奖学金评定模型

#奖学金评定模型

摘要

本文针对奖学金评定问题，通过构造隶属函数，采用层次分析法、模糊层次分析法

等多种方法，综合分析了学生各门课程成绩以及不同课程的学时数和学分数据，运用四

种不同的方法分别建立了加权平均值模型、标准化模型、层次分析模型、模糊层次分析

模型。最后将模型结果与实际相结合，对如何评定奖学金提出了相关可行性方案。首先对数据进行了预处理。将除任选课以及人文课之外的科目有低于60分的同学淘汰，然后采用偏大型柯西分布和和对数函数构造了一个隶属函数将任选课与人文课的等级评价转化为百分制。在用模型三和模型四的时候，为了简化计算我们将每位同学已修的任选课和人文课的平均分作为这位同学未修课程的得分。模型一：运用学分比重作为权值来计算平均分，将基础课、专业课、必选课以及选修课的权重看作是一样的，建立简单加权平均值模型，然后借助EXCEL、VC++软件排序得到前10%的学生的学号依次为51,70,30,86,75,51,60,2,80,64。模型二：运用标准化的方法将百分制的分值转化为0—1，抵消课程的难易程度对课程权值的影响，使分数域相同。建立标准化模型，然后利用EXCEL软件计算排序得到前10%的学生学号依次为70,86,30,75,33,2,51,72,80,84。模型三：将课程性质、学时和学分都看做方案层，课程权值视为目标层，建立判断矩阵，运用层次分析法将课程性质、学时、学分这些因素对目标层的影响量化，建立层次分析模型，得到21门课程的权重W，将经数据筛选处理后的40位同学的各科成绩构成的矩阵A1与W的转置相乘，经MATLAB计算得到40位同学的综合成绩。运用MATLAB分析计算出权值向量，进而得到前10%的学生学号为70,86,10，20,64,2,30,1,4,72。模型四：运用模糊层次分析法将课程性质、学时、学分这些因素对目标层的影响量化，然后代入公式求得权值向量，建立模糊层次分析模型，得到模糊一致判断矩阵R,进一步得到五种科目的权重向量w，将课程性质比重w与学分比重和学时比重三者的00乘积作为21门课程的权重向量W1，再与40位同学的成绩矩阵作运算，可计算出40位学生的综合成绩。运用MATLAB求得前10%的学生学号为：70,30,86,2,60,75,20,64,84,12。最后，本文对模型进行了模型的误差分析、模型的推广以及模型的优缺点分析。关键词：奖学金评定，权值，隶属函数、简单加权平均值，标准化模型，层次分析模型，模糊层次分析模型§1问题的提出一、背景知识几乎学校的每个院系每年都会评定学生奖学金。设立奖学金的目的是鼓励学生学习期间德智体全面发展。其中，年度的学习成绩是奖学金评定的主要依据之一，因此，如何根据学生本年度的各门课成绩来合理衡量学生很有必要。奖学金是对在校大学生学习、工作等方面情况的综合奖励，其目的是为了社会造就更多的人才。目前高校奖学金的评定方法主要是学校或学院结合自身情况进行设定的，其制度与方案都还可能存在不健全和不完善的地方。二、相关试验数据某学院某年级105名学生全年的学习情况数据（见附件1）；三、要解决的问题根据附件信息，综合考虑各门课程，至少用3到4种方法将成绩最优秀的10%的同学评选出来，作为进一步奖学金评定的候选人，并比较这些方法的优劣。明确说明是如何考虑课程性质、学时、学分、成绩等因素的，以及主要结果及对该问题的建议。§2问题的分析针对某年级105名学生全年各门课程的分数以及每门课程的学时、学分，我们采用四种不同的方法评选出成绩最优秀的10%的同学作为进一步奖学金评定的候选人。考虑到任选课和人文课是以A、B、C、D四个等级评分的，我们采用偏大型柯西分布和和对数函数构造了一个隶属函数将任选课与人文课的等级评价转化为百分制。然后分别建立简单加权平均值模型、标准化模型、层次分析模型、模糊层次分析模型，运用MATLAB、EXCEL等软件计算出前10%学生。程序流程图为：成绩优秀的前10%的学生§3模型的假设候选人评定仅以本年度课程成绩为唯一依据进行评定，不考虑其他因素，如学生工作，获奖等加分体系。学生所取得的成绩均为自己合理方式所取得的实际成绩。每位学生都参与到奖学金评定过程中。所有数据均为原始数据，来源真实可靠。假设参评人不会以任何手段来获取评委的特殊照顾，仅以成绩做为参考凭证。假设未修的任选课和人文课的成绩为该学生已修任选课和人文课的平均分。§4名词解释与符号说明一、名词解释1.奖学金：为资助世界各国学生、学者到中国高等学校进行学习和研究，增进中国人民与世界各国人民的相互理解和友谊，发展中国与世界各国在教育、科技、文化、经贸等领域的交流与合作。二、符号说明符号符号说明a、B、a、b表示隶属函数f(x)的参数x学生的某科成绩n单科学分m总学分max代表每科的最高分min代表每科的最低分i、n代表科目数X标准化后的成绩W代表权重向量九比较判断矩阵的特征值九max最大特征向量CI一致性指标CR一致性比率RI平均随机一次性指标R模糊一致矩阵A模糊层次中的因素r模糊层次中的数量标度w模糊层次中的各因素的权重§5模型的建立与求解从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，分别对四种模型进行详细的分析与求解。一．模型I简单加权平均值模型1.模型的分析对于综合成绩的评定，我们假设基础课、专业课、必选课以及选修课的权重是一样的，奖学金评定的标准是学校培养目标的具体化，对学生全面发展具有导向作用。没有一门课程是可以被忽视的。为了更加直接的比较出每位同学的综合成绩，我们没有将分数向绩点来转化，而是直接用代入分数的方法来计算。这样得到的结果一般不会出现相同成绩的两位同学，有利于我们很直观的选出前10%的同学。综合成绩的计算取决于实际考试分数和学分2个因素。计算学分成绩时，把学分在该学年所取得的实际总学分中的比重作为权重，对每门科目进行加权得出一个加权成绩，我们认为学分在奖学金评定模型中的作用基本合理。模型的准备在初始数据中，任选课和人文课是使用等级表示的，我们用了隶属函数法来将等级转化为百分制。构造偏大型柯西分布隶属函数:[1+a(x-p)-2]-1,1<x<3aInx+b,3<x<5规定A，B，C，D四个等级相应的值为5，4，3，2。当等级为A时，隶属度为1，即x=5，f(5)=1；等级为C时，隶属度为0.8，即x=3，f(3)=0.8;等级为E(此处没有该类型评价，出于考虑问题方便使用)时，隶属度为0.01，即x=l,f(l)=0.01。计算可得a=0.9066,P=1.0957,a=0.3915,b=0.3699因而可得.f()_|1+[0.9066(x—1.0957)-2]-1,1<x<3x—〔0.39151nx+0.3699,3<x<5画出隶属函数图像如图1所示：根据图像可得A=96.74，B=87.14，C=61.53，D=47.44。模型的建立首先我们把各同学任选课和人文课成绩转化为百分制成绩，利用公式：实际成绩二单科成绩:单科学分，故实际综合成绩=工，运用Excel软件计算出40总学分n位同学的实际综合成绩。模型的求解应用EXCEL软件排序得到综合成绩前10%的同学，得到如下表的综合成绩排名:

