人教版高中数学选修教案全集

人教版高中数学选修2-2教课设计全集第一章导数及其应用§变化率问题教课目的：1．理解均匀变化率的观点；2．认识均匀变化率的几何意义；3．会求函数在某点处邻近的均匀变化率教课要点：均匀变化率的观点、函数在某点处邻近的均匀变化率；教课难点：均匀变化率的观点．教课过程：一．创建情形为了描绘现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，跟着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创办以自然科学中四类问题的办理直接有关：一、已知物体运动的行程作为时间的函数,求物体在随意时刻的速度与加快度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心观点之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲解（一）问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回想一下吹气球的过程,能够发现,跟着气球内空气容量的增添,气球的半径增添愈来愈慢.从数学角度,如何描绘这类现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)4r33假如将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V4剖析:r(V)33V，4⑴当V从0增添到1时,气球半径增添了r(1)r(0)0.62(dm)气球的均匀膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)10⑵当V从1增添到2时,气球半径增添了r(2)r(1)0.16(dm)气球的均匀膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)21能够看出，跟着气球体积渐渐增大，它的均匀膨胀率渐渐h变小了．思虑：当空气容量从V增添到V时,气球的均匀膨胀率是多少?12r(V2)r(V1)V2V1问题2高台跳水ot在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的均匀速v度大略地描述其运动状态?思虑计算：0t0.5和1t2的均匀速度v在0t0.5这段时间里，vh(0.5)h(0)4.05(m/s)；0.50在1t2这段时间里，vh(2)h(1)8.2(m/s)21研究：计算运动员在0t65这段时间里的均匀速度，并思虑以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你以为用均匀速度描绘运动员的运动状态有什么问题吗？研究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，联合图形可知，h(65)h(0)，h(65)49h(0)所以v490(/)65sm，049固然运动员在0t65这段时间里的均匀速度为0(s/m)，但实质状况是运动员仍旧运动，49并不是静止，能够说明用均匀速度不可以精准描绘运动员的运动状态．（二）均匀变化率观点:1．上述问题中的变化率可用式子率

f(x2)f(x1)表示,称为函数f(x)从x1到x2的均匀变化x2x12．若设xx2x1,ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,相同fyf(x2)f(x1))3．则均匀变化率为yff(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)xxx2x1x思虑：察看函数f(x)的图象均匀变化率ff(x2)f(x1)表示什么?xx2x1yy=f(x)(x2)y直线AB的斜率三．典例剖析

=f(x2)-ff(x1)(x1)△x=xx2Ox例1．已知函数f(x)=x2x的图象上的一点A(1,2)及邻近一点B(1x,2y),则y．x解：2y(1x)2(1x)，∴y(1x)2(1x)23xxx例2．求yx2在xx0邻近的均匀变化率。解：y(x0x)2x02，所以y(x0x)2x02xx所以yx2在xx0邻近的均匀变化率为2x0x四．讲堂练习1．质点运动规律为st23，则在时间(3,3t)中相应的均匀速度为．2.物体依据(t)=3t2++4的规律作直线运动,求在4s253t邻近的均匀变化率.st3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.五．回首总结1．均匀变化率的观点2．函数在某点处邻近的均匀变化率六．教后反省：§导数的观点教课目的：1．认识刹时速度、刹时变化率的观点；2．理解导数的观点，知道刹时变化率就是导数，领会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教课要点：刹时速度、刹时变化率的观点、导数的观点；教课难点：导数的观点．教课过程：一．创建情形（一）均匀变化率（二）研究：计算运动员在0t65这段时间里的均匀速度，并思虑以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你以为用均匀速度描绘运动员的运动状态有什么问题吗？研究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，联合图形可知，h(65)h(0)，h(65)h(0)49h所以v490(/)65sm，049固然运动员在0t65这段时间里的均匀速度为0(s/m)，但实49际状况是运动员仍旧运动，并不是静止，能够说明用均匀速度不可以精准描绘运动员的运动状态．ot二．新课讲解1．刹时速度我们把物体在某一时刻的速度称为刹时速度。运动员的均匀速度不可以反应他在某一时刻的刹时速度，那么，如何求运动员的刹时速度呢？比方，t2时的瞬时速度是多少？观察t2邻近的状况：思虑：当t趋近于0时，均匀速度v有什么样的变化趋势？结论：当t趋近于0时，即不论t从小于2的一边，仍是从大于2的一边趋近于2时，均匀速度v都趋近于一个确立的值13.1．从物理的角度看，时间t间隔无穷变小时，均匀速度v就无穷趋近于史的刹时速度，因此，运动员在t2时的刹时速度是13.1m/s为了表述方便，我们用limh(2t)h(2)13.1t0t表示“当t2，t趋近于0时，均匀速度v趋近于定值13.1”小结：局部以匀速取代变速，以均匀速度取代刹时速度，而后经过取极限，从刹时速度的近似值过渡到刹时速度的精准值。导数的观点从函数y=f(x)在x=x0处的刹时变化率是:我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f'(x0)或y'|，即xx0说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的刹时变化率（2）xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)lim0f(x)f(x0)xxx0三．典例剖析例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.剖析：先求f=y=f(１＋x)-f(１)=6x+(x)2再求f6x再求limfx6x0x解：法必定义法（略）法二：y|x1lim3x2312lim3(x212)lim3(x1)6x1x1x1x1x1（2）求函数f(x)=x2x在x1邻近的均匀变化率，并求出在该点处的导数．解：y(1x)2(1x)2xxx3例2．（课本例1）将原油精华为汽油、柴油、塑胶等各样不一样产品，需要对原油进行冷却和加热，假如第xh时，原油的温度（单位：oC）为f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的刹时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h时和第6h时，原油温度的刹时变化率就是依据导数定义，ff(2x)f(x0)xx所以f(2)limflim(x3)3xx0x0同理可得:f(6)5在第2h时和第6h时，原油温度的刹时变化率分别为大概以3oC/h的速率降落，在第6h邻近，原油温度大概以

