的投资者所产生的阻碍是不相同。分形市场假设强调市场流动性及投资期限对投资者行为的阻碍。以为只有当大量不同投资起点的交易者存在时，市场才是稳固的，只有稳固的市场才能确保足够的流动性。每一个投资起点都是一个具有有限方差的随机函数，它依托于前一个方差，因为在每一投资起点的风险相同，因此收益的频率散布形状也就相似，市场结构具有自相似和分形的特性。、分数布朗运动的性质本文将在分形市场假设下，假定金融资产的价钱变更服从分数布朗运动，而不是标准的几何布朗运动。分数布朗运动具有如下几个性质：Hurst参数为H(O〈H〈1)的分数布朗运动是一个持续的Gaussian进程h'&尺｝:B(0)二0且E[B(t)]二0HH当H〉+时，B(t)具有长期依托性，2H即：ph(n)=E[Bh(s)Bh(t)=2(lsI2H+ItI2H-Is-t|2H)，pH①假设H=丁,bh")即为标准布朗运动B(t),表现为随机游走特性，现在积存离差是随时刻的平方根而增加，过去的事件可不能阻碍以后。假设0〈H〈才，具有反持久性，现在反映的是一个“均值答复”的非持久性的时刻序列。过去的增量与此刻的增量呈负相关关系。即若是系统在前一期间转变趋势是向上，那么下一个时期其向下的可能性将较大，反过来也是一样。而且H距离0越近，这种反持久性行为的强度越大。若i〈H〈1,具有持久性和无周期的循环，现在，系统的转变是一个持续的时刻序列，过2去发生的事件对以后的价钱是有阻碍的，存在着“经历效应”。过去的增量与此刻的增量呈现正相关关系，即若是序列在前一个期间是向上的，那么它在下一个期间继续向上的可能性会大于向下的可能性。H值越接近于1,这种“经历效应”的强度或持久性就越强。(3)自相似性。B(at)=aHB(t)HH3、R/S分析方式Hurst(1951)在大量实证研究的基础上，发觉自然现象都遵循“有偏随机游走”即一个趋势加上噪声，从而提出重标极差分析法(RescaledRangeAnalysis)R/S分析方式，

大体思想是：假设XI,X2,…,Xn为股票指数的每日转变，记作Xi,i=l,2,・・・n。该时刻序列的均值为x:(1)2)3)(4)x=(x+•…+x)/n(1)2)3)(4)sn1n标准差Sn为：sn对原序列进行标准化：X.=x.—x,i—1,2...〃积存离差为：tTOC\o"1-5"\h\zY二工X•t=1,2...nti=1「重标极差Rn为：R=Max(Y，…，Y)—Min(Y，…，Y)⑸n1n1n(R/S)从而求得R/S。再对每一个子区间计算i，可得n个值，然后将它们平均，即1n(R/S)n二—工(R/S),i=1,...n(6)ni=1i为了比较不同的时刻序列，Hurst成立了如下关系式：(R/S)n=(cn)Hn(7)其中，c为常数，H为Hurst指数，且O〈H〈1。对(7)式两头取对数，可得log(R/S)=logc+H•logn(8)n(R/S)关于不同的n,能够取得不同的'丿n，利用最小二乘法求回归系数即可取得Hurst指数H。最近几年来，国内有很多学者对我国股票市场的非线性特点进行了研究，如徐龙炳、陆蓉(1999)、叶中行、曹奕剑(1998)、徐绪松和陈彦斌(2001)等，他们的研究都发觉了我国股票市场是一个具有分形和混沌特点的非线性市场，其收益率时刻序列中存在一种长期经历进程，并非服从有效市场假说所依托的随机游动序列。其中，徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了r/s分析，其hurst指数别离为和，周期为195天。叶中行、曹奕剑(1998)对上海证券交易所几只个股的五分钟Hurst指数做了计算，结果见表1：股票代码600005600086600631600832600872Hurst指数值表1：个股分时Hurst指数(5分钟)4、要紧股票指数的Hurst系数分析最近几年来，对股票市场的大量实证研究都说明股票市场价钱转变并非符合正态散布

