知识讲解-集合的基本关系及运算-基础

林麝朮号：毎日」艰宵申數学集合的基本关系及运算【学习目标】理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）.记作：A匸B（或B3A），当集合A不包含于集合B时，记作A^B，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A两个集合间的“包含”关系：A匸B（或B3A）要点诠释：（1）“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的xeA，能推出xeB.（2）当A不是B的子集时，我们记作“A区B（或B3A）”，读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）．真子集：若集合A匸B，存在元素xeB且x笑A，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）.记作：A冠（或B艮A）规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系A匸B且B匸A，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A匸A.要点二：集合的运算并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AUB读作：“A并B”，即:AUB={x|xeA,或xeB}Venn图表示：要点诠释：(1)“XeA,或XeB”包含三种情况：“xgA,但x电B”“xgB,但x电A”“xgA,且xgB”.(2)两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AAB,读要点诠释：并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB=0.概念中的“所有”两字的含义是，不仅“ADB中的任意元素都是A与B的公共元素”同时“A与B的公共元素都属于AGB”.两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset)，简称为集合A的补集，记作：CA；即CA={xlxeU且x电A}；补集的Venn图表示：要点诠释：理解补集概念时，应注意补集CUA是对给定的集合A和U(A匸U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，补集不同.全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，贝Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集.cua表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合(如R)时，则记号中“U”也必须换成相应的集合(即cra).集合基本运算的一些结论：AnB匸A,AnB匸B,AnA=A,An0=0,AnB=BnAA匸AoB,B匸AoB,AoA=A,AO0=A,AoB=BoAAU(CA)二UAPl(CA)=0U , U若AHB=A，则A匸B，反之也成立若AUB=B，则A匸B，反之也成立若xe(AHB)，贝VxeA且xwB若xe(AUB)，贝VxeA,或xeB求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一：集合间的关系例1.请判断①0岂0}；②Re{R}；③0e(0)；④0^{0}；⑤0={o}；⑥0e{0}；⑦0e{o}；⑧0Mo},正确的有哪些？【答案】②③④⑧【解析】①错误，因为0是集合{0}中的元素，应是0e{0}；②③中都是元素与集合的关系，正确;④⑧正确，因为0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的{0}为非空集合；⑤⑥⑦错误，0是没有任何元素的集合．【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三：【变式1】用适当的符号填空：{x||x|W1} {x|x2W1}；{y|y=2x2} {y|y=3x2T}；{x||x|〉1} {x|x>1}；{(x,y)|—2WxW2} {(x,y)|T〈xW2}.【答案】(1)= ⑵空(3) ⑷【总结升华】区分元素与集合间的关系，集合与集合间的关系.例2.(2015秋确山县期中)已知A={xIx2—4=0},B={xIax—6=0}，且B是A的子集.求a的取值集合M；写出集合M的所有非空真子集.【思路点拨】对(1)根据A集合中的元素，B匸A，分类讨论B的可能情况，再注解a,写出集合M.根据含有n个元素的集合的真子集个数是2n-1,求解(2).【答案】(1)M={0，3，－3}；(2){0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}【解析】(1)A={2，-2}.VB是A的子集，・・・B=0,{2},{-2},®B=0时，方程ax—6=0无解，得a=0；®B={2}时，方程ax—6=0的解为x=2，得2a—6=0,所以a=3；③B={—2}时，方程ax—6=0的解为x=—2,得一2a—6=0,所以a=—3.所以a的取值集合M={0,3,-3}.(2)M={0，3，－3}的非空真子集为{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}【总结升华】本题考查集合的子集问题，含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n-1；非空真子集个数是2n-2.举一反三：【变式1】已知{a,b}cA■/{a,b,c,d,e},则这样的集合A有 个.答案】7个【变式2】同时满足：①M匸{1,2,3,4,5上②aeM，则6-aeM的非空集合M有()A.16个B.15个C.7个D.6个【答案】C【解析】a二3时，6—a二3；a二1时，6—a二5；a二2时，6—a二4；a二4时，6—a二2；a二5时，6—a二1；.•.非空集合M可能是：{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7个.故选C.【变式3】已知集合A={1,3,a},B=d}，并且B是A的真子集，求实数a的取值.【答案】a=-1,a=±3或a=0【解析】D.・.a2eA,则有：a2=1=a=±1,当a=1时与元素的互异性不符，.°.a=T；a2=3=a=±a2=a=a=0, a=1，舍去a=1,则a=0综上：a=-1,a=±\.：3或a=0.注意：根据集合元素的互异性,需分类讨论.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430例2】例3.设M={x|x二a2+1,aeN+},N={x|x二b2-4b+5,beN+},则M与N满足()A.M=NB.M^N C.N空M D.MHN=0【答案】B【解析】当aeN时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当beN时，元素++x=b2-4b+5=(b-2)2+1,其中b-2可以是0,所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即M貝N,故选B.例4.已知M二{x,xy,*x—y},N二{0,|x|,y},若m=N,贝9(x+y)+(x2+y2)+ +(x1oo+y100)= .A.-200 B.200 C.-100 D.0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手,本题应侧重考虑集合中元素的互异性