f'(2)和f'(6)3和5，说明在2h邻近，原油温度5oC/h的速率上升．注：一般地，f'(x0)反应了原油温度在时刻x0邻近的变化状况．四．讲堂练习1．质点运动规律为st23，求质点在t3的刹时速度为．2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数．3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的刹时变化率，并说明它们的意义．五．回首总结1．刹时速度、刹时变化率的观点2．导数的观点六．教后反省：§导数的几何意义教课目的：1．认识均匀变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的观点；3．经过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教课要点：曲线的切线的观点、切线的斜率、导数的几何意义；教课难点：导数的几何意义．教课过程：一．创建情形（一）均匀变化率、割线的斜率（二）刹时速度、导数我们知道，导数表示函数邻近的变化状况，导数f(x0)

y=f(x)在x=x0处的刹时变化率，反应了函数的几何意义是什么呢？

y=f

(x)在

x=x0二．新课讲解（一）曲线的切线及切线的斜率

：如图

3.1-2

，当

Pn(xn

,

f(xn))(n

1,2,3,4)

沿着曲线

f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？我们发现,当点Pn沿着曲线无限靠近点P即x→0时,割线PPn趋近于确立的地点，这个确立地点的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT图的斜率k有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？简单知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无穷靠近点P时，kn无xnx0限趋近于切线PT的斜率k，即klimf(x0x)f(x0)0xf(x0)x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当x→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个观点:①供给了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的实质—函数在xx0处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的地点有关;2)要依据割线能否有极限地点来判断与求解.若有极限,则在此点有切线,且切线是独一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,其实不必定与曲线只有一个交点,能够有多个,甚至能够无量多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，f(x0x)f(x0)即f(x0)limkx0x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim0f(x0x)f(x0)k，获取曲线在点xx(x0,f(x0))的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程能够看到,当时,f(x0)是一个确立的数，那么,当x变化时,即是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，即:f(x)ylimf(xx)f(x)x0x注：在不致发生混杂时，导函数也简称导数．（三）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的差别与联系。（1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内随意点x而言的，就是函数f(x)的导函数(3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。三．典例剖析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解：（1）y|x[(1x)21](121)2xx22,1limxlimxx0x0所以，所求切线的斜率为2，所以，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0（2）因为y|x1lim3x2312lim3(x212)lim3(x1)6x1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，所以，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30（2）求函数f(x)=x2x在x1邻近的均匀变化率，并求出在该点处的导数．解：y(1x)2(1x)23xxx例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10，依据图像，请描绘、比较曲线h(t)在t0、t1、t2邻近的变化状况．解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻邻近的变化状况．（1）当

t

t0时，曲线

h(t)

在t0处的切线

l0

平行于x轴，所以，在

t

t0邻近曲线比较平

坦，几乎没有起落．（2）当t

t1时，曲线

h(t)

在t1处的切线

l1的斜率

h(t1)

0，所以，在

t

t1邻近曲线降落，即函数

h(x)

4.9x2

6.5x

10在t

t1邻近单一递减．（3）当t

t2时，曲线

h(t)

在t2

处的切线

l2的斜率

h(t2)

0，所以，在

t

t2邻近曲线降落，即函数

h(x)

4.9x2

6.5x

10在t

t2邻近单一递减．从图

3.1-3

能够看出，直线

l1的倾斜程度小于直线

l2的倾斜程度，这说明曲线在

t1邻近比在t2邻近降落的迟缓．例3．（课本例

3）如图

3.1-4

，它表示人体血管中药物浓度

cf(t)

(单位：

mg/mL

)随时间

t（单位：

min）变化的图象．依据图像，估计

t

0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的刹时变化率（精准到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的刹时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，能够获取此时刻药物浓度刹时变化率的近似值．作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.91k1.41.00.7所以f(0.8)1.4下表给出了药物浓度刹时变化率的估计值：0.8-1.药物浓度刹时变化率f'(t)0.40-0.74四．讲堂练习1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；2．求曲线yx在点(4,2)处的切线．五．回首总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义六．教后反省：§

