把握数学本质思想求解“e”的取值范围

把握数学本质思想求解“e”的取值范围江苏省睢宁县双沟中学赵光朋岑伟内容摘要：解析几何中圆锥曲线离心率的取值范围问题是高中数学中较难的一个问题，在课堂教学中如何引导学生进行探究是我们经常讨论的的热点。离心率取值范围就是圆锥曲线几何性质上不等关系的反映，这就要求在教学中应注重把握解析几何的本质，引导学生用代数化意识解决几何问题，把圆锥曲线中体现“不相等”的几何性质转化成关于基本量a、b、c齐次不等式进行求解。另一方面离心率取值范围正是变量与变量特征在数值上的反映，本质上体现了函数思想，在教学上应注重引导学生树立函数思想，建立“e”的目标函数进行求解。关键词：解析几何圆锥曲线离心率不等式函数范围《普通高中数学课程标准》提出：在平面解析几何教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯析几何教学的始终，帮助学生不断体会“数形结合”的思想方法。决几何问题。圆锥曲线中求解椭圆曲线的几何特征挖掘出来，结合圆锥曲线的定义，穿于平面解究其本质就是要有意识的引导学生用代数化的方法解或双曲线的离心率范围这类问题，就是要把用基本量a、b、c进行代数化的过程，从而确立不等关系，求出的范围。确立关于不等ee关系的关键，一般有两个途径：一是通过几何性质代数化，确立基本量a、b、c齐次不等式；二是树立函问题就在于如何引导学生把几何问题进行代数化，确立不等关系。这里有三个问题需要解决。一是学生是否有几何问题代数化的意识，也就是学生在见到这类问题后能否尝试进行代数数思想，引入变量表示为离心率的函数，通过函数的有界性给出不等关系。化求解，这个问题主要在平时课堂教学中进行渗透。二是如何利用题给条件确立不等关系，这个问题常常使学生束手无策，没有生发点，甚至出现望而却步、望洋兴叹的局面。三是由不等关系通过代数运算，如何求解e的范围。很显然问题解决主要在于第二个问题，在课堂教学中如何引导学生确立不等关系，就是问题的关键了。c椭圆或双曲线的离心率e，一般情况下，椭圆中0e1，双曲线中e1.但在具a体问题里，它们的范围会受特殊条件的限制，有时候这些特殊的限制条件又恰恰隐含于题目e中，学生很难发现这些条件，如何用a、b、c进行代数化，进而确立一个关于的不等关系式，本文通过课堂教学部分例题，来说明如何引导学生去探究、寻找这类问题的思路方法，体会数学研究价值所在的。一、把握平面解析几何教学的本质要求，引导学生注重挖掘问题中体现“不相等”几何性质，确立不等关系（一）引导学生利用曲线上点的坐标范围确立不等关系为了确立不等关系，让学生找寻圆锥曲线中“不相等”的几何性质，引导学生回顾椭圆或双曲线的性质，学生就会发现曲线上点的坐标是有一定范围的，这就是一类是不等关系。x,yxa,yb，利用所给的条件用轨迹上任意一点P，xy221(ab0)椭圆a2b2y含a、b、c的代数式表示x或者，从而可得到关于基本量的不等式。（c,0)、F2，是椭圆(c,0)M的左右焦点分别为F1xy221a＞b＞0例1.已知椭圆a2b2FMFM0,求椭圆的e的取值范围.离心率上一点，且满足12或0x2a)（x,y)，则xa（.用含a、b、c分析：M是椭圆上一点，若设它的坐标为2的代数式表示x，得到恰好是关于a、b、c的齐次式，果.变换为关于的不等式，可求得结e解：设点M的坐标为（x,y)FM(xc,y)FM(xc,y)FMFM0，，.由1212，则b2得x2c2y20，即xcy（1）；又点M在椭圆上，所以ybx222222，a2代入（1）得x2a2a2b2.因为0x2a2，所以0a2a2b2a2c2，即c202c2ac22e1.110221.所以，所以2e2（x,y)，任意点，则可尝试设出这个点的坐标点评：一般地，如果题目中给出椭圆上的然后想法用a、b、c的代数式个关于e的不等关系式.