它们呈现的是一种“尖峰胖尾”散布（Hu,Y.和0ksendal,B,2OO3；Cutland,1995；Bayraktar,2004；徐龙炳、陆蓉，1999）,而且股价之间在不同时刻存在着长期相关性，而不是随机游走的基于此，本文利用R/S分析方式，别离对上证180、上证综合指数、深证综指等10支股票指数从2001年7月5日至2006年6月30日的历史股价数据进行回归分析（取每支指数的日收盘数据），从而取得各指数的Hurst系数值。指数名称Hurst系数标准差t-统计上证180上证综合指数上证地产指数上证工业指数上证基金指数上证商业指数深证综指深证成指深证A指深证B指表2：要紧股票指数Hurst指数（5分钟）从表2可知，各支股票指数的Hurst系数别离位于至之间，说明该市场具有明显的分形结构和持续性，且股票的收益率不是随机游走，而是一个有偏的“尖峰胖尾”散布.传统的研究在对期权等金融衍生品进行定价时，常常是利用Black-Scholes期权公式,但由于Black-Scholes期权公式是成立在与实际不相吻合的有效市场假设之上，这一假设以为金融资产的价钱波动是彼此独立的，即遵从随机游走的布朗运动，且其收益率服从正态散布。但最近几年来，对股票市场的大量实证研究都说明股票市场价钱转变并非符合正态散布，它们呈现的是一种“尖峰胖尾”散布（Hu,Y•和0ksendal,B，2003；Bayraktar，2004；徐龙炳、陆蓉，1999）,而且股价之间在不同时刻存在着长期相关性，而不是随机游走的。1994年，Peters提出了分形市场假说，它强调信息和投资起点对投资者行为的阻碍，并应用R/S分析法证明了不同资本市场都存在着分形结构和非周期循环。分形市场假说由于不依托于独立及正态散布等假设，且利用这一假说中的分数布朗运动能够专门好地说明股票市场中的“尖峰胖尾”现象。因此在定价基于股票指数的金融衍生品时，有必要结合分形市场中的分数布朗运动来进行定价分析．5、分形市场中Hurst指数与期权价钱关系对期权等金融衍生品的定价,要紧有以下两种:采纳的模型要紧有以下两种：（1）传统的Black-Scholes期权定价模型；（2）分数布朗运动下的Black-Scholes期权定价模型。传统的Black-Scholes期权公式（Black.F和，1973）为：C二SN(d)-Xe-rTN(d)1212ln(S/X)+(r+Qs)Td1其中:2d1其中:c为权证的价钱，X表示执行价钱，S为标的资产价钱，T为权证的有效期，卩是无

风险利率，s表示股票价钱的波动率，N(.)为正态散布变量的积存概率散布函数。但最近几年来，对股票市场的大量实证研究都说明股票市场价钱转变并非符合正态散布，它们呈现的是一种“尖峰胖尾”散布(Hu,Y•和0ksendal,B,2OO3；Cutland,1995；Bayraktar,2004；徐龙炳、陆蓉，1999)，而且股价之间在不同时刻存在着长期相关性，并非是随机游走的。基于有效市场假说而未能结合分形市场计算出来的权证价钱就会与实际的合理价钱存在着不同。国内外许多学者，如：Mandelbrot和VanNess(1968)、Hu和0ksendal(2003)等对分数布朗运动进行了大量的研究，其中，CiprianNecula利用傅立叶变换方式推导出分数布朗运动下的Black-Scholes模型，其公式如下：C(C(t,S(t))二S(t)N(d)-Ke-r(t一t)N(d)12,其中：S(t)Q2ln()+r(T-1)+(T2h-12h)d=K」1Q、T2H—12H……②S(t)Q2ln()+r(T—t)—(T2h—12h)d=KL2Q\T2H—12HC为期权的理论价钱，S为现行股票价钱，K为执行价钱，T为到期日，r为无风险利率,H为Hurst系数(0〈H〈1).图1:图1:丁=二、五、10、1五、20年时，Hurst系数与期权价钱的转变关系图2:T=30天、60天、90天和180天时，Hurst系数与期权价钱的转变关系因此,本文在对基于股票指数的期权等金融衍生产品进行定价研究时,咱们将利用分数布朗运动下的Black-Scholes模型，分析期权价值与其标的指数不同Hurst系数之间的关系。以下两个图表(图1和图2)是利用文中的②式，在不同的到期日T和Hurst值H时，另U离计算金融衍生品的不同价值.依照以上两个图表(图1和图2)能够得知：当T>1年时，关于相同到期日的期权，其价值随着Hurst指数的增大而增加；而关于相同的Hurst指数，期限越长，其价值也越大。