表1前10%学生序号以及成绩学生序号综合成绩学生序号综合成绩5185.495378.317084.079378.083082.451078.018681.987477.847581.696277.816080.889177.77280.872777.448080.564477.366480.181877.023380.169676.978479.92176.952079.78476.80979.492976.727279.426976.267379.341776.179979.088174.905479.03874.139279.022273.411278.8310372.446378.511370.42根据表1，得到前十名学生序号为：51,70,30,86,75,51,60,2,80,64。二■模型II标准化模型模型的分析奖学金评定的公平性在整个评定过程中必须放在首要位置。但是由于各科老师的给分习惯的差异以及任选课和人文课采取等级评分制，使得在奖学金评定时计算学生成绩会出现诸多不便，如等级A，B，C，D怎么算才是相对公平的。所以如何减小这些影响评定公平性的因素是我们必须认真解决的问题。首先，考虑到每位老师给分习惯的不同，我们考虑极值标准化的方法，将百分制的分值转化为0—1，使得分数域相同，这有效增强了其可比性。模型的准备利用Excel中的Min和Max函数将每门课程的最高分max和最低分min找出。模型的建立找出各门课程最高分和最低分后用极值标准化公式X=x—min（其中x为学生max-min的某科的成绩）得出学生各门课程归一化后的得分，在计算每位学生的平均成绩。对最终计算得出的平均成绩按降序进行排序得到表2所示数据:表2归一化后学生成绩总和及平均值序号总和平均值序号总和平均值7013.800.667411.490.558613.540.645411.340.543013.500.64111.330.547513.010.621811.230.53

