2024届高考数学复习专题 ★★函数的周期性和对称性 课件（共32张PPT）

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2024届高考数学复习专题★★函数的性质

--对称性、周期性

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(1)若关于直线对称

一、函数的对称性

若函数上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在上，就称关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。

(2)若关于点对称

两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造.

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定理：若函数满足，那么函数以为对称轴。

cor.若函数满足，那么函数以为对称轴。

即：

Y

X

O

A

B

X=a

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定理：若函数满足，那么函数关于点

对称。

cor.若函数满足，那么函数关于点对称。

即：

Y

X

O

A

B

(a,0)

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2)若,则函数关于______________对称;

注：1.当时,函数关于直线对称

2.当时,函数关于点对称

偶函数特殊的轴对称函数

奇函数特殊的点对称函数

一般地,1)若,则函数关于对称.

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y=f(x)对称源性质

点(0,0)

y轴

y=x

x=m

点(m,n)

f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x)

f(x)=f-1(x)

f(x)=f(2m-x)

f(x)=2n-f(2m-x)

Ex:若函数

12

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关于x=0对称

例1：已知的图象,画出和的图象，并指出两者的关系。

(-1,0)

(1,0)

若函数上任意一点关于某直线（或某点）的对称点在上，就称和关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互对称。

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一般地,函数和关于_______对称.

记忆：令x+a=-x+b，可求得对称轴.

变化前对称源变化后

y=f(x)点(0,0)

x轴

y轴

y=x

y=-x

直线x=m

直线y=n

点(m,n)

y=-f(-x)

y=-f(x)

y=f(-x)

y=f-1(x)

y=-f-1(-x)

y=f(2m-x)

y=2n-f(x)

y=2n-f(2m-x)

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例3：设的图象与的图象关

于直线对称，求的解析式。

例2:将函数右移2个单位得到图像C1，有C1和C2的图像关于点对称，求C2的函数解析式。

利用对称性求解析式

（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式

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例4：设图象关于直线对称,在上，求当时的解析式。

例5：设是定义在R上的偶函数，它的图

象关于直线对称，已知时,函数

求当时的解析式

(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换

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关于直线对称

关于直线对称

关于对称

关于点对称

常见函数的对称性

一个函数本身的对称性称为自对称,分成关于某直线对称或某点对称.

原点

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二、函数的周期性

理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？

1.定义:对于函数，若存在非零常数T，使得恒成立，则称为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周期。

(2).若T是的一个周期，则kT（k是非零整数）均是的周期吗？

(3)周期函数的定义域D可以为闭区间吗？

T=(a-b)

思考：若,函数具有什么性质？

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注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要条件

2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)

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3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。

性质1.若函数以为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=

X=a

X=b

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性质2.若函数以为对称点，那么此函数是周期函数，周期T=

假定

(a,0)

(b,0)

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性质3.若函数以为对称点，以为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=

假定

X=b

(a,0)

X

Y

O

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练习1:定义在R上的函数满足

且方程有1001个根，则这1001个根的和？

4:如果那么

3：如果那么

2:函数图象关于点对称，则

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5:(1)定义在R上偶函数满足则方程在区间上至少有()个根。

(2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”，其余条件不变，则在区间至少有()个根。

6：定义在R上函数满足条件:①不是常值函数；②③则下列命题中正确的是()

A.是周期函数B.关于对称C.关于y轴对称D.关于原点中心对称

重要结论：若奇，且周期为T，则必有

注：可用模拟图，直观明了

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思考：若周期为，又关于

对称，能否推出是偶函数？若能，

能否严格证明？

练习:1.若为定义在R上的奇函数，且关于直线对称，问：是否为周期函数？若是，求出它的一个周期。

2.若为定义在R上偶函数且满足

问：是否关于直线

对称？若是，请给出证明。

3：设奇函数，且

当则

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5：设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时,函数求当