大学高等数学知识点

#5.分部积分(巧用):含需求导的被积函数(如Inx,arctanx,fxf(t)dt)；a“反对幂三指”：fxneaxdx，fxnlnxdx，(3)特别：fxf(x)dx(*已知f(x)的原函数为F(x)；*已知f'(x)=F(x))asinx+bcosx「「v(x)6.特例：(1)fiidx；(2)Jp(x)ekxdx,Jp(x)sinaxdx快速法;(3)fdxasinx+bcosxun(x)三.定积分：三.定积分：1.概念性质：积分和式(可积的必要条件：有界，充分条件：连续)几何意义(面积，对称性，周期性，积分中值)*faax-x2dx(a>0)=a2；08fbf(x)dx<M(b-a),a(3)附:*fb(x-a^b)dx=0a2jbf(x)g(x)dx<Mfb|g(x)dx)(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重2:变限积分①(x)=fxf(t)dt的处理(重点)a(1)f可积二①连续，f连续二①可导(2)(fxf(t)dt)'=f(x)；(fx(x-1)f(t)dt)'=fxf(t)dt；fxf(x)dt二(x—a)f(x)aaaa(3)由函数F(x)=\xf(t)dt参与的求导，极限，极值，积分(方程)问题a3.N—L公式：fbf(x)dx二F(b)一F(a)(F(x)在［a,b］上必须连续!)a注：(1)分段积分，对称性(奇偶)，周期性有理式，三角式，根式含fbf(t)dt的方程.a4.变量代换：fbf(x)dx=f(3f(u(t))u'(t)dtTOC\o"1-5"\h\zaafaf(x)dx=faf(a一x)dx(x=a一t),00faf(x)dx=faf(-x)dx(x=-t)=fa[f(x)+f(-x)]dx(如:f4dx)-a-a0一血1+sinx‘瓦^2—1(3)I=f2sinnxdx=1,n0nn-2

『■X『匸ffX⑷J2f(sinx)dx=J2f(cosx)dx；JXf(sinx)dx=2J2f(sinx)dx,oooo(5)xf(sinx)dx=1卜f(sinx)dx,o2o分部积分(1)准备时“凑常数”(2)已知f'(x)或f(x)=Jx时，求Jbf(x)dxaa附:三角函数系的正交性:J2Xsinnxdx=J2Xcosnxdx=J2Xsinnxcosmxdx=0oooJ2Xsinnxsinmxdx=J2Xcosnxcosmxdx(n丰m)=000J2Xsin2nxdx=J2Xcos2nxdx=兀00四.反常积分:1.类型:⑴卜f(x)dx,a(2)Jbf(x)dx：aJ1.类型:⑴卜f(x)dx,a(2)Jbf(x)dx：a—g—g2.敛散;3.计算:积分法㊉N-L公式㊉极限(可换元与分部)(1卜丄dx;ixp五.应用：(柱体侧面积除外)面积,2.敛散;3.计算:积分法㊉N-L公式㊉极限(可换元与分部)(1卜丄dx;ixp五.应用：(柱体侧面积除外)面积,(1)S=Jb[f(x)—g(x)]dx;a(3)S=丄严r2(9)d9；2a体积:(1)V=XJb[f2(x)—g2(x)]dx;xa4.特例:(2)A—dx