【答案】D【解析】由M=N,知M,N所含元素相同.由0£{0,|x|,y}可知0g{x,xy,/x-y}若x=0，则xy=0,即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x#0.若x•y=0,贝x=0或y=0,其中x=0以上讨论不成立，所以y=0,即N中元素0,y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy#0若Jx-y二0，则x=y,M,N可写为M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}由M=N可知必有x2=|x|,即|x|2=|x|・•.|x|=0或|x|=l若|x|=0即x=0,以上讨论知不成立若|x|=1即X二土1当x=1时，M中元素|x|与X相同，破坏了M中元素互异性，故x#1当x=-1时，M二{T,1,0},N={0,1,-1}符合题意，综上可知，x=y=-1(x+y)+(x2+y2)+ +(xioo+yioo)=-2+2-2+2+・・・+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征,而找不到题目的突破口．因此集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a,bgR,集合{l，a+b，a}={0,—,b}，则b-a=（ ）a【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：1g{0,b,b},0g{1,a+b,a}，又a丰0,a+b=0a・••当b=1时，a=-1,.{0,—,b}={0，-1，1}a・当巴=1时，.・b二a且a+b=0,・・a二b=0（舍）a・・综上：a=-1,b=1,・・b-a=2.类型二：集合的运算B. [f，2小2]D.SJi)例5.(1(2014湖北武汉期中)已知A={y|y=x2-2)；B={y|y=-x2+2),则aab=()B. [f，2小2]D.SJi)C．[－2,2]（2）设集合M={3,a},N={xlx2—2xV0,xgZ},MAN={1},则MUN为（ ）.A．{1, 2, a} B． {1, 2, 3, a} C． {1,2,3} D． {1, 3}【思路点拨（1）先把集合A、B进行化简，再利用数轴进行相应的集合运算.（2）先把集合N化简,然后再利用集合中元素的互异性解题．【答案（1）C（2）D【解析（1）集合A、B均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A={yly$—2},B={ylyW2},所以AAB={y|—2WyW2},选C.

(2)由N={xlx2—2xV0,xeZ}可得：N={xlOVxV2,xeZ}={1},又由MQV={1},可知teM,即a=i,故选D．举一反三：1【变式1】设A、B分别是一兀二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且AQB={—}，求AUB.【答案】{—，i，-4}【解析】TAQB={—}，—是方程2x2+px+q=0的解，则有：2(2)2+2p+q=0(1)，同理有：6(—)2+(2-p)・—+5+q=0(2)fp=7,联立方程(1)(2)得到：＜ /|q=-4.・•方程（1）为2x2+7x-4=0,1・•方程（1）为2x2+7x-4=0,1x=，12・•・方程的解为:由方程(2)6x2-5x+1=0，1・・・B={于・•・A={2,-4},11解得：x3=—，x4=3，11'2，3，-4}.x2=-4，1}，贝yaub={【高清课堂：集合的运算377474例5】【变式2】设集合A={2，a2-2a,6}，B={2，2a2，3a-6}，若AQB={2,3}，求AUB.【答案】{2,3,6,18}【解析】由AHB={2,3}，知元素2,3是A,B两个集合中所有的公共元素，所以3e{2,a2-2a,6},则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=T当a=3时，A={2,3,6},B={2,18,3}・AUB={2，3，6}U{2，18，3}={2，3，6，18}当a=-1时，A={2,3,6},B={2,2,-9}这既不满足条件AHB={2,3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.综上AUB={2,3,6,18}.【高清课堂：集合的运算377474例6】例6.设全集U={xeN|xW8}，若An(CB)={1,8},(CA)nB={2,6},(CA)n(CB)={4,7},求集合+uuuuA,B.【答案】A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}【解析】全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}由An(CB)={1,8}知，在A中且不在B中的元素有1,&由(CA)nB={2,6},u u知不在A中且在B中的元素有2,6；由(CA)n(CB)={4,7},知不在A中且不在u uB中的元素有4,7,则元素3,5必在AnB中.由集合的图示可得A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}.类型三：集合运算综合应用

例7・(2014北京西城学探诊)已知集合A={xl—4WxV2},B={xl-1<x<3},C={XLX^a,aeR}?-(1)若(AUB)nC=0，求实数a的取值范围；(2)若(AUB)匸C,求实数a的取值范围.【思路点拨(1)画数轴；(2)注意是否包含端点.x【答案(1)a±3 (2)aW—4x【解析】・.・A={x—4Wx<2},B={xl—1Wx<3}，又(AUB)nC=0，如图,a±3；画数轴同理可得：aW-4・【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算,但其本质是一个定区间,和一个动区间的问题．思路是,使动区间沿定区间滑动,数形结合解决问题．举一反三：【变式1】已知集合P={x|x氏1},M={a}.若PUM=P则a的取值范围是()A.(-d-1] B・[1,+s)C・[-1,1] D・(一s,-1]U[1,+s)【答案】C【解析】P={x|-1<x<1}又：PM=P,・・.M匸P，•:-1<a<1故选C.例故选C.例8.设集合A=&Ix2+4x=0f,B+2(a+1)x+a2一1=0,agr}.若AB=B，求a的值；若AqB=B，求a的值.【思路点拨】明确AB、AB的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式B匸A和A匸B,是解决本题的关键.同时，在包含关系式B匸A中，不要漏掉B=0的情况.【答案】(1)a=1或a<-1；(2)a=1.【解析】首先化简集合A，得A={一4,0}.①若B=01时(1)由AB=B，则有B匸A，可知集合B为0，或为{0}、{-4},或为{0,-4}.①若B=01时A=4(a+1)2—4(a2—1)<0，解得a<-1.②若0gB，代入得a2-1=0na=1或a=-1.当a=1时，B=(|x2+4x=0}={0,-4}=A,符合题意;当a=-1时，B=・|x2=0}={0}匸A,也符合题意.当a=-1时，③若-4gB，代入得a2一8a+7=0，解得a=7或a=1.当a=1时，已讨论，符合题