几个常用函数的导数教课目的：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常有函数

yc、

y

x、

y

x2、

y

1

的x导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教课要点：四种常有函数

yc、

y

x、

y

x2、

y

1

的导数公式及应用x教课难点：

四种常有函数

y

c、y

x、

y

x2、

y

1

的导数公式x教课过程：一．创建情形我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的刹时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？由导数定义自己，给出了求导数的最基本的方法，但因为导数是用极限来定义的，所以求导数老是归纳到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下边我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲解1．函数yf(x)c的导数依据导数定义，因为yf(xx)f(x)ccxx0x所以ylimylim00xx0x0函数导数y0表示函数

y

c图像（图

3.2-1

）上每一点处的切线的斜率都为

0．若

y

c表示行程关于时间的函数，则2．函数yf(x)

y0能够解说为某物体的刹时速度一直为x的导数

0，即物体向来处于静止状态．因为yf(xx)f(x)xxxxx1x所以ylimylim11x0xx0函数导数y1表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示行程关于时间的函数，则y1能够解说为某物体做刹时速度为1的匀速运动．3．函数yf(x)x2的导数因为yf(xx)f(x)(xx)2x2xxxylim(2xx)2x所以ylimx0xx0函数导数y2x表示函数yx2图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明跟着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的刹时变化率来看，表示：当x0时，跟着x的增添，函数yx2减少得愈来愈慢；当x0时，跟着x的增添，函数yx2增添得愈来愈快．若yx2表示行程对于时间的函数，则y2x能够解说为某物体做变速运动，它在时刻x的刹时速度为2x．4．函数yf(x)1的导数x11yf(xx)f(x)因为xxxxxx所以ylimylim(11xxx)x0x0x2x2函数导数5．函数yf(x)x的导数因为yf(xx)f(x)xxxxxx所以yylim11limxx2xx0xx0x函数导数（2）推行：若yf(x)xn(nQ*)，则f(x)nxn1三．讲堂练习1．课本P13研究12．课本P13研究2四．回首总结函数导数五．教后反省：§教课目的：1．娴熟掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法例；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法例求简单函数的导数．教课要点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法例教课难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法例的应用教课过程：一．创建情形五种常有函数y、x、cyy的导数公函数导数式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数函数导数导数运算法例1．f(x)g(x)'g'(x)f'(x)2．f(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)g(x)f(x)''(x)g(x)f(x)g'(x)3．fg(x)2(g(x)0)g(x)'cf'(x)（2）推论：cf(x)

x2、1、yxyx的运算法例（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例剖析例1．假定某国家在

20年时期的年均通货膨胀率为

5%，物价

p（单位：元）与时间

t（单位：年）有以下函数关系

p(t)

p0(15%)t

，此中

p0为t

0时的物价．假定某种商品的

p0

1，那么在第

10个年头，这类商品的价钱上升的速度大概是多少（精准到

0.01）？解：依据基本初等函数导数公式表，有

p'(t)

1.05t

ln1.05所以

p'(10)