oxp(2)S=Jdf-i(y)dy；c(4)侧面积:S二Jb2兀f(x\：'1+f'2(x)dxa(2)V=xjd[f-i(y)]2dy=2兀Jbxf(x)dxyca⑶Vx=xo与Vy=yo3.弧长：ds=t(dx)2+(dy)2(1)y(1)y=f(x),xe[a,b]s二Jbpl+f‘2(x)dxaIx二Ix二x(t)⑵Iy=y(t),te叶t2]s二J：x'2(t)+y'2(t)dtti(3)r=r(0),0e[a,P]：s=I\.;r2(0)+r'2(6)d0a4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5.平均值(中值定理):一f[a,b]=Jf(x)dx；-aaxf(xf(t)dt-JTf(t)dt令,(f以T为周期:f=T)xT第四讲:微分方程f[0+s)=limXT+8.基本概念1.常识:通解,初值问题与特解（注:应用题中的隐含条件）2.变换方程:⑴令x=x（t）ny'="Dy"（如欧拉方程）⑵令u=u(x,y)ny=y(x,u)ny'(如伯努利方程)建立方程(应用题)的能力.一阶方程:1.形式：(1)y'=f(x,y)；⑵M(x,y)dx+N(x,y)dy=0；(3)y(a)=b变量分离型：y'=f(x)g(y)解法：J企=Jf(x)dxnG(y)=F(x)+Cg(y)Qz“偏”微分方程：=f(x,y);Qx一阶线性(重点)：y'+p(x)y=q(x)Jx()(1)Jx()(1)解法(积分因子法)：M(x)=ex0p(x)dxny1M(x)卩xM(x)q(x)dx+y]x0(2)变化：x'+p(y)x=q(y);(3)推广：伯努利(3)推广：伯努利(数一)y'+p(x)y=q(x)ya4.齐次方程：y'=①己)xy(1)解法：u=nu+xu'=O(u),du=Jdxx①(u)-ux5.6.三.亠…dyax+by+5.6.三.亠…dyax+by+c⑵特例：=111dxax+by+c222全微分方程(数一)：M(x,y)dx+N(x,y)dy二0且些=竽dxdydU二Mdx+NdynU二C一阶差分方程(数三)：y-ayx+1x0y=cax

nxbxp(x)y*=xnQ(x)bxx二阶降阶方程1.2.3.y"二f(x)：y=F(x)+cx+c1.2.3.12y"=f(x,y'):令y'=p(x)ny"=学=f(x,p)dxy"二f(y,y')：令y'二p(y)ny"二pdp二f(y,p)dy四.高阶线性方程：a(x)y"+b(x)y'+c(x)y=f(x)1.通解结构：齐次解：y(x)=cy(x)+cy(x)01122非齐次特解：y(x)=cy(x)+cy(x)+y*(x)11222.常系数方程：ay"+by'+cy=f(x)特征方程与特征根：a九2+bX+c=0非齐次特解形式确定：待定系数;(附：f(x)=keax的算子法)由已知解反求方程.3.欧拉方程(数一)：ax2y"+bxy'+cy=f(x),令x=etnx2y"=D(D-1)y,xy'=Dy五.应用(注意初始条件)：1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积);注：切线和法线的截距积分等式变方程(含变限积分);可设Jxf(x)dx=F(x),F(a)=0a导数定义立方程：含双变量条件f(x+y)=…的方程

4.变化率(速度)dvd2x5.F=ma==一5.dtdt26.路径无关得方程(数一):6.路径无关得方程(数一):dQ_dP

dxdy7.级数与方程:y'(0)8.弹性问题y'(0)8.弹性问题(数三)第五讲:多元微分与二重积分⑴幕级数求和；(2)方程的幕级数解法:y=a0+aix+a2x复合函数的一,二阶偏导(重点):z=复合函数的一,二阶偏导(重点):z=f[u(x,y),v(x,y)]二元微分学概念1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),1.⑴Af=f(x0+△x，y0+△y)，Axf=f(x0+△x，y0)，Ayf=f(x0,y0+△y)⑵limAf,f=lim,f=limJxAxyAy⑶fx+fy=df,limf—f(判别可微性)xyv；(x)2+(y)2注:(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:f(0,0)=limf(x，°)—f(0，°),f(0,0)=limf(0,y)—f(°，°)xxT0xyy—0y2.特例:丰(0,0)f(x,y)=\x2+y2:(0,0)点处可导不连续；、0,=(0,0)/厂丰(0,0)f(x,y)=Ux2+y2:(0,0)点处连续可导不可微；、0,=(0,0)二.偏导数与全微分的计算:1.显函数一,二阶偏导:z=f(x,y)注:(1)xy型；(2)z;(3)含变限积分x(%y°)

