中考数学压轴题(重叠面积问题)

leizi例1:在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值25．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是＝例2：如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函BxyMBxyMCDOABxyOABxyOA解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）； 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）·x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0<x<4）的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当时，；如图10（3），当时，；∴S与的函数的图象如下图所示：002·4··2·4S的函数关系式并画出该函数的图象．∴综上所述，S的最大值是，此时t的值是。例6：如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．（1）请直接写出点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．备用图备用图（14分）（1）；…………………2分（2）设抛物线为，抛物线过，解得…………………2分∴．……………1分（3）①当点A运动到点F时，当时，如图1，图1∵，图1∴∴∴；……2分②当点运动到轴上时，，图2当时，如图2，图2∴∴，∵，∴；…………（2分）③当点运动到轴上时，，当时，如图3，图3∵，图3∴，∵，∽∴，∴，∴=．……（2分）（解法不同的按踩分点给分）（4）∵,,∴………………（2分）==．……………（1分）图图4例7:如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．（1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．（1）解：由得点坐标为由得点坐标为∴ （2分）由解得∴点的坐标为 （3分）∴ （4分）（2）解：∵点在上且∴点坐标为 （5分）又∵点在上且∴点坐标为全 （6分）∴ （7分）（3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则AADBEORFxyyM（图3）GCADBEOCFxyyG（图1）RMADBEOCFxyyG（图2）RM∴即∴∴即 （10分）（2013•玉林压轴题）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）2+c上，∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，令x=0，得y=3，∴C（0，3）；令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．（2）△CDB为直角三角形．理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）．如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC===；在Rt△CND中，由勾股定理得：CD===；在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD===．∵BC2+CD2=BD2，∴△CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）．（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3，直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，∴直线QE的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；设直线BD的解析式为y=mx+m，∵B（3，0），D（1，4），∴，解得：m=﹣2，n=6，∴y=﹣2x+6．连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（，3）．在△COB向右平移的过程中：（I）当0＜t≤时，如答图2所示：设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．设QE与BD的交点为F，则：，解得，∴F（3﹣t，2t）．S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=PE•PQ﹣PB•PK﹣BE•yF=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=t2+3t；（II）当＜t＜3时，如答图3所示：设PQ分别与BC、BD交于点K、点J．∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．直线BD解析式为y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t，∴J（t，6﹣2t）．S=S△PBJ﹣S△PBK=PB•PJ﹣PB•PK=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）2=t2﹣3t+．综上所述，S与t的函数关系式为：S=．（2013•鄂州压轴题）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）．（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．解答：解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，故点N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．N（0，2）；（2）∵N（0，2）在抛物线y=x2+x+k上∴k=2∴抛物线的解析式为y=x2+x+2（3）∵y=x2+x+2=（x+2）2∴B（﹣2，0）、A（0，2）、E（﹣，1）∵CO：OF=2：∴CO=﹣m，FO=﹣m，BF=2+m∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=∴（2+m）（﹣m+1）=整理得：m2+m=0∴m=﹣1或0∵m＜0∴m=﹣1（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===∴∠ABO=30°，AB=2AO=4①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分．∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP∵S△EHP=S△ABP∴=S△EHP=S△BHP=S△ABP∴A1H=HP，EH=HB=1∴四边形A1BPE为平行四边形∴BP=A1E=AE=2即BP=2②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意；③当∠BPE＜∠APE时．则对折后如图3，A1为对折后A的所落点．△EHP是重叠部分∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP∵S△EHP=S△ABP∴S△EBH=S△EHP==S△ABP∴BH=HP，EH=HA1=1又∵BE=EA=2∴EHAP，∴AP=2在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．∴∠APB=90°，∴BP=，综合①②③知：BP=2或；（2013浙江丽水12分）如图1，点A是轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为（1）当时，求CF的长；（2）①当为何值时，点C落在线段BD上？②设△BCE的面积为S，求S与之间的函数关系式；（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿轴左右平移得到△C’D’F’，再将A，B，C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。（2013浙江丽水12分）如图1，点A是轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为（1）当时，求CF的长；（2）①当为何值时，点C落在线段BD上？②设△BCE的面积为S，求S与之间的函数关系式；（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿轴左右平移得到△C’D’F’，再将A，B，C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。解：（1）当时，OA=2，∵点B，∴OB=4．又∵，AB=2AC，可证RT∆ABO∽RT∆CAF．∴，即．（2）=1\*GB3①当时，∵RT∆ABO∽RT∆CAF，∴，AF=2，∴FD=2，．∵点C落在线段BD上，∴RT∆CFD∽RT∆BOD，∴，整理得，解得：，（舍去）．∴当时，点C落在线段BD上．=2\*GB3②当点C与点E重合时，CF=4，可得．当时，；当时，．（3）