1.0510ln1.05

0.08（元/年）所以，在第

10个年头，这类商品的价钱约为

0.08元/年的速度上升．例2．依据基本初等函数的导数公式和导数运算法例，求以下函数的导数．（1）yx32x3（2）y11；1x1x3）yxsinxlnx；（4）yx；4x（5）y1lnx．1lnx（6）y(2x25x1)ex；（7）ysinxxcosxcosxxsinx解：（1）y'(x32x3)'(x3)'(2x)'(3)'3x22，y'3x22。（2）y'(1)'(1)'(1x)'(1x)'1x1x(1x)2(1x)2（3）y'(xsinxlnx)'[(xlnx)sinx]'（4）y'x'x'4xx(4x)'14xx4xln41xln4，(x)(4x)2(4x)24x4y'1xln4。4x1(1lnx)'212（5）y'(1)'2()'2x1lnx1lnx1lnx(1lnx)2x(1lnx)2（6）y'(2x25x1)'ex(2x25x1)(ex)'(4x5)ex(2x25x1)ex(2x2x4)ex，y'(2x2x4)ex。（7）y'(sinxxcosx)'cosxxsinxx2。(cosxxsinx)2【评论】①求导数是在定义域内推行的．②求较复杂的函数积、商的导数，一定仔细、耐心．例3平时生活中的饮水往常是经过净化的．跟着水纯净度的提升，所需净化花费不停增添．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需花费（单位：元）为求净化到以下纯净度时，所需净化花费的刹时变化率：（1）90%（2）98%解：净化花费的刹时变化率就是净化花费函数的导数．（1）因为c'(90)528452.84，所以，纯净度为90%时，花费的刹时变化率是(10090)252.84元/吨．（2）因为c'(98)52841321，所以，纯净度为98%时，花费的刹时变化率是1321(10090)2元/吨．函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点邻近变化的快慢．由上述计算可知，c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化花费的刹时变化率，大概是纯净度为90%左右时净化花费的刹时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化花费就越多，并且净化花费增添的速度也越快．四．讲堂练习1．课本P92练习2．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；y＝－12x＋8）五．回首总结1）基本初等函数的导数公式表2）导数的运算法例六．教后反省：§教课目的理解并掌握复合函数的求导法例．教课要点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教课难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，娴熟，正确．一．创建情形（一）基本初等函数的导数公式表函数导数（二）导数的运算法例导数运算法例1．f(x)g(x)'g'(x)f'(x)2．f(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)g(x)f(x)''(x)g(x)f(x)g'(x)3．fg(x)2(g(x)0)g(x)2）推论：cf(x)'cf'(x)（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲解复合函数的观点一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，假如经过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)。复合函数的导数复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)和ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．若yfg(x)，则yfg(x)fg(x)g(x)三．典例剖析例1（课本例4）求以下函数的导数：（1）y(2x3)2；（2）ye0.05x1；（3）ysin(x)（此中,均为常数）．解：（1）函数y(2x3)2能够看作函数yu2和u2x3的复合函数。依据复合函数求导法例有yxyuux=(u2)'(2x3)'4u8x12。（2）函数ye0.05x1能够看作函数yeu和u0.05x1的复合函数。依据复合函数求导法例有yxyuux=(eu)'(0.05x1)'0.005eu0.005e0.05x1。（3）函数ysin(x)能够看作函数ysinu和ux的复合函数。依据复合函数求导法例有yxyuux=(sinu)'(x)'cosucos(x)。例2求ysin(tanx2)的导数．解：y'[sin(tanx2)]'cos(tanx2)sec2(x2)2x【评论】求复合函数的导数，要点在于搞清楚复合函数的构造，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到对于自变量求导，同时应注意不可以遗漏求导环节并实时化简计算结果．例3求yxa的导数．x22ax1x22ax(xa)2x2a解：y'x22x22ax2axa2a2x22ax，x22axx22ax(x22ax)2【评论】此题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例4求y＝sin4x＋cos4x的导数．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－1sin22x＝1－1（1－cos4x）＝3＋1cos42x．y′＝－sin4x．444【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【评论】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形正确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－13

或x＝1．于是切点为P（1，2），Q（－1，－14），327过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．明显两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为|1141|327＝162．227四．讲堂练习1．求以下函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；（2）ysin2x;(3)loga(x22)2x12.求ln(2x23x1)的导数五．回首总结六．教后反省：§教课目的：1．认识可导函数的单一性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单一性，会求函数的单一区间，对多项式函数一般不超出三次；教课要点：利用导数研究函数的单一性，会求不超出三次的多项式函数的单一区间教课难点：利用导数研究函数的单一性，会求不超出三次的多项式函数的单一区间教课过程：一．创建情形函数是客观描绘世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，认识函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特别重要的．经过研究函数的这些性质，我们能够对数目的变化规律有一个基本的认识．下边，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲解1．问题：图

3.3-1

（1），它表示跳水运

动中高度h随

时

间

t

变化的函数h(t)

4.9t2

6.5t

10的图像，图

3.3-1（2）

表示高台跳水运动员的速度

v随时间

t变化的函数v(t)

h'(t)

9.8t

6.5的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到

入水这两段时间的运动状态有什么差别？经过察看图像，我们能够发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度

h随时间

t的增添而增添，即

h(t)

是增函数．相应地，

v(t)

h'(t)

0．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度

h随时间

t的增添而减少，即

h(t)

是减函数．相应地，

v(t)

h'(t)

0．2．函数的单一性与导数的关系察看下边函数的图像，商讨函数的单一性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数f'(x0)表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．在xx0处，f'(x0)0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0邻近单一递加；在xx1处，f'(x0)0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1邻近单一递减．结论：函数的单一性与导数的关系在某个区间(a,b)内，假如f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单一递加；假如f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单一递减．说明：（1）特其余，假如f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常函数．3．求解函数yf(x)单一区间的步骤：1）确立函数yf(x)的定义域；2）求导数y'f'(x)；3）解不等式4）解不等式三．典例剖析

