数学做题心得

前言

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教学十余年，但数学仅仅教了六年吧，期间有许多疑难困惑，也有些许心得，现在将做题思路心得写下，望同仁指正。最精简的步骤是数学爱好者的终极目标。

图形题做题思路歌

遇到中点找中点，平分角找平垂线。直线上面遇直角，垂直相似不要忘。边边关系等不等，全等相似用函数。梯形底高延两腰，辅助多做平行线。求角加减和平行，特角外角圆心周。旋转动角找相似，图形对折用勾股。欲求面积先求边，切切补补找规则。坐标系中四要素，平行垂直中点距。函数会求式与图，式子联立求交点。遇到动点多画图，主要找到关键点。两圆相遇连圆心，直径直角连切点。几何图中线段长，加减相似和勾股。同向同张角相等，对角互补四点共。应用题目也画图，等量关系细心找。

图形题思路思路是所有参考答案中不会提到的，它类似教科书上的解题分析，要会顺藤摸瓜，由此及彼，一般分为三种，一是由已知寻结论，二是由结论合已知，三是由已知结论推导中间的重合部分，我认为最好的办法是由已知结论来推导中间的部分，这样才会全面去思考一个问题，因为由已知得到的信息和结论得到的信息相近多了，重合的可能性就大了，题也容易弄通顺了。数学要会联想、分类，也就是由此及彼。例如几何中求边相等，要会加减长度等，中点分线段等，中位线分两边等，中位线等底边一半，等腰三角形两腰等，平行四边形对边等，等等。函数与几何结合是近年来中考的热点，求点一般利用图形的对称性来求，求面积一般要想到底边会有多个，高也有多个，常常还要做底高的辅助线，在函数中多设点的坐标（x.y），辅助线做x、y轴的垂线最多。要会分类讨论并结合图像来思考才能全面的解答问题。中考数学考察的是阅读能力、分析能力、计算能力、画图能力等等。数学是要会画图的，必须会的，画标准图是做所有大型的数学题的的基本方法，包括应用题、几何题、函数题、统计概率题等等。本PPT里的所有题大都是我精选的，一定要结合口诀练习，部分题我空间有答案。我写下的只是最基本的做题思路和方法，因为中考一般考的是通用方法。遇到中点找中点，平分角找平垂线。遇到中点找中点包含两个意思。一是找中点所在边的邻边的中点，连接能形成平行线（中位线）这样就多了角的关系和边长的关系。二是把此中点作为另一边的中点，如果没有另一边一般要做出这个边。延长中线等中线。角平分找平垂线也包含三个意思。一是在角平分线上做垂线，能得到等腰三角形，利用三线合一得到边角关系。二是利用角平分线上的点到角两边的距离相等。三是过平分线上一点做角一边的平行线，能得到一个等腰三角形。直线上面遇直角，垂直相似不要忘。这句话的意思是遇到直线上面有直角的话，直角的两个边上向直线作垂线能得到两个相似的三角形，当相似比为1时，两个相似的三角形就是全等的三角形了。它有很多变形，如有的时候是直线穿过直角（共有8种，其余4种没有画出来）。这类题的关键是在直角和直线周围找互余的角，然后找相似三角形。边边关系等不等，全等相似用函数数学证明题中经常考察边与边的关系。边与边的关系包括两种，一是位置关系，二是数量关系，位置关系一般是平行与垂直（垂直、平行关系一般画图就可以看出，这里不作为重点，重点说数量关系）数量关系包括相等和不相等，求证相等用等腰三角形、中位线，全等三角形等等。不相等的话要用相似三角形来求证（包括平行线），这时边与边的关系就是函数关系了，一定要小心。边不在三角形内部一定要构造三角形梯形底高延两腰，辅助多做平行线。梯形里的辅助线比较多。过上底两端向下底做垂线。过上底的一个端点做一腰的平行线。过上底的一个端点做一对角线的平行线。过一腰的中点做另一腰的平行线。过上底一端点和一腰中点的直线和下底延长线相交。做梯形的中位线。延长两腰使之相交。求角加减和平行，特角外角圆心周。等角有很多，平行线、全等三角形、相似三角形中里面很多。求角要用加减和等量代换，以及特殊图形中边角关系。遇到倍角会分角，把倍角做外角或做倍角的平分线。还有做平行线来转化角的关系，例如口诀第一句中的“平分角找平垂线”中的例题。题中无角让求角，一般都是特殊角，如30°、45°、60°、90°等，外角是利用三角形外角的性质，这个用的比较多。“圆心周”是指圆内的圆心角和圆周角和它们之间的关系。旋转动角找相似，图形对折用勾股相似三角形现在是几何的顶峰。这句话意思很简单：1、如果两个相等的角的顶点重叠和某个角绕点旋转那么在周围找相似三角形。2、当一个定角在一线段上移动也要在附近找相似三角形，没有三角形的话要构造三角形。旋转角和邻等角，相似全等细细找。定角移动找相似，没有注意要构造。当遇到旋转图形、旋转角、等角共顶点时，找相似三角形和全等三角形。