3312.840.611011.050.53212.750.619111.000.525112.210.586210.960.527212.200.589610.960.528012.150.584410.950.528412.150.581310.730.516012.140.581210.680.511712.130.58410.660.512012.110.582710.620.516412.060.572910.610.517311.920.576910.580.509911.750.56819.890.479211.720.5699.600.465311.710.56229.450.456311.700.561039.410.459311.580.5588.890.424.模型的求解根据上表得到前十名学生学号为：70,86,30,75,33,2,51,72,80,84。三．模型III层次分析模型模型的分析考虑到光以学分为权重进行加权平均不能完全代表各个学生的真实成绩，因为各门课之间的重要程度的因素是很多的，不能单一地以学分多少作为评价课程重要程度的依据。因此我们计划将课程性质、学时与学分综合作为考察一个课程重要程度的依据，并以此作为加权平均的权重，下面是先用层次分析法对课程性质进行重要程度排序。然后根据公式：综合成绩二兰（科目成绩*课程性质比重*学分比重）错误！未找到引用源。i=1求出综合成绩。（在这里，将21门课的课程性质比重*学分比重定义为权重向量W）。2.模型的准备层次结构反映了各因素之间的关系，首先建立层次结构模型图如图2所示：课程宣要程度图2层次结构模型图准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同。我们就通过各因素两两比

较来确定比较判断矩阵。表3标度的具体含义标度含义1表示两个因素相比,具有相同重要性3表示两个因素相比,前者比后者稍重要5表示两个因素相比,前者比后者明显重要7表示两个因素相比,前者比后者强烈重要9表示两个因素相比,前者比后者极端重要2、4、6、8表示上述相邻判断的中间值根据上述标准就可以构造判断矩阵：ri2357、1/21236A=1/31/21251/51/31/212J/71/61/51/21丿3.模型的建立用MATLAB软件算出判断矩阵A的最大特征值为九max=5.0623,（求解程序见附录1）查表得n=5相应的平均随机一致性指标RI=1.12。一致性指标CI为：九max-nCI二二0.0156n-1一致性比率CR为：I=CR=~0.0139<0.1所以CR<0.1，我们可以认为判断矩RI阵的一致性是可以接受的。运用MATLAB软件计算矩阵A的最大特征值所对应的特征向量为ax=（0.7997,0.4861,0.3043,0.1573,0.0824）（求解程序见附录2）并做归一化处理得：W二（0.4370,0.2657,0.1663,0.0860,0.0450）T,得到的向量W就是根据层次分析法得到的五种课程的权重排序。再对各种课程性质中不同课程学时的不同对各课程再排序。下表是各课程所对应的学时及学分数：表3课程对应学时表课程名课程1学时4学分3.5基础课课程2~课程533课程622专业课课程7~课程8课程92323必选课课程10~课程1533课程163.5任选课课程16~课程193课程17〜193人文课课程20〜课程2123在这里,我们以学分数考虑相同课程性质内不同课程的重要程度,一般认为学分数越多的课程越重要,所以用（各课程学分数/各性质课程总分数）作为权重进一步优化权重向量。运用MATLAB软件将成绩矩阵A与权重向量W相乘,得到所有学生的综合成绩表并按照成绩的升序排列如下（求解程序见附录3）：

