第二章圆锥曲线与方程复习与小结

PAGEPAGE6选修2-1第二章圆锥曲线与方程小结与复习(学案)【知识归类】1．曲线与方程⑴曲线上的点与二元方程的实数解建立如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以上这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.⑵求曲线的方程的一般步骤①建系；②设点；③列方程；④化简；⑤检查.2．圆锥曲线的定义⑴平面内满足的点的轨迹叫做椭圆，定义可实现椭圆上的点到两焦点的距离的相互转化.⑵平面内满足的点的轨迹叫做双曲线，表示焦点对应的一支，定义可实现双曲线上的点到两焦点的距离的相互转化.⑶平面内与一个顶点与一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定义可实现抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转化.3.圆锥曲线的标准方程椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程.根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式.4.圆锥曲线的简单几何性质⑴圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件.⑵双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同.⑶椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点⑷椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴.⑸圆锥曲线中基本量的几何意义及相互转化.6.直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的公共点个数等于由它们的方程构成的方程组解的个数.⑵直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆相切，但直线与双曲线、抛物线不一定相切，双曲线与平行于渐近线的直线，抛物线与平行（重合）于轴的直线，都只有一个公共点但不相切.7.直线与圆锥曲线相交的弦长⑴求弦长的方法是将直线与圆锥曲线的方程联立后，求出两点坐标，利用两点间距离公式，常用的方法是结合韦达定理，如直线与圆锥曲线相交于两点，弦长.⑵过抛物线焦点的弦长问题结合定义来解决能化简计算.8.元圆锥曲线有关的“中点弦”弦的中点坐标与斜率可由曲线方程得到关系，此法称为“点差法”，灵活运用科简化计算，但要以直线与曲线相交为前提，即消元后的方程判别式大于零.9.当直线过轴上的点时，设直线方程为与抛物线方程联立消元后的方程较简。但这种形式的直线方程不包含斜率为零的情况.【题型归类】题型一：圆锥曲线定义的应用例2已知抛物线，过焦点的弦为，且=8，求中点的横坐标.变式练习2：已知点,动点满足,当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是.题型二：求动点的轨迹方程例1在中，已知,当动点满足条件时，求动点的轨迹方程.变式练习1：在中，已知，且三内角、、满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.题型三：考查直线与圆锥曲线相交的弦长、中点例4：顶点在原点，焦点在轴上的抛物线截得直线所得的弦长的长为，求抛物线方程.变式训练4：过点作直线与双曲线交于两点，且点位线段的中点，则直线的方程是.题型四:考查直线与圆锥曲线位置关系例3：已知双曲线与点，求过点的直线的斜率的取值范围，使分别有一个交点，两个交点，没有交点.变式训练3：直线与抛物线的公共点个数是（）.（A）（B）（C）可能为题型五：圆锥曲线综合问题例5：在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围.变式训练5：求实数的取值范围，使抛物线上存在两点关于直线对称.【思想方法】1.数学思想：数形结合、方程思想、分类讨论思想等2.数学方法:⑴求动点轨迹方程中的定义法、待定系数法，求离心率中整体换元法、分离变量法等；⑵直线与圆锥曲线相交中点弦中“点差法”，求参数范围中的不等式法.1.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是其左、右焦点，若，则().(A)或(B)(C)(D)2.椭圆的离心率为是它的一个焦点，则椭圆内接正方形的面积是（）.（A）（B）（C）（D）3.若双曲线的渐近线的方程为则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）.(A)（B）(C)(D)4.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（）.（A）（B）（C）（D）6.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.7.已知，是椭圆上一动点，线段的垂直平分线于，则动点的轨迹方程为.8.已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（）.（A）(B)（C）（D）9.设双曲线的右顶点为，右焦点为，过平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，则的面积为.10.已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且两曲线交点的连线过，则该椭圆的离心率为.11.直线与椭圆交于两点，记的面积为，当，时，求直线的方程.12.已知椭圆的中心在原，离心率为，左焦点是.⑴求椭圆的方程；⑵设是椭圆上的一点，且点与椭圆的两个焦点构成一个直角三角形，若的值.选修2-1第二章圆锥曲线与方程小结与复习(教案)【知识归类】1．曲线与方程⑴曲线上的点与二元方程的实数解建立如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以上这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.⑵求曲线的方程的一般步骤①建系；②设点；③列方程；④化简；⑤检查.2．圆锥曲线的定义⑴平面内满足的点的轨迹叫做椭圆，定义可实现椭圆上的点到两焦点的距离的相互转化.⑵平面内满足的点的轨迹叫做双曲线，表示焦点对应的一支，定义可实现双曲线上的点到两焦点的距离的相互转化.⑶平面内与一个顶点与一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定义可实现抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转化.3.