f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；f'(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．例1．已知导函数f'(x)的以下信息：当1x4时，f'(x)0；当x4，或x1时，f'(x)0；当x4，或x1时，f'(x)0试画出函数yf(x)图像的大概形状．解：当1x4时，f'(x)0，可知yf(x)在此区间内单一递加；当x4，或x1时，f'(x)0；可知yf(x)在此区间内单一递减；当x4，或x1时，f'(x)0，这两点比较特别，我们把它称为“临界点”．综上，函数yf(x)图像的大概形状如图3.3-4所示．例2．判断以下函数的单一性，并求出单一区间．（1）f(x)x33x；（2）f(x)x22x3（3）f(x)sinxxx(0,)；（4）f(x)2x33x224x1解：（1）因为f(x)x33x，所以，所以，f(x)x33x在R上单一递加，如图3.3-5（1）所示．（2）因为f(x)x22x3，所以，f'(x)2x22x1当f'(x)0，即x1时，函数f(x)x22x3单一递加；当f'(x)0，即x1时，函数f(x)x22x3单一递减；函数f(x)x22x3的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为f(x)sinxxx(0,)，所以，f'(x)cosx10所以，函数f(x)sinxx在(0,)单一递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为f(x)2x33x224x1，所以．当f'(x)0，即时，函数f(x)x22x3；当f'(x)0，即时，函数f(x)x22x3；函数f(x)2x33x224x1的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下边四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．剖析：以容器（2）为例，因为容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增添得慢，此后高度增添得愈来愈快．反应在图像上，（A）切合上述变化状况．同理可知其余三种容器的状况．解：1B,2A,3D,4C思虑：例3表示，经过函数图像，不单能够看出函数的增减，还能够看出其变化的快慢．联合图像，你能从导数的角度解说变化快慢的状况吗？一般的，假如一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“峻峭”；反之，函数的图像就“缓和”一些．如图3.3-7所示，函数yf(x)在0,b或a,0内的图像“峻峭”，在b,或,a内的图像“缓和”．例4．求证：函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数．证明：因为y'6x26x126x2x26x1x2当x2,1即2x1时，y'0，所以函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数．说明：证明可导函数fx在a,b内的单一性步骤：1）求导函数f'x；2）判断f'x在a,b内的符号；3）做出结论：f'x0为增函数，f'x0为减函数．例5．已知函数f(x)4xax22x3(xR)在区间1,1上是增函数，务实数a的取值范3围．解：f'(x)42ax2x2，因为fx在区间1,1上是增函数，所以f'(x)0对x1,1恒成立，即x2ax20对x1,1恒成立，解之得：1a1所以实数a的取值范围为1,1．说明：已知函数的单一性求参数的取值范围是一种常有的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单一递加，则f'(x)0；若函数单一递减，则f'(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不可以省略，不然漏解．例6．已知函数y=x+1，试议论出此函数的单一区间.x解：y′=(x+1)′x=1－－1·x2=x21(x1)(x1)x2x2令(x1)(x1)＞0.x2解得x＞1或x＜－1.y=x+1的单一增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).x令(x1)(x1)＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.x2y=x+1的单一减区间是(－1，0)和(0，1)x四．讲堂练习1．求以下函数的单一区间1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=1+2x3.f(x)=sinx,x[0,2]4.y=xlnxx2．课本练习五．回首总结1）函数的单一性与导数的关系2）求解函数yf(x)单一区间3）证明可导函数fx在a,b内的单一性六．教后反省：§教课目的：理解极大值、极小值的观点；能够运用鉴别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；教课要点：极大、极小值的观点和鉴别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教课难点：对极大、极小值观点的理解及求可导函数的极值的步骤.教课过程：一．创建情形察看图3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点邻近的图像有什么特色？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大ta邻近函数h(t)的图像，如图3.3-9．能够看出h(a)；在ta，当ta时，函数h(t)单一递加，h(t)0；当ta时，函数h(t)单一递减，h(t)0；这就说明，在ta邻近，函数值先增（ta，h(t)0）后减（ta，h(t)0）．这样，当t在a的邻近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)0．对于一般的函数yfx，能否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值观点的理解，能够联合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点邻近的小区间而言的.从图象察看得出，鉴别极大、极小值的方法.判断极值点的要点是这点双侧的导数异号二．新课讲解1．问题：图

3.3-1

（1），它表示跳水运动中高度

h随时间

t变化的函数

h(t)

4.9t2

6.5t

10的图像，图

3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度

v随时间

t变化的函数

v(t)

h'(t)

9.8t

6.5的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么差别？经过察看图像，我们能够发现：（3）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增添而增添，即

h(t)是增函数．相应地，

v(t)

h'(t)

0．（4）从最高点到入水，运动员离水面的高度

h随时间

t的增添而减少，即

h(t)是减函数．相应地，

v(t)

h'(t)

0．2．函数的单一性与导数的关系察看下边函数的图像，商讨函数的单一性与其导数正负的关系．如图

3.3-3

，导数f

'(x0)表示函数

f(x)在点

(x0

,y0)

处的切线的斜率．在

x

x0处，f

'(x0)

0，切线是“左下右上”式的，这时，函数

f(x)

在

x0

邻近单一递加；在

x1处，f

'(x0)

0，切线是“左上右下”式的，这时，函数

f(x)

在x1

邻近单一递减．结论：函数的单一性与导数的关系在某个区间

(a,b)

内，假如

f'(x)

0，那么函数

y

f(x)

在这个区间内单一递加；假如f'(x)

0，那么函数

y

f(x)在这个区间内单一递减．说明：（1）特其余，假如

f'(x)

0，那么函数

y

f(x)