表4综合成绩排序表综合成绩学生序号综合成绩学生序号84.34047077.62328082.15268677.61137580.74991077.2071780.4522076.84029280.43656476.76327980.1877276.71529979.80343076.6951979.5876176.57085179.42718476.48545379.2037276.27827379.18359376.11812979.05916075.22526278.86141374.90862778.86091874.81116978.77288174.29175478.76137474.27149178.75553373.82984478.74846373.4454877.91641272.384610377.8618472.359224.模型的求解从表4中，我们可以看到前十名的学生序号为：70、86、10、20、64、2、30、1、84、72。四、模型IV模糊层次分析模型模型的分析模糊层次分析的关键环节是建立判断矩阵，判断矩阵是否科学、合理直接影响到模糊层次分析的效果，而判断矩阵的建立往往具有主观性，并且判断矩阵一致性的判断标准：CR<0.1缺乏科学依据，而模糊层次分析法可以较好地规避这些问题。下面是先用模糊层次分析法得到课程性质的权重向量w，再根据公式：0综合成绩二兰（科目成绩*课程性质比重*学分比重*学时比重）求出综合成绩。（在这i=1里，将21门课的定义为权重向量W）模型的准备建立模糊一致判断矩阵，下表为模糊一致判断矩阵的数量标度：表5数量标度标度说明0.5两兀素相比，冋等重要0.6两兀素相比，一兀素稍微重要0.7两兀素相比，一兀素明显重要0.8两兀素相比，一兀素重要得多0.9两兀素相比，一兀素极端重要0.1,0.2,0.3,0.4若元素a与元素a相比较得到判断jij则元素a与元素a比较得到的判断为1jr=1—rjj运用表5中的数量标度可得到如下模糊判断矩阵,并根据模糊一致矩阵的充要条件进行调整，假设将第一行元素r、rr视为有把握的，用R的第一行元素减去第111215二行对应元素，若所得的一个差数为常数，不需调整第二行元素。否则，要对第二行元素进行调整，直到第一行元素减第二行的对应元素之差为常数为止。用R的第一行元素减去第三行的对应元素，若所得的n个差数为常数，则不需调整第三行的元素。否则，要对第三行的元素进行调整，直到第一行元素减去第三行对应元素之差为常数为止。上面步骤如此继续下去直到第一行元素减去第行对应元素之差为常数为止。由以上步骤可以得到如下模糊一致性判断矩：(0.50.60.70.80.9、0.40.50.60.70.80.30.40.50.60.70.20.30.40.50.6k0.10.20.30.40.5丿3.模型的建立设R是n阶模糊矩阵，则R是模糊一致矩阵的充分条件是存在一n阶非负归一化的向量w=(w,w,w)T及一正数a,使得对于任意的i,j,有12n1)r=a(w一w)+0.51)ijij若R是模糊一致矩阵,则其权重可由(2)式计算：2)w=-(Ya+1-n)，(i=l,2,n)2)inij2j=1其中Ya>-一1,(i=l,2,3,4,5)=1ij2求解程序见附录4)，在本模型中，根据一致判断矩阵R，求得R求解程序见附录4)，0及五种课程性质的比重w=(0.5,0.4,0.3,0.2,0.1)再将学时比重和学分对权重向量的影响0考虑进来得到权重向量(求解程序见附录5)W1=课程性质比重*学时比重*学分比重