当0〈T〈1时，关于相同到期日的期权，其价值随着Hurst指数的增大而减少；而关于相同的Hurst指数，期限越长，其价值也越大。由于不同Hurst指数对应的期权价钱也不同，因此，为了正确地定价期权等金融衍生品,必需在分形市场中考虑标的股票的分形结构。下面咱们以一个简单的例子来讲明本文介绍的定价方式.对基于上证综合指数(000001,SS)的欧式看涨期权，假定该期权发行前日的上证综合指数的收盘数等于2006年6月30日前30天的日平均收盘数(利用上证综合指数的历史数据能够算得2006年6月30日前30天的日收盘数平均价为点)。为了对其进行发行日的定价分析。咱们取2005年6月30日至2006年6月30日上证综合指数的日收盘数据，无风险利率r=%,行使价为1800点，Ptrt=In(—^)期权到期日长T=2年，并利用公式Pt-1来计算各个股票的收益率,Pt为股票的日收盘价钱，由此估算出股价的年波动率QS为%.所需数据来源为：雅虎财经网站。利用R/S分析方式从2001年7月5日至2006年6月30日的历史股价数据能够取得上证综合指数的Hurst指数值，其H值为，说明该市场具有明显的分形结构和持续性，且股票的收益率不是随机游走，而是一个有偏的“尖峰胖尾”散布。进而能够取得基于上证综合指数的期权价值为②利用分数布朗运动下的Black-Scholes公式由于充分考虑了标的指数的分形特点，将比传统的Black-Scholes期权定价方式更为合理,从而为金融衍生品的开发者②利用传统的Black-Scholes期权公式计算得到的期权价值为.和投资者提供一个更为准确的定价参考.6、总结最近几年来的大量实证研究说明我国的证券市场也是呈“尖峰胖尾”散布，基于有效市场假说的传^Black-Scholes期权定价模型已不能合理地进行金融衍生品的定价，因此为了合理地定价期权等金融衍生品，必需结合分形市场来进行定价分析。而本文通过结合目前的许多实证研究结果及相关期权定价方式，提出了分数布朗运动下的期权定价模型，使得对期权等金融衍生品的定价将更显合理，为投资者提供一个合理的投资决策方案，并进一步推动和繁荣我国的证券市场。参考文献Bayraktar,E.,Poor,H.V.andSircar,R.(2004).“EstimatingthefractaldimensionoftheS&P500indexusingwaveletanalysis,”Intl.J.TheoreticalandAppliedFinance7:1-29.BBMandelbrot,HWVanNess.“FractionalBrownianmotions,fractionalnoisesandapplications”,[J].1968,SIAMRev,10(4):422-436.Hu,Y.andOksendal,B.(2003)."Fractionalwhitenoiseandapplicationstofinance,InfiniteDimensionalAnalysis,”QuantumProbabilityandRelatedTopics6:1-32.Hull,JohnC.,2003,Options,Futures,andOtherDerivatives,5thEdition(PrenticeHall,NewYork).Peters,E."Fractalstructureinthecapitalmarkets.”FinancialanalystJ,1989(7):434〜453.埃德加・E•彼得斯蒂，王小东译.资本市场的混沌与秩序(第二版).经济科学出版社,1999.埃德加・E•彼得斯蒂，储海林、殷勤译.分形市场分析一一将混沌理论应用到投资与经济理论上.经济科学出版社，2002.徐龙炳，陆蓉.R/S分析探索中国股票市场的非线性.《预测》，1999,(2):59-62张维，黄兴，“沪深股市的R/S实证分析”，《系统工程》2001,,,ppl-5.49周孝华，一种股票价格行为模式的一般化——从布朗运动到分形布朗运动，《桂林电子工业学院学报》，2000，20(4).徐绪松，陈彦斌，“深沪股票市场非线性实