在这个区间内是常函数．3．求解函数yf(x)单一区间的步骤：1）确立函数yf(x)的定义域；2）求导数y'f'(x)；3）解不等式4）解不等式三．典例剖析

f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；f'(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．例1．（课本例4）求fx1x34x4的极值13解：因为fxx34x4，所以3f'xx24(x2)(x2)。下边分两种状况议论：（1）当f'x>0,即x2，或x2时；（2）当f'x<0,即2x2时.当x变化时，f'x，fx的变化状况以下表：-2(-2,22)+0－0+极大值极小值↗28↘4↗33所以，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)28；4。3当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)1x33函数fx4x4的图像以下图。3例2求y=(x2－1)3+1的极值解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1当x变化时，y′，y的变化状况以下表(-1,(0,1-1010))－0－0+0+无极极小值无极↘↘↗↗值0值∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0极大值：一般地，设函数f(x)在点x0邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点极小值：一般地，设函数f(x)在x0邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部观点由定义，极值不过某个点的函数值与它邻近点的函数值比较是最大或最小其实不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是独一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值能够不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确立的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如以下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)（ⅳ）函数的极值点必定出此刻区间的内部，区间的端点不可以成为极值点而使函数获得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点鉴别f(x0)是极大、极小值的方法:若x0知足f(x0)0，且在x0的双侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且假如f(x)在x0双侧知足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；假如f(x)在x0双侧知足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确立函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根用函数的导数为0的点，按序将函数的定义区间分红若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值假如函数在某些点处连续但不行导，也需要考虑这些点是不是极值点四、稳固练习：1．求以下函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=7.2当x变化时，y′，y的变化状况以下表.－0+↘极小值25↗4∴当x=7时，y有极小值，且y极小值=－25.24(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.当x变化时，y′，y的变化状况以下表.(-3,-333)+0－0+极小值↗极大值54↘↗-54fx的极大（小）值点，那么在点∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54五、教课反省：函数的极大、极小值的定义以及鉴别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点邻近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不必定是极值点，要看这点双侧的导数能否异号.函数的不行导点可能是极值点§教课目的：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的观点，掌握可导函数f(x)在闭区间a,b上所有点（包含端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教课要点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教课难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的差别与联系．教课过程：一．创建情形我们知道，极值反应的是函数在某一点邻近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，假如x0是函数yx0邻近找不到比fx0更大（小）的值．可是，在解决实质问题或研究函数的性质时，我们更关怀函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．假如x0是函数的最大（小）值，那么fx0不小（大）于函数yfx在相应区间上的全部函数值．二．新课讲解察看图中一个定义在闭区间ya,b上的函图象．图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是

数f(x)的极大值．函ax1Ox2x3bx数f(x)在a,b上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)．1．结论：一般地，在闭区间a,b上函数yf(x)的图像是一条连续不停的曲线，那么函数yf(x)在a,b上必有最大值与最小值．说明：⑴假如在某一区间上函数yf(x)的图像是一条连续不停的曲线，则称函数f(x)在这个区间上连续．（能够不给学生讲）⑵给定函数的区间一定是闭区间，在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不必定有最大值与最小值．如函数f(x)1在(0,)内连续，但没有最大值与最小值；x⑶在闭区间上的每一点一定连续，即函数图像没有中断，⑷函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必需条件．（能够不给学生讲）2．“最值”与“极值”的差别和联系⑴最值”是整体观点，是比较整个定义域内的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较极值点邻近函数值得出的，拥有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是独一的；而极值不独一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不只一个，也可能没有一个⑷极值只好在定义域内部获得，而最值能够在区间的端点处获得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只需不在端点必然是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:由上边函数f(x)的图象能够看出，只需把连续函数全部的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就能够得出函数的最值了．一般地，求函数f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤以下：⑴求f(x)在(a,b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b上的最值三．典例剖析例1．（课本例5）求fx1x34x4在0,3的最大值与最小值34，解：由例4可知，在0,3上，当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)3又因为f04，f31所以，函数fx1x34x4在0,3的最大值是4，最小值是4．31x33上述结论能够从函数fx4x4在0,3上的图象获取直观考证．3例2．求函数yx42x25在区间2,2上的最大值与最小值解：先求导数，得y/4x34x令y/＝0即4x34x0解得x11,x20,x31导数y/的正负以及f(2)，f(2)以下表（-2,-1（-1,0（0,1（1,2X-2-1012））））y/－0＋0－0＋y134541↘↗↘↗3从上表知，当x2时，函数有最大值13，当x1时，函数有最小值4例3．已知f(x)log3x2axb,x∈(0,+∞).能否存在实数a、b,使f(x)同时知足以下x两个条件：（1）f(x))在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明原因.解：设g(x)=x2axbx∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴g'(1)0∴b10解得a1g(1)3ab13b1经查验，a=1,b=1时，f(x)知足题设的两个条件.四．讲堂练习1．以下说法正确的选项是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值必定是极值D.在闭区间上的连续函数必定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)( )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有1210