学时比重=每一科学的学时,总学时总学分学分比重=每一科目的学分

总学分利用MATLAB求得：W1=(0.0019,0.0013,0.0013,0.0013,0.0013,0.0007,0.0004,0.0004,0.0010,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0006,0.0005,0.0005,0.0005,0.0002,0.0002);4.模型的求解在MATLAB中，建立一个41x21的成绩矩阵A，用A与权重向量W相乘(求解程序见附录6)，并将综合成绩按降序排列。得到所有学生的综合成绩表如下：表6学生综合成绩综合成绩学生序号综合成绩学生序号1.4173701.3202101.4021301.3181631.3822861.3179541.374421.317691.3606601.3171621.3604751.3149181.3602201.3142531.3562641.3116961.3548841.3101441.3528121.3044921.3478721.299541.3465171.2994271.3435801.294111.3423991.2921291.3379511.2862811.3292331.2802691.3261731.2778911.3248131.250381.3245741.2313221.3233931.2149103从表6中，我们可以看到前十名的学生序号为：70,30,86,2,60,75,20,64,84,12。§5模型的误差分析用四种方法得出的前10%的同学的学号如表7所示：表7四种方法得出的前10%学生学号方法一方法二方法三方法四51707070708686303030108686752027533646051227560513020272164808048464847212由表7可以看出不同方法得出的前10%学生学号不同，说明在用不同种方法进行处理的时候存在误差。§6模型的优缺点优点简单加权平均值模型，简洁易懂，有利于数据的筛选。标准化模型所有的成绩都转化为0—1之间的数，使课程分数域相同，这有效解决了各科老师给分习惯导致的评分标准不同的问题，使各科的成绩可比性增强。层次分析模型、模糊层次分析模型将研究对象看做一个系统，充分考虑了各种权重影响因素，解决了课程难度不均带来的不公平的问题。利用EXCEL软件对数据进行处理并作出各种图表，简便，直观，快捷；运用多种数学软件(如MATLAB等)，取长补短，使计算结果更加准确、明晰；本文巧妙运用思路分解图，将建模思路完整清晰的展现出来；缺点简单加权平均值模型可能会受到不同教师打分不同及标准差不同的问题、不同科目难度不同的问题的影响。标准化模型的缺点是一些同学因为考取最低分而最终该科成绩为0分，这种零分情况难以接受。层次分析模型的判断矩阵的建立有主观性，不具有科学严谨性。模糊层次分析模型直接采用分数的比较，有可能会受到不同教师打分不同及标准差不同的问题、不同科目难度不同的问题。§7模型的推广推行全面素质教育，不局限于以学生考试成绩作为评定的唯一标准，以竞赛获奖，宿舍卫生情况等作为评定的辅助标准。根据聚类分析法依据学生每年的反映对课程学分进行动态调整，保证其先进性。此奖学金评定方案不仅适用于学校对学生的综合评估，还可以推广到教师、企业家等各类职员年度业绩的评定。应用本评定方案，也可对于年终个人评优和奖金发放起到一定指导作用。§8参考文献陈恩水，王峰，数学建模与实验[M],北京：科学出版社，2008年6月：1-9,162-169。赵静，但琦，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2000.11。杨桂元，黄己立，数学建模[M],合肥：中国科技技术大学出版社，2007.扬启帆，康旭升，等.数学建模[M].北京：高等教育出版社.2006年5月。吴礼斌.经济数学实验与建模[M].天津大学出版社.2009.8.胡守信，李柏年，基于MATLAB的数学实验，北京:科学出版社,2004.6第一版。姜启源等.数学模型(第三版)[M].高等教育出版社.2003.8.附录附录1(求A的所有特征值)A=[12357;1/21236;1/31/2125;1/51/31/212;1/71/61/51/21];a=eig(A)附录2(求A的最大特征值所对应的特征向量)A=[12357;1/21236;1/31/2125;1/51/31/212;1/71/61/51/21];a=eig(A);[X,D]=eig(A);a1=X(:,1)附录3(求所有学生的综合成绩)w=[0.1799,0.0386,0.0386,0.0386,0.0386,0.1028,0.0532,0.0532,0.1594,0.0277,0.0277,0.0277,0.0277,0.0277,0.0277,0.0463,0.0132,0.0132,0.0132,0.0225,0.0225]A=[757074806587808084759370756382967447.4482.0282.0296.7487.1488927893696860848575777979758461.538596.7496.74858579707977766469828373728977658496.7482.0282.0247.4487.1496.7473728476636562697364788684606096.7461.5385.5487.1496.7485.54969010073746671676873676679729168.5768.5768.5761.5347.4496.7498737182667485738089838380626696.7473.2761.5373.2761.5373.27100917774886060737475728671689547.4496.7477.9287.1461.5396.7477878888838496707762786076636396.7461.5379.1496.7479.1461.53697361781006266857765848284977296.7496.7496.7496.7496.7496.7485788586807286807574728674706277.9261.5347.4487.1496.7496.7484797686917069788170947181707096.7487.9487.9461.5396.7496.7460628779747381807165728473666880.3147.4480.3196.7480.3196.7477758078836585816961766880997747.4480.3196.7480.3180.3196.7473707478846590797873697984796481.881.881.887.1461.5396.74