熟练掌握记号f',f',f",f",f"的准确使用121112223.隐函数(由方程或方程组确定):'F(x,y,z)=0形式：*F(x,y,z)二0；*、八(存在定理)、G(x,y,z)=0微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性)：Fdx+Fdy+Fdz=0(要求：二阶导)xyz注：(x,y)与z的及时代入000会变换方程..二元极值(定义?);二元极值(显式或隐式)：必要条件(驻点);充分条件(判别)条件极值(拉格朗日乘数法)(注：应用)目标函数与约束条件：z=f(x,y)㊉申(x,y)=0,(或：多条件)求解步骤：L(x,y,九)=f(x,y)+九申(x,y),求驻点即可.有界闭域上最值(重点).z=f(x,y)㊉MeD={(x,y)|申(x,y)<0}实例：距离问题四.二重积分计算：概念与性质(“积”前工作)：Uda,D对称性(熟练掌握)：*D域轴对称;*f奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;⑶“分块”积分：*D=DD;*f(x,y)分片定义；*f(x,y)奇偶12计算(化二次积分)：直角坐标与极坐标选择(转换)：以“D”为主；交换积分次序(熟练掌握).x2y2D:-+二<1；

a2x2y2D:-+二<1；

a2b2D:x|+|y|<1附：D:(x一a)2+(y一b)2<R2；双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)特例：

(1)单变量:f(x)或f(y)(2)利用重心求积分：要求：题型H(kx+ky)dxdy,且已知D的面积S与重心(x,y)12DD无界域上的反常二重积分(数三)五:一类积分的应用(Jf(m:D；o；L；r；S)：Q“尺寸”：(1)JJdboS；(2)曲面面积(除柱体侧面)；DD质量,重心(形心),转动惯量；为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.第六讲:无穷级数(数一,三)一.级数概念1.定义：(1){a},(2)S=a+a+…+a；(3)limS(如£)nn12n-thn(n+1)!n=1£(a注:(1)lima；(2)工qn(或工丄)；⑶“伸缩”级数:nt^nan注:(1)lima；(2)工qn(或工丄)；⑶“伸缩”级数:nt^nan2.性质：(1)收敛的必要条件：lima=0；nnTS(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论)；(3)sTs,aT0nsTsnsTs;2n二.正项级数2n+11.正项级数：(1)定义：a>0；n(2)特征：S/n⑶收敛oS<M(有界)n2.标准级数：(1)工—npinkn⑵—na⑶工-l1-ninkn3.审敛方法:(注:2ab<a2+b2,ainb=bina)k.丄⑴比较法(原理):a(估计)，如Jnf(X)dx；0nnp(2)比值与根值：*limU-+1*lim-'unthUnTxnn三.交错级数(含一般项)：工(―l)n+ia(a>0)nn(应用：幂级数收敛半径计算)1.“审”前考察：(1)a>0?(2)aT0?；nn(3)绝对(条件)收敛?注：若limn+注：若limn+1=p>1,则工nT8anu发散n标准级数：(1)工(-1)n+1丄；n莱布尼兹审敛法(收敛?)(1)前提：工|a|发散；(2)条件:(2)工(-1)n+*1丄np⑶工(-1)n+1—lnpn(3)结论：工(-1)n+1a条件收敛.n4.补充方法:(1)加括号后发散，则原级数必发散；(2)sTs,a2nT0nsTsnsTsn2n+1n5.注意事项:对比工a；工(-1)na；nn工|aI；工a2之间的敛散关系n四.幂级数：1.常见形式：(1)工axn,n2.阿贝尔定理：(2)工a(x-x)n,n0(x-x)2nn0(1)结论：x=x*敛nR>x*-xx=x*散nR<x*—x(2)注：当x=x*条件收敛时nR=|x—x*3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)注(1)工naxn,工a^xn与工axn同收敛半径

nnn(2)工axn与工a(x—x)2n之间的转换nn04.幂级数展开法:(1)前提：熟记公式(双向,标明敛域)ex=1+x+x2+x3+•…，0=R2!3!(ex+e-x)=1+—x2+—x4+—,0=R2!4!(ex-e-x)=x+—x3+—x5+—,0=R3!5!.11门“sinx=x—x3+x5—…，0=R3!5!COSx=1-—x2+—X4H,0=R；2!4!—=1+x+x2+—,xg(-1,1)；1-xln(1+x)=x-—x2+-X3,xg(-1,1]3ln(1-x)=-x-—x2--x3,xg[-1,1)23

