人教A版（2023）选修第一册1.1.1空间向量及其线性运算（含解析）

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（共19题）

一、选择题（共11题）

已知，则下列向量中与平行的是

A．B．

C．D．

已知向量，满足，则等于

A．B．C．D．

空间四点，，，的位置关系为

A．共线B．共面C．不共面D．无法确定

给出下列命题：

①将空间中所有的表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；

②若空间向量，满足，则；

③若空间向量，，满足，，则；

④空间中任意两个单位向量必相等；

⑤零向量没有方向．

其中假命题的个数是

A．B．C．D．

已知，，与共线，则

A．B．C．D．

空间两向量，互为相反向量，已知向量，则下列结论正确的是

A．B．为实数

C．与方向相同D．

已知向量，，，则向量的坐标为

A．B．

C．D．

已知，，三点不共线，对于平面外的任一点，下列条件中能确定点与点，，一定共面的是

A．B．

C．D．

已知，，且，则的值为

A．B．C．D．

如图，四棱锥的底面是矩形，底面．设，，，是的中点，则

A．B．

C．D．

已知向量，则与共线的单位向量可以是

A．B．

C．D．

二、填空题（共4题）

若，，三点共线，则．

已知向量，，，且，则．

已知，，，为空间中任意四点，化简．

已知点，，点满足，则的坐标是．

三、解答题（共4题）

如图，点，分别在对角线，上，且，．求证：向量，，共面．

已知平面向量，，，，求：

(1)向量，的坐标；

(2)向量与的夹角．

已知是坐标原点，且，，三点的坐标分别是，，，求适合下列条件的点的坐标：

(1)；

(2)；

已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点．

(1)求证：，，，四点共面；

(2)求证：；

(3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有．

答案

一、选择题（共11题）

1.【答案】D

【解析】若，则，

所以．

2.【答案】B

【解析】因为，所以，所以．

3.【答案】C

4.【答案】D

【解析】命题①是假命题．若将空间中所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆

命题②是假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同．

命题③是真命题．向量的相等满足递推规律．

命题④是假命题．空间中任意两个单位向量的模均为，但方向不一定相同，所以不一定相等．

命题⑤是假命题．零向量的方向是任意的．

5.【答案】D

6.【答案】D

【解析】因为，互为相反向量，

所以．

又因为，

所以．

7.【答案】A

【解析】向量，，，

则向量．

8.【答案】B

【解析】由空间平面的向量表示式知，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使，可以变形为，注意到，，的系数和为，满足这个条件的只有选项B．

9.【答案】B

【解析】因为，，

所以，．

又因为，

所以，

解得，，

所以．

10.【答案】B

【解析】

11.【答案】C

【解析】因为向量，

所以不妨设与共线的单位向量，

则．

解得，

所以与共线的单位向量为或．

二、填空题（共4题）

12.【答案】

【解析】因为，，且，，三点共线，

所以存在实数，使得．

即，

所以解得

所以．

13.【答案】

14.【答案】

【解析】方法一（利用相反向量的关系转化为加法运算）：

方法二（利用向量的减法运算法则求解）：

15.【答案】

【解析】设，为坐标原点．由点满足，得，可得，则的坐标是．

三、解答题（共4题）

16.【答案】由题图知，

所以向量，，共面．

17.【答案】

(1)因为，，，

所以，

所以

因为，，

所以，

所以

所以，．

(2)设与的夹角为，

因为，，

所以．

因为，

所以．

故与的夹角为．

18.【答案】

(1)由题得，．

因为

所以．

(2)因为

所以，

所以．

19.【答案】

(1)如图，连接，

则

由共面向量定理的推论知，，，四点共面．

(2)因为，

又，，，