圆锥曲线的标准方程椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程.根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式.4.圆锥曲线的简单几何性质⑴圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件.⑵椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴.⑶椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点.⑷双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同.⑸圆锥曲线中基本量的几何意义及相互转化.6.直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的公共点个数等于由它们的方程构成的方程组解的个数.⑵直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆相切，但直线与双曲线、抛物线不一定相切，双曲线与平行于渐近线的直线，抛物线与平行（重合）于轴的直线，都只有一个公共点但不相切.7.直线与圆锥曲线相交的弦长⑴求弦长的方法是将直线与圆锥曲线的方程联立后，求出两点坐标，利用两点间距离公式，常用的方法是结合韦达定理，如直线与圆锥曲线相交于两点，弦长.⑵过抛物线焦点的弦长问题结合定义来解决能化简计算.8.元圆锥曲线有关的“中点弦”弦的中点坐标与斜率可由曲线方程得到关系，此法称为“点差法”，灵活运用科简化计算，但要以直线与曲线相交为前提，即消元后的方程判别式大于零.9.当直线过轴上的点时，设直线方程为与抛物线方程联立消元后的方程较简。但这种形式的直线方程不包含斜率为零的情况.【题型归类】题型一：圆锥曲线定义的应用例2已知抛物线，过焦点的弦为，且=8，求中点的横坐标.【审题要津】根据定义，转化为弦长，可先求出两点横坐标之和.解：有已知焦点，准线，设，则，，故.【方法总结】抛物线中，过焦点的弦为，则有，其中可利用根与系数的关系表示出，进而可以使弦长问题得到简化.变式练习2：已知点,动点满足,当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是.题型二：求动点的轨迹方程例1在中，已知,当动点满足条件时，求动点的轨迹方程.【审题要津】由题设条件可建立的几何灯饰，进而求出的轨迹方程.解：以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，由正弦定理得,,.由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线的右支，所以顶点的轨迹方程是.【方法总结】寻找动点的约束关系很关键.解答本题应注意：（1）将角的关系换为距离关系,联想双曲线的定义使问题简化；（2）不可忽视三角形的条件，由点、、不共线，除去点.变式练习1：在中，已知，且三内角、、满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.解：以边所在的直线为，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则.由正弦定理得.即，从而.由双曲线的定已知，点的轨迹为双曲线的右支，.所以顶点的轨迹方程为.题型三：考查直线与圆锥曲线相交的弦长、中点例4：顶点在原点，焦点在轴上的抛物线截得直线所得的弦长的长为，求抛物线方程.【审题要津】设抛物线方程与直线方程联立，利用弦长公式.解：依题意，可设抛物线方程为，两点的坐标分别为，则由方程组可得，因为抛物线和直线有两个不同的交点，，又，，整理可得，故所求抛物线方程为或.【方法总结】⑴解答本题应熟悉弦长的计算公式；⑵注意设点而不求点，掌握结合韦达定理，整体代换的解题技巧.变式训练4：过点作直线与双曲线交于两点，且点位线段的中点，则直线的方程是.题型四:考查直线与圆锥曲线位置关系例3：已知双曲线与点，求过点的直线的斜率的取值范围，使分别有一个交点，两个交点，没有交点.【审题要津】考察直线与圆锥曲线的位置关系时转化成方程组的解的个数问题.解：⑴当垂直于轴时，此直线与双曲线相切，有一个交点.⑵当不与轴垂直时，设直线为带入双曲线方程中，有，当时，即时，有一解.当时，，令，可得.令.令，即，此时.当不存在时，直线与双曲线只有一个公共点；当时，直线与双曲线有两个交点；当时，直线与双曲线没有交点.【方法总结】处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常用联立消元法得到一元二次方程，讨论其解的个数，并应注意斜率不存在的情况.变式训练3：直线与抛物线的公共点个数是（C）.（A）（B）（C）可能为题型五：圆锥曲线综合问题例5：在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围.【审题要津】设两点关于直线对称，易得直线：，由两点关于直线对称可得的关系式，而直线与抛物线有两交点，，即可求得的范围.解：设两点关于直线对称，直线方程为，代入，得，设，，中点，则，点在直线上，，，又与抛物线交于不同两点，把代入化简得解得.【方法总结】对称问题是高考的热点之一，由对称易得两关系式，本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由两点在抛物线上得“”.变式训练5：求实数的取值范围，使抛物线上存在两点关于直线对称.解：设抛物线上两点，关于直线对称，中点，显然，则，①，将代入方程，解得，②由①②知是方程的两根，由可解得【思想方法】1.数学思想：数形结合、方程思想、分类讨论思想等2.数学方法:⑴求动点轨迹方程中的定义法、待定系数法，求离心率中整体换元法、分离变量法等；⑵直线与圆锥曲线相交中点弦中“点差法”，求参数范围中的不等式法.1.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是其左、右焦点，若，则(C).(A)或(B)(C)(D)2.椭圆的离心率为是它的一个焦点，则椭圆内接正方形的面积是（B）.（A）（B）（C）（D）3.若双曲线的渐近线的方程为则双曲线的焦点到渐近线的距离为（C）.(A)（B）(C)(D)4.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（B）.（A）（B）（C）（D）6.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.7.已知，是椭圆上一动点，线段的垂直平分线于，则动点的轨迹方程为.8.已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（C）.（A）(B)（C）（D）9.设双曲线的右顶点为，右焦点为，过平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，则的面积为.10.