62878887906385738875917783877496.7496.7496.7496.7496.7496.7460796777878580778682978477807596.7461.5380.3187.1480.3196.7473798388917661846267866079798247.4480.396.7480.396.7480.361857573976495757565797486898596.7461.5396.7496.7489.796.7460699078716471838678738676766896.7496.7496.7496.7496.7496.7460728284877490776371817382887796.7485.5496.7487.1485.5461.5381827275936182827466738876767696.7496.7496.7496.7496.7496.7470867683886261887576666590768296.7496.7461.5387.1461.5380.7476857880637082798288726880697696.7461.5396.7487.9496.7487.9481688873868569797771677495717693.5496.7487.1496.7493.5493.5460758381746781838272737875867496.7461.5376.7487.1476.7461.5394748682837899757576757877838096.7496.7496.7496.7496.7496.7477818481838587816776887465696293.5496.7493.5487.1493.5496.7468798883756672867269817683696996.7496.7487.1494.3496.7494.3479888184736677798670727176807681.887.1481.861.5381.896.7462849287736078798771818267809887.1496.7491.9496.7487.1491.9468609190728969736863737981869196.7496.7496.7496.7496.7496.7484757977849286728061698374797764.4164.4161.5347.4487.1461.5386848481818077787280688077818861.5361.5396.7480.7496.7487.1477748686757992858174817369759096.7496.7496.7496.7496.7496.7460766581746978827380698265836896.7487.1496.7496.7494.3494.3471666685706089827981738773737496.7496.7494.3496.7494.3487.14

77797481868677827365747970787096.7461.5387.9487.9496.7496.7472688786897277777573827674766296.7481.861.5381.887.1481.866839383857364867972857762928296.7477.1177.1187.1477.1147.4471749280907692787773696764617447.4447.4447.4447.4447.4447.44];C=A*w'附录4（一致判断矩阵R的权重向量w0的求解程序）R=[0.5,0.6,0.7,0.8,0.9;0.4,0.5,0.6,0.7,0.8;0.3,0.4,0.5,0.6,0.7;0.2,0.3,0.4,0.5,0.6;0.1,0.2,0.3,0.4,0.5];b=ones（5,1）;w=1/5*（R*b+b-2*b）附录5（权重向量W的求解程序）A=[0.50.50.50.50.50.60.40.40.40.30.30.30.30.30.30.20.20.20.20.10.1];B=[4/593/593/593/593/592/592/592/593/593/593/593/593/593/593/593/593/593/593/592/592/59];C=[3.5/613/613/613/613/612/612/612/613/613/613/613/613/613/613/613.5/613/613/613/613/613/61];D=A.*B.*C附录6（综合成绩的求解程序）W1=[0.0019,0.0013,0.0013,0.0013,0.0013,0.0007,0.0004,0.0004,0.0010,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0006,0.0005,0.0005,0.0005,0.0002,0.0002];A=[757074806587808084759370756382967447.4482.0282.0296.7487.1488927893696860848575777979758461.538596.7496.74858579707977766469828373728977658496.7482.0282.0247.4487.1496.7473728476636562697364788684606096.7461.5385.5487.1496.7485.54969010073746671676873676679729168.5768.5768.5761.5347.4496.7498737182667485738089838380626696.7473.2761.5373.2761.5373.27100917774886060737475728671689547.4496.7477.9287.1461.5396.7477878888838496707762786076636396.7461.5379.1496.7479.1461.53697361781006266857765848284977296.7496.7496.7496.7496.7496.74

85788586807286807574728674706277.9261.5347.4487.1496.7496.7484797686917069788170947181707096.7487.9487.9461.5396.7496.7460628779747381807165728473666880.3147.4480.3196.7480.3196.7477758078836585816961766880997747.4480.3196.7480.3180.3196.7473707478846590797873697984796481.881.881.887.1461.5396.7462878887906385738875917783877496.7496.7496.7496.7496.7496.7460796777878580778682978477807596.7461.5380.3187.1480.3196.7473798388