11arctanx=x-x3+x11arctanx=x-x3+x55——,xG[—1,1](2)分解：f(x)=g(x)+h(x)(注:中心移动)(特别：，x=x)ax2+bx+c0考察导函数：g(x)今f'(x)nf(x)=Jxg(x)dx+f(0)0考察原函数:g(x)=Jxf(x)dxnf(x)=g'(x)05.幕级数求和法(注:*先求收敛域，*变量替换):⑴S(x)=工+工,(2)S'(x)=・・•,(注意首项变化)⑶S(x)=(工)',⑷S(x)n"S(x)"的微分方程(5)应用:工axnn=S(x)n工a=S(1).n方程的幕级数解法7.经济应用(数三):(1)复利:A(1+p)n;(2)现值:A(1+p)-n五.傅里叶级数(数一)：(T=2兀)傅氏级数(三角级数)：S(x)二+三acosnx+bsinnx2nnn=1Dirichlet充分条件(收敛定理)：(1)由f(x)nS(x)(和函数)⑵S(x)=2[f(x-)+f(x+)]=丄卜f(x)cosnxdx3.系数公式：；f-K,n=1,2,33.系数公式：b=J兀f(x)sinnxdxn兀〜4.题型:(注：f(x)=S(x),xg?)⑴T=2兀且f(x)=…，xG(一兀,兀](分段表示)

⑵xe（—兀,兀］或xe［0,2兀］⑶xe［0,兀］正弦或余弦*(4)xe[0,兀](T二兀)*5.T=216.附产品：f(x)nS(x)=a+艺acosnx+bsinnx2nnn=1nS(x)=+艺acosnx+bsinnx=丄[f(x—)+f(x+)]02n0n0200n=1第七讲:向量,偏导应用与方向导（数一）一.向量基本运算—>―>―A—ka+kb；（平行ob二九a）12一——1_a；（单位向量（方向余弦）a0二円a仝（cosa,cos卩,cosy））aa-ba-ba-b；(投影：(b)=；垂直:a丄boa-b=0；夹角Y(a,b)=)aHHblaxb；(法向:n=axb丄a,b；面积:S口二axb)二.平面与直线1.平面口特征(基本量)：M(x,y,z)㊉n二(A,B,C)0000方程(点法式)：兀：A(x—x)+B(y—y)+C(z—z)=0nAx+By+Cz+D=0000xyz其它：*截距式—+^+-=1；*三点式abc2.直线L特征(基本量)：M(x,y,z)㊉s二(m,n,p)0000x—xy—yz—z方程(点向式)：L:°=0=0mnp（3）—般方程（交面式）：<Ax+By（3）—般方程（交面式）：<1111Ax+By+Cz+D=02222

x=a+(a-a)tTOC\o"1-5"\h\z121⑷其它：*二点式；*参数式;（附：线段AB的参数表示:<y⑷其它：*二点式；*参数式;（附：线段AB的参数表示:<121z=c+(c-c)t1213.实用方法:(1)平面束方程：兀：Ax+By+Cz+D+九(Ax+By+Cz+D)=011112222IAx+By+Cz+D⑵距离公式：如点Mo（r，yo）到平面的距离d==Bh（3）对称问题;(4)投影问题.三.曲面与空间曲线(准备)曲面形式》:F(x,y,z)=0或z=f(x,y)；(注：柱面f(x,y)=0)法向n=(F,F,F)n(cosa,cos卩,cosy)(或n=(-z，—z1))xyzxy曲线F(x,y,z)=0;G(x,y,z)=0F(x,y,z)=0;G(x,y,z)=0;z=z(t)(1)形式r:\y=z=z(t)(2)切向:s={x'(t),y'(t),z'(t)}(或s=件xn2)应用交线,投影柱面与投影曲线;旋转面计算：参式曲线绕坐标轴旋转;锥面计算.常用二次曲面圆柱面：x2+y2=R2球面：x2+y2+z2=R2变形：x2+y2=R2一z2,z=R2一(x2+y2),x2+y2+z2=2az,(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2=R2000