第二句的意思是遇到图形对折就找直角三角形，然后勾股定理来求边。欲求面积先求边，切切补补找规则。三角面积是基础。数学题中求面积的很多，要切记求面一定先找边的量，平行四边形（长方形、菱形、正方形）都可以切割成两个全等的三角形。梯形的对角线也能把梯形切割成两个三角形，并且你研究一下它们的面积公式，可以看出也是在三角形面积公式的基础上得来的，还有菱形、正方形的另一个公式，对角线乘积除以2也是在三角形面积基础上得来的。在动点问题和平面直角坐标系中某些图形很不规则，且有些是动面积，多边形面积。动面积是指面积随着边的变化而变化的，多边形面积一般切补成规则图形然后计算即可。扇形面积公式有两个，但近年来中考中求扇形面积很少，这个公式也不容易记住。坐标系中四要素，平行垂直中点距。这句话是说平面直角坐标系中有四个知识要点，一是两个一次函数图像平行，解析式的K值相等。二是两个一次函数图像互相垂直，解析式K值互为负倒数。三是任意两点的中点坐标公式，四是任意两点间距离公式。除了第一个是教科书上讲的，其余我希望大家能补充一下，考试的时候可以直接用的。A（x1，Y1）B（X2，Y2）中点坐标公式如下左图，距离公式如下右图。我简单讲一下中点公式的原理是中位线性质，参考着下左图你应该明白的。两点间距离公式的原理是勾股定理，其实都是向X轴、Y轴作垂线得到的，构成直角三角形。大家一定推导一下，很简单的。不会增加记忆负担的。这是2009的河南中考数学题利用两点间距离公式。【说明】对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件“以静制动”，用待定系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．若要构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=EC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若为等边三角形，则三边长度相同。函数会求式与图，式子联立求交点。一次函数y=kx+b是中考的必考点，它是直线函数，根据两个点确定一条直线的原理，需要两个点（0,k）（-b/k，0）就能画出这条函数图象。它与x、y所成的直角三角形面积S=1/2*（b²/lkl）。K值是与x轴的夹角的正切值的绝对值，符号由所在象限决定。注意当一次函数K的值为土根号3、土根号3/3、土1等时，图像与x、y轴的夹角是特殊角(二次函数也要注意)。b值就是函数在y轴上的截距，当b=0时，一次函数就变成正比例函数了。反比例函数图象是双曲线，无限接近x、y轴但总不与x、y轴相交。上面由图像记性质最简单了。函数要记住三个方面，一是解析式，二是图像，三是性质，每一个函数在一定范围内都有最大值最小值问题，这一点大家要牢记。平面直角坐标下中做x、y轴的垂线是最常用的辅助线。正一反一一次二，二次函数三点求。式子联立求交点，连线夹角也常用。这句话的意思是，正比例函数和反比例函数都是知道一个点就能求出解析式，一次函数需要两个点求出，二次函数需要三个点求出。多个函数图象有交点的话用式子联立求出交点。二次函数比较复杂，有三四种解析式，如果你能熟练掌握并能互相转化，那么就事半功倍了。函数一定结合图像去思考问题，这也是关键啊。函数的平移口诀：左加右减，下加上减。谁加谁减要注意了，这里是不一样的。左右用x加减，上下用y加减。