第13章 主成分分析和因子分析 stata统计分析与应用

第13章主成分分析和因子分析13.1主成分分析13.1.1主成分分析的基本原理13.1.2主成分分析的数学模型13.1.3主成分分析的步骤13.1.4主成分分析的Stata命令主成分的概念由KarlPearson在1901年提出考察多个变量间相关性一种多元统计方法研究如何通过少数几个主成分(principalcomponent)来解释多个变量间的内部结构。即从原始变量中导出少数几个主分量，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关主成分分析的目的：数据的压缩；数据的解释常被用来寻找判断事物或现象的综合指标，并对综合指标所包含的信息进行适当的解释什么是主成分分析？

(principalcomponentanalysis)对这两个相关变量所携带的信息(在统计上信息往往是指数据的变异)进行浓缩处理假定只有两个变量x1和x2，从散点图可见两个变量存在相关关系，这意味着两个变量提供的信息有重叠主成分分析的基本思想

(以两个变量为例)如果把两个变量用一个变量来表示，同时这一个新的变量又尽可能包含原来的两个变量的信息，这就是降维的过程数学上的处理是将原始的p个变量作线性组合，作为新的变量设p个原始变量为，新的变量(即主成分)为

，主成分和原始变量之间的关系表示为主成分分析的数学模型主成分分析的数学模型aij为第i个主成分yi和原来的第j个变量xj之间的线性相关系数，称为载荷(loading)。比如，a11表示第1主成分和原来的第1个变量之间的相关系数，a21表示第2主成分和原来的第1个变量之间的相关系数对原来的p个指标进行标准化，以消除变量在水平和量纲上的影响根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵求出协方差矩阵的特征根和特征向量确定主成分，并对各主成分所包含的信息给予适当的解释主成分分析的步骤Stata命令pca、pcamatestatscreeplotscoreplot、loadingplotrotatepredict【例】根据2008年一季度沪深两市农业板上市公司的9项主要指标数据，进行主成分分析，找出主成分并进行适当的解释主成分分析

(实例分析)基本情况公司成长性指标公司盈利能力性指标公司股本扩张能力指标公司名称ROA主营收入增长率净利润增长率主营业务利润率ROEEPS每股净资产每股公积金总资产增长率禾嘉股份0.0630.2320.8220.2580.0090.011.110.050亚盛集团-0.0080.1610.7090.1430.0060.0061.1440.0060.047冠农股份0.4380.7550.2840.1070.0030.0041.6210.4210.096St中农-0.02-0.4210.9830.209001.5650.757-0.206敦煌种业0.112-0.1587.1440.3670.0250.0773.0961.988-0.057新农开发0.2770.041-2.3760.251-0.005-0.0163.461.860.392香梨股份0.107-0.0542.101-0.1480.0120.032.511.516-0.234新赛股份0.820.1940.0580.1130.020.1013.832.2850.392Stata的输出结果estatsmc变量之间的存在较强的相关关系，适合作主成分分析Stata的输出结果

(选择主成分)该表是选则主成分的主要依据“InitialEigenvalues”(初始特征根)

实际上就是本例中的9个主轴的长度特征根反映了主成分对原始变量的影响程度，表示引入该主成分后可以解释原始变量的信息特征根又叫方差，某个特征根占总特征根的比例称为主成分方差贡献率设特征根为，则第i个主成分的方差贡献率为比如，第一个主成分的特征根为3.54354，占总特征根的的比例(方差贡献率)为39.37%，这表示第一个主成分解释了原始9个变量39.37%的信息，可见第一个主成分对原来的9个变量解释的还不是很充分根据什么选择主成分？根据主成分贡献率一般来说，主成分的累计方差贡献率达到80%以上的前几个主成分，都可以选作最后的主成分比如表中前3个主成分的累计方差贡献率为78.13%根据特特征根的大小一般情况下，当特征根小于1时，就不再选作主成分了，因为该主成分的解释力度还不如直接用原始变量解的释力度大比如表中除前3个外，其他主成分的特征根都小于1。所以只选择了3个主成分根据什么选择主成分？Stata还提供了一个更为直观的图形工具来帮助选择主成分，即碎石图(Scree