y可能3．函数y=1x41x31x2，在［－1，1］上的最小值为( )84326A.0B.－2C.－1D.13412y=x4-2x2+524．求函数yx42x25在区间2,2上的最大值与最小-4-2O24x值．5．课本练习五．回首总结1．函数在闭区间上的最值点必在以下各样点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必需条件；3．闭区间a,b上的连续函数必定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不必定有最值，若有独一的极值，则此极值必是函数的最值4．利用导数求函数的最值方法．六．教后反省：§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教课目的：1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，领会导数在解决实质问题中的作用2．提升将实质问题转变为数学识题的能力教课要点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教课难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教课过程：一．创建情形生活中常常碰到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题往常称为优化问题．经过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲解导数在实质生活中的应用主假如解决有关函数最大值、最小值的实质问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：第一是需要剖析问题中各个变量之间的关系，成立适合的函数关系，并确立函数的定义域，经过创建在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是成立适合的函数关系。再经过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：成立数学模型优化问题用函数表示的数学识解决数学模型作答优化问题的答用导数解决数学识三．典例剖析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，往常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为2上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如128dm,何设计海报的尺寸，才能使周围空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为128dm,此时周围空白面积为4)(128512xS(x)(x2)1282x8,x0。xx求导数，得S'(x)25122。x令S'(x)25120，解得x16(x16舍去）。x2于是宽为1281288。x16当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0.所以，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使周围空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报周围空白面积最小。例2．饮料瓶大小对饮料企业利润的影响1）你能否注意过，市场上等量的小包装的物件一般比大包装的要贵些？2）是不是饮料瓶越大，饮料企业的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并销售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8r2分，此中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每销售1mL的饮料，制造商可赢利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大部分径为6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：因为瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是令fr0.8(r22r)0解得r2（r0舍去）当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．当半径r2时，fr0它表示fr单一递加，即半径越大，利润越高；当半径r2时，fr0它表示fr单一递减，即半径越大，利润越低．（1）半径为2cm时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为6cm时，利润最大．换一个角度：假如我们不用导数工具，直接从函数的图像上察看，会有什么发现？有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰巧相等；当r3时，利润才为正当．当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实质意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm时，利润最小．例3．磁盘的最大储存量问题计算机把数据储存在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不一样半径所组成的齐心轨道，扇区是指被齐心角切割所成的扇形地区。磁道上的定长弧段可作为基本储存单元，依据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元往常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求全部磁道要拥有相同的比特数。问题：现有一张半径为R的磁盘，它的储存区是半径介于r与R之间的环形地区．1）是不是r越小，磁盘的储存量越大？2）r为多少时，磁盘拥有最大储存量（最外面的磁道不储存任何信息）？解：由题意知：储存量=磁道数×每磁道的比特数。设储存区的半径介于r与R之间，因为磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不储存任何信息，故磁道数最多可达Rr。因为每条磁道上的比特数相同，为获取最大储存m2r量，最内一条磁道一定装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总储存量nf(r)Rr×2r2r(Rr)mnmn（1）它是一个对于r的二次函数，从函数分析式上能够判断，不是r越小，磁盘的储存量越大．（2）为求f(r)的最大值，计算f(r)0．令f(r)0，解得Rr2当rR时，f(r)0；当rR时，f(r)0．22所以rR时，磁盘拥有最大储存量。此时最大储存量为2R22mn4例4．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的耗费量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有必定的关系，汽油的耗费量w是汽车速度v的函数．依据你的生活经验，思虑下边两个问题：1）是不是汽车的速度越快，汽车的耗费量越大？2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？剖析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游耗费量与汽车行驶行程的比值．如果用G表示每千米均匀的汽油耗费量，那么Gw，此中，w表示汽油耗费量（单位：L），ss表示汽油行驶的行程（单位：km）．这样，求“每千米行程的汽油耗费量最少”，就是求G的最小值的问题．经过大批的统计数据，并对数据进行剖析、研究，人们发现，汽车内行驶过程中，汽油均匀耗费率g（即每小时的汽油耗费量，单位：L/h）与汽车行驶的均匀速度v（单位：km/h）之间有以下图的函数关系gfv．从图中不可以直接解决汽油使用效率最高的问题．所以，我们第一需要将问题转变为汽油均匀耗费率g（即每小时的汽油耗费量，单位：L/h）与汽车行驶的均匀速度v（单位：km/h）之间关系的问题，而后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．wwg解：因为Gtssvt这样，问题就转变为求g的最小值．从图象上看，g表示经过原点与曲线上点的直线的斜vv率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90km/h．所以，当汽车行驶距离一准时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油耗费量最小，此时的车速约为90km/h．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即f90，约为L．例5．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边缘虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高x60xcm，得箱子容积260x2x3xxV(x)x2h60x2(0x60)．令V(x)60x3x2＝600，解得2x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（靠近0）或过大（靠近60）时，箱子容积很小，所以，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为60-2xx60-2x60-2x