例如y=2x²+3x-4向右移动6个单位，向下移动8个单位，那么得到y+8=2（X-6）²+3（x-6）-4，这个方法包括所有函数解析式。注意它和坐标点的平移不一样，那个口诀正好相反。二次函数要点和函数图象的平移平面直角坐标系中求三角形面积的方法：切补法一、直接切法。平时求面积公式包括底乘的一半、边边夹角正弦值的一半、海伦公式都不行。那么就用直接切法试试吧。如下左图首先是在坐标系中△ABC的三个顶点都知道坐标。（1）过A点作垂直X轴的垂线将三角形分成两个三角形。（2）求出BC直线的解析式，再求出AD的距离。（3）然后AD乘以C点的横坐标减去B点的横坐标再乘以二分之一就是△ABC的面积了。这个方法的原理很简单，是把△ABC的面积切成两个以AD为底的三角形，这两个三角形高的和等于C点的横坐标减去B点的横坐标。（这个方法应用在A为动点问题最好了）。直接切法还有一种是做Y轴的垂线，大家可以试试。二、间接补法。如下右图将已知点向x、y轴做垂线构成直角梯形，然后总面积减去补充上的两个三角形（或是两个直角梯形）的面积可得。这个方法是辅助线多但记忆量小，计算数值多。欲求面积先求边，切切补补找规则。切补法方法不固定，要灵活掌握。注意：在平面直角坐标系中的辅助线是向x、y轴做垂线，某直线的平行线等。在计算线段长时要用右边点的横坐标减左边点的横坐标，上面点的纵坐标减下面点的纵坐标，这样得到的线段才能都是正值，计算面积就不用考虑符号的问题了。来两道小题大家看看学过就练练平面直角坐标系中求点坐标的方法互为对称点关于轴和原点原则是：关谁谁不变，关于原点它都变。再例如：右图求菱形一般也有三个点，利用两点间距离公式求出AB直线上MA=AC的两个M点。再利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出第三个M点。求F点就简单了。如下左图：已知三点坐标A（1,2）B（2,0），C（-1，0）求以这三个点为顶点的平行四边形的另外一个点的坐标。ABC三个点是我随意写的，不具有特殊性。解答1：中点法。首先最好是先画图，其次根据中点公式求出BC的中点（1/2,0）最后再根据中点公式结合A(1,2)求出第一个D(0,-2),剩下还按照中点公式结合C(-1,0)和B(2,0)求出第二、三个D点。（中点公式可以口算的噢）解答2是网上的做法：利用平行四边形的性质，平行对边的两组点的横纵坐标差相等，易求第4个点坐标。这个是最简单的方法，不会记得要问我。遇到动点多画图，主要找到关键点。动点一直是个难点，需要你有超强的画图能力和分类讨论能力，根据题意来画出符合题意的图像。根据动点、拐点，分类、分步骤。动点问题都是化动为静，注意动点取值范围。例：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒。

1、线段MN在运动过程中，t为何值时，MNQP为矩形，并求出MNQP的面积。

2、线段MN在运动的过程中，MNQP面积为S，运动的时间为t，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围。（注意：梯形在移动时不是一直是梯形的。）两圆相遇连圆心，直径直角连切点。近年来中考出现两圆的问题较少，两圆相交连圆心和公共弦，两圆相切做公切线。圆是数学题中的一个难点，因为隐含条件较多，辅助线较多。有直径一定要想到他所对的圆周角为90°，同理90°所对的弦是直径，有弦要做弦心距，