直线型中的蝴蝶定理

直线型中的蝴蝶定理江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300一、圆中的蝴蝶定理简介在中学平面几何中，有这样一个著名的定理：过。O的弦AB的中点M作任意两条弦CD和EF,连结ED、CF分别交AB于点P、Q.求证：MP=MQ.由于其几何图形貌似蝴蝶,因此人们把它命名为“蝴蝶定理”．这个问题最早出现在1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上,刊登出来征求证明.登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明.不过,霍纳的证明比较繁,使用的知识也比较深.158年以后的1973年,又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系,给出了一个漂亮而简捷的证明.从这以后,这个定理限于初等数学,甚至只限于初中数学的证明方法象雨后春笋般脱颖而出,证法多得不枚胜举.1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录先生以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在我国传开.蝴蝶定理可以推广的椭圆、抛物线、双曲线等的情形.二、四边形中的蝴蝶定理定理：四边形ABCD的对角线相交于点M,且MA=MC,过点M任作两条直线EF、GH分别交AB、DC于点E、F,交AD、BC于点G、H,连结EG、HF分别交AC于点P、Q.求证：MP=MQ.

BCBC证明：连接AH、AF、CE、CG．在AMEG和AAEG中MP/AP=sAMEG/SAAEG在ACHF和AMHF中CQ/MQACHF/SAMHF在AABD和ACBD中MA/MC=SAABD/SACBD在AMEG和AMHF中ME/MFMG/MH=SAMEG/SAMHF在ACHF和ACBD中CH/BCQF/CD=SACHF/SACBD在AAEG和AABD中AE/AB-AG/AD=SAAEG/SAABD在AAEC和AAFC中ME/MF=SAAEC/SAAFC在AAGC和AAHC中MG/MH=SAAGC/SAAHC在AAFC和ACAD中CF/CD=Saafc/sACAD在AAHC和AABC中CH/BC=SAAHC/SAABC在AAEC和AABC中AE/AB=SAAEC/SAABC在AAGC和ACAD中AG/AD=Saagc/sACAD以上各式全部相乘，得MP/AP・CQ/MQ・MA/MC=1.由MA=MC,得MP/AP=MQ/CQ，所以MP/(AP+MP)=MQ/(CQ+MQ),即MP/MA=MQ/MC.所以MP=MQ.注：筝形中的蝴蝶定理只是四边形中的蝴蝶定理的特例三、直线对上的蝴蝶定理

定理：过两条直线间的线段（两个端点分别在两条直线上的线段）AB的中点M,作两条直线间的任意两条线段CD、EF,作直线CF、DE分别交直线AB于点P、Q.求证：MP=MQ.MPMAMPMA证明：两条直线平行的情形不过是平行线等分线段定理的特例下面证明两条直线相交于点S的情形：依次考虑直线CPF截AMAD,DQE截AMBC,FME截ASCD和ASAB.根据梅涅劳斯（Menelaus）定理，得MPAFDC MDCEBQ SECMDF SFAMBE =1,--=1,--=1, =1.PAFDCM DCEBQM ECMDFS FAMBES四式相乘，得MPBQAM••=1.PAQMMBMPQM由MA=