(60-2x)cm，则得箱子容积6060-2xxVx)(602x2x(0x30)．（后边同解法一，60略）()由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出此刻极值点处．事实上，可导函数V(x)x2h60x2x3、V(x)(602x)2x在各自的定义域中都只有一2个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因此这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例6．圆柱形金属饮料罐的容积一准时，它的高与底与半径应如何选用，才能使所用的资料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得hV，则R2S(R)=2πRV+2πR2=2V+2πR2R2R令s(R)2V2+4πR=0R解得，R=3V，从而2h=V2=V=34V=23VR(3V)22即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用资料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应如何选用，才能使所用资料最省？提示：=2Rh+2R2h=S2R2S2R( )=S2R22=1(S2R2)R1R3RSR2R22V'(R))=0S6R26R22Rh2R2h2R．例6．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，销售x单位产品的利润称为利润函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）、假如C(x)＝106x30.003x25x1000，那么生产多少单位产品时，边缘C(x)最低？(边缘成本：生产规模增添一个单位时成本的增添量)2）、假如C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么如何订价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价钱p与产量q的函数关系式为p251q．求产量q为什么值时，利润L最大？8剖析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价钱．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入Rqpq251q25q1q2，88利润LRC25q1q2(1004q)1q221q100(0q100)88令L0，即1q210，求得独一的极值点q844答：产量为84时，利润L最大例7．一条沟渠，断面为等腰梯形，以下图，在确立断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，浸透少，求此时的高h和下底边长b.解：由梯形面积公式，得

S=1

(

AD+BC)h,

此中AD=2DE+BC，DE=

3

h,

BC=b2

3∴AD=23h+b,∴S=1(23h2b)h(3hb)h①3233∵CD=h2h,AB=CD.∴l=2h×2+b②cos3033由①得b=S3h,代入②,∴l=43hS3h3hSh33h3hl′=3S=0,∴=S,当h<S时，l′<0,h>S时，l′>0.2h434343h∴h=S时，l取最小值，此时b=243S433例8．已知矩形的两个极点位于x轴上，另两个极点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这类矩形中面积最大者的边长．【解】设位于抛物线上的矩形的一个极点为（x，y），且x＞0，y＞0，则另一个在抛物线上的极点为（－x，y），在x轴上的两个极点为（－x，0）、（x，0），此中0＜x＜2．设矩形的面积为S，则S＝2x（4－x2），0＜x＜2．由S′（x）＝8－6x2＝0，得x＝23，易知3x＝4是S在（0，2）上的极值点，3即是最大值点，所以这类矩形中面积最大者的边长为23和8．33【评论】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量限制条件．应用题的剖析中如确立有最小值，且极小值独一，即可确立极小值就是最小值．练习：1：一书店估计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，假如每次订货要付手续费30元，每千册书寄存一年要耗库费40元，并假定该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】假定每次进书

x千册，手续费与库存费之和为

y元，因为该书均匀投放市场，则均匀库存量为批量之半，即

x，故有2y＝150×30＋x

x2

×40，y′＝－

4500x2

＋20，令y′＝0，得

x

＝15，且

y″＝9000x3

，f″(15)

＞0，所以当

x＝15时，y

获得极小值，且极小值独一，故当x

＝15时，y

获得最小值，此时进货次数为

150＝10（次）．15即该书店分

10次进货，每次进

15000

册书，所付手续费与库存费之和最少．2：有甲、乙两城，甲城位于向来线形河岸，乙城离岸

40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河畔合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管花费分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河畔的哪处，才能使水管花费最省？【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总花费为y元，则CD＝x2402．＝500（50－x）＋700x21600＝25000－500x＋700x21600，11y′＝－500＋700·(x2＋1600)2·2x2＝－500＋700x，x21600506令y′＝0，解得x＝．答：水厂距甲距离为50－506千米时，总花费最省．3【评论】当要求的最大（小）值的变量y与几个变量有关时，我们老是先设几个变量中的一个为x，而后再依据条件x来表示其余变量，并写出y的函数表达式f（x）．四．讲堂练习1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，假如所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2m，最大容积1.8m3）5．课本练习五．回首总结1．利用导数解决优化问题的基本思路：成立数学模型优化问题用函数表示的数学识解决数学模型作答优化问题的答用导数解决数学识2．解决优化问题的方法：经过收集大批的统计数据，成立与其相应的数学模型，再经过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题获取解决．在这个过程中，导数常常是一个有益的工具。六．教后反省：§一：教课目的知识与技术目标理解求曲边图形面积的过程：切割、以直代曲、迫近，感觉在其过程中浸透的思想方法过程与方法感情态度与价值观二：教课重难点要点掌握过程步骤：切割、以直代曲、乞降、迫近（取极限）难点对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲”的思想的理解三：教课过程：1．创建情形我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实质生活中都有特别宽泛的应用。本节我们将学习定积分的基本观点以及定积分的简单应用，初步领会定积分的思想及其应用价值。一个观点：假如函数yf(x)在某一区间I上的图像是一条连续不停的曲线，那么就把函数yf(x)称为区间I上的连续函数．（不加说明，下边研究的都是连续函数）2．新课讲解问题：如图，暗影部分近似于一个梯形，但有一边是曲线yf(x)