概率统计讲课稿第五章(第三,四节)

1第三节常用随机变量的数学期望和方差数学期望和方差的定义及计算公式(一)离散型随机变量的数学期望和方差EX=xP{X=x},iiiE[g(X)]=g(x)P{X=x},iiiDX=(xEX)2P{X=x},iiiDX=E(XEX)2=EX2(EX)2,E[g(X,Y)]=g(x,y)P{X=x,Y=y},ijijij(二)连续型随机变量的数学期望和方差,2Rn12n12n12n(三)数学期望和方差的性质iiiii=1i=1,,D(XY)=E(XY)2[E(XY)]2XXX有12n12nD(nkX+b)=nk2DX。iiiii=1i=100XP1p3求EX,DX.DX=EX2(EX)2=pp2=p(1p)p。。求EX,DX.解方法一nkk=1=nkn!kk=1n1n1ki=0EX2=E[X(X1)+X]=E[X(X1)]+EXnkk=1kk=2nnpnCkpkqnknpnnpCipiqn2i+npn2n2k=2i=0DX=EX2(EX)24方法二XX.,X相互独立,nii则X=nX~B(n,p),ii=1EX=p,DX=p(1p).ii,iii=1i=1i=1iii=1i=1.i=1k!k!求EX,DX.5 解 解k=0，入于是。概率密度求EX,DX.006000202222222解解的概率密度为 (2几ww ( 7 ( ( ( (正态分布的性质定理设X~N(山,(2),X,X相互独立,N(kkb,k2(2+k2(2)112211221212定理设(X,X)~N(山,(2;山,(2;p),22(2)X,X相互独立一p(2)X,X相互独立一p=0;11221212定理设随机变量12n12m82n+1n+2n+m例6P126习题31已知随机变量X,X,X,XY=X+X2与Y=XX的联合概率密112234度.度1212正态分布,ii12DY=DX+DX=22,112EY=EXEX==0,DY=D2(X)=X+DX=22,YNYNYN),12f(y)=e2(y)2,1Y122几12Y22几2f(y,y)f2(y).f(y)12Y1Y2219例7设X在区间[a,b]上服从均匀分布,求解X的概率密度为3(2)12.例8设随机变量X的数学期望EX和方差DX都求EX*,DX*.DXDX=E(XEX)=(EXEX)=0,=XEX1E(X*)2=E()2XEX1E(X*)2=E(DXDXDXDXDX*=E(X*)2(EX*)2=102=1.称X*=XEX为随机变量X的标准化随机变量.量D(X+Y)=E[(X+Y)E(X+Y)]2EY=E(XEX)2+E(YEY)2+2E[(XEX).(YEY)]第四节协方差和相关系数之间的关系.下面引进的协方差和相关系数就能起这个作用.一.协方差则称它为随机变量X与Y的协方差.YD(XY)=E[(XY)E(XY)]2定理若X与Y相互独立,则E(XY)=EX.EY,二.相关系数定义7设(X,Y)为二维随机变量，协方差Cov(X,Y)则称数值为随机变量X与Y的相关则称数值DX.DY系数或标准协方差,记作p,或简记作p,即XYp=p=.XYDX.DY则称X与Y不相关.定理若X与Y相互独立,且DX>0,DY>0，Cov(X,Y)p=p==0,XYDX.DY即X与Y不相关.但是由X与Y不相关,推不出X与Y相互独立.对于相关系数Cov(X,Y)p=p=,XYDX.DY则有(1)成立|p|1;(2)|p|=1的充要条件是由此可知,相关系数p刻划了随机变量X与Y之间线性关系的近似程度.当|p|越接近于1时,X与Y越接近线性关系.当|p|=1时,X与Y之间以概X即相当于(XEX)与(YEY)线性相关。)另一个极端情形是当p=0时,X与Y之间不存在线性关系(即相当于(XEX)与(YEY)不线性相关),故此时称X与Y不相关.0000，，(奇函数在对称区间上积分为零)几几000几XYDX.DY从而X与Y不相关;于是X的概率密度为Ywl它XY所以X与Y不独立.解由题设条件知,X~N(,2),EX,DX2,1122122(12)2(12)222212122122(12)expy2x122(12)21 (装)1 (装)1122w1X2 装1装1装112pXYDX.DY装装1122则X与Y相互独立一p=0(X,Y),X与Y的独立性与不相关性是等价的;对一般随机变量(X,Y),X与Y独立X与Y不相关,反之不真;).且Z=X2Y+1,(1)当p=0时,求Z的概率密度f(z)及D(XY);Z(2)当p=时,求E[(YX)Y]及2解(1)由题设条件及p=0知,X与Y相互独立,所以Z=X2Y+1服从正态分布,于是得到EZ=E(X2Y+1)DZ=D(X2Y+1)Z172几且E(XY)=EX.EY=0,于是D(XY)=E(XY)2[E(XY)]21(3)当p=p=时,XY2XY1=21=1,2故XXY-101-11818018011818但X与Y不独立.证明由已知条件可以分别计算出X,Y的边沿分布XP-138028138YY-101P382838则有EX=(1)3+02+13=0,888EX2=(1)2+02+128884DX=EX2(EX)2=3,4因Y与X的分布律相同,3故EY=EX=0,DY=DX=,4E(XY)=xyP{X=x,Y=y}ijijij1188=0,Cov(X,Y)p==0,XYDX.DY即得X与Y不相关;P{X=0}.P{Y=0}=,因此X与Y不相互独立.例5接连不断地掷一颗骰子,直到出现小于5点为止,以X表示最后一次掷出的点数,以Y表示掷骰子的次数.Y(3)证明X与Y相互独立;(4)求EX,EY,E(XY).解(1)依题意知X的可能取值为1,2,3,4;Y的kki则P(B)=P(A)k6,ki6B+A+A+A+A=S,kkk2k3k4{X=i,Y=j}=“掷骰子j次,最后一次掷出i点,前(j1)次掷出5点或6点”=B...BA,1j1ji(各次掷骰子出现的点数相互独立)P{X=i,Y=j}=()j1.=.(6