锥面：z=x2+y2变形：x2+y2=z2,z二a—\：X2+y2抛物面：z=x2+y2,变形：x2+y2=z,z=a—(x2+y2)双曲面：x2+y2=z2+1马鞍面：z=x2—y2,或z=xy偏导几何应用曲面法向：F(x,y,z)=0nn=(F,F,F),注:z=f(x,y)nn=(f,f—1)xyzxy切平面与法线：曲线切向：x=x(t),y=y(t),z=z(t)ns=(x',y',z')切线与法平面F=F=03-综合:r：仁=0s=nxn12方向导与梯度(重点)方向导(1方向斜率)：定义(条件)：1=(m,n,p)n(cosa,cos0,cosy)TOC\o"1-5"\h\zduc计算(充分条件:可微)：=ucosa+ucos0+ucosyd1xyzdz附：z=f(x,y),/o={cos0,sin0}n=fcos0+fsin0dlxy附:-f=fcos20+2fsin0cos0+fsin20d12xxxyyy2.梯度（取得最大斜率值的方向）G:

(1)计算:(a)z=f(x,y)nG=gradz=(f,f)；xy(b)u=f(x,y,z)nG=gradu=(u,u,u)xyz(2)结论(a)罟=G-/o；—►(b)取/=G为最大变化率方向;(c(c)G(M0)为最大方向导数值.第八讲:三重积分与线面积分(数一)一.三重积分(川fdV)Q1.O域的特征(不涉及复杂空间域)：(1)对称性(重点):含:关于坐标面;关于变量;关于重心(2)投影法：D={(x,y)x2+y2<R2}㊉z(x,y)<z<z(x,y)xy12截面法:D(z)={(x,y)|x2+y2<R2(z)}㊉a<z<b(4)其它:长方体,四面体,椭球f的特征:(1)单变量f(z),(2)f(x2+y2),(3)f(x2+y2+z2),(4)f=ax+by+cz+d3.选择最适合方法:(1)“积”前:*JJJdv;*利用对称性(重点)Q(2)截面法(旋转体):I=JbdzJ!fdxdy(细腰或中空，f(z),f(x2+(2)截面法(旋转体):aD(z)(3)投影法(直柱体):I=JJdxdyjz2(x(3)投影法(直柱体):z1(x,y)D1xy(4)球坐标(球或锥体)：I=J2Kd0Jasin9dRf(…)p2dp,000(5)重心法(f=ax+by+cz+d)：I=(ax+by+cz+d)V4.应用问题:同第一类积分:质量,质心,转动惯量,引力Gauss公式二.第一类线积分(Jfds)1.“积”前准备：(1)Jds=L；L(2)对称性；(3)代入“L”表达式2.计算公式:x—x(t)te[a,b]ny—y(t)x'2(t)+y'2(t)dtaL3.补充说明:(1)重心法：J(ax+by+c)ds—(ax+by+c)L；(2)与第二类互换:JA-tds—JA-drL4.应用范围(1)第一类积分(2)柱体侧面积Jz(x,y)dsL三.第一类面积分(JJfdS)“积”前工作(重点)：JJdS—S；(代入S:F(x,y,z)—0)对称性(如：字母轮换,重心)分片计算公式:z—z(x,y),(x,y)eDnI—JJf(x,xy甲xyDxy与第二类互换：A-ndS=A-dSSS四:第二类曲线积分(1):JP(x,y)dx+Q(x,y)dy(其中L有向)Lx—x(t),t:t—tnI—Jt2[Px'(t)+Qy'(t)]dty—y(t)12t11.直接计算：v常见(1)水平线与垂直线；(2)x2+y2=12.Green公式:(1)石Pdx+Qdy—JJ(一$)dxdy；L'dxdyDL(AtB)*甞-字n换路径；*甞丰琴n围路径oyoyoyoy⑶丄(Q=P但⑶丄(Q=P但D