如果是双曲线的问题了。引导学生意识到这样的不等关系，则可培养他们化“相等”为“不等”的表达x或y，再由xa或yb（焦点在轴上）可确立一只要利用xa或者ya这样的性质就可以转换思想。x（二）利用焦半径的取值范围确立不等关系圆锥曲线上任意一点P与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。圆锥曲线上一点到焦点的距离就是焦半径的长,不是定值，随着P点的变化而变化，但其长短有一定范围。因此在平时的教学过程中，要有意识的引导学生思考PF、PF取值的范围，利用这12个范围确立不等关系“acPFac”，把用基本量表示出来，PF1再恰当变换则可1用于求解e的范围。xy221a＞b＞0例2.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，离心率为，若椭圆上存ea2b2PFee，求的取值范围.（南京市2011高三第三次模拟考试题）.1PF在点P，使得2PFe，知此题与椭圆的焦半径有关，而PFPF2a，分析：由条件1PF212acPFac.将这些关系处理，可得关于离心率e的不等式.式灵活的结合恰并当的1PFPFe2ae.由椭1e解：因为e，所以PFPF1ePFPF2aPF，又，所以11PF212112ac2aeacac2acac，所，即性质知acPFac，所以圆的1eac1ac22ac(ac)2，所以1e2e(1e)0e121e1..又，解得以222acPFac这点评：此例告诉我们，如果题目的条件与焦半径有关，就可尝试利用1一不等关系来求e的范围在处理这个问题有个学生突然问我：例1.这样的问题可不可以这样处理呢？我让学生按照这个思路处理一下。.FMFM0，也就是PF2+PF2(2C)2，可以与本题中关于焦半径条件是1212PFPF2a联立消去PF，得到PF2aPF2b20，解出PF，再利用这个焦半2111122径的范围给出不等关系。真的这么容易解吗？解出PF还是有一定的计算量的。是不是一定1根的条件：4a28b20,即可得到所需要的齐次不要解出PF？其实这时利用方程有1等式。（三）引导学生利用题目中特定三角形（特别是焦点三角形）确立不等关系求解圆锥曲线的离心率范围这类问题中，有时在图像中会出现很多三角形，如焦点三角形、或其它的特征三角形。这些三角形中的边、角的不等关系可以作为引导学生建立不等式的方向，去求解e的取值范围。三角形中的不等关系很多，如：三角形的三边关系、角的大小关系、边角的对等关系、直角三角形中直角边与斜边的关系。在初中阶段学生已经学过这部分内容，但是随着时间的推移，遗忘的较多，所以学生很难想到利用这些不等关系。作为教师可以引导学生先回顾这些内容，给学生进行探究的空间，尝试把圆锥曲线本质特征与三角形的性质结合起来，去探究与基本量a、b、c相关的不等关系。（1）利用题目中三角形的三边关系确立不等关系xy221的左右例3.已知曲双线a焦点分别为F1、F2直线l，2b2为左准线，若双曲线的左支上存在点P，使PF是点P到直1线l的距离d与PF等比中项，求曲双线离心率e的取值范围.2F2分析：如图1，曲双线上的点P与两个焦点F、F构成一个12图1不等关系式PFPFFF.焦点三角形，显然有一个1212PFPFe，所以PFePF（1）解:由双曲线的第二定义，得.由第一定义知12PFd2112aPF2aePFPF2a（2），由（1）、（2）得PF，在PFF中，有12e1e121122a2ae2c，所以ePFPF2c(3)，所以2e10.所以211e12e12e121e，所以1e12.，又点评：作图探究，数形结合，从线段的基本性质或三角形的三边关系入手去寻找线段之间的不等关系，是化“相等”为“不等”的有效途径。（2）利用直角三角形的性质确立不等关系x2y21a＞b＞0的左、右例4.设F1、F2分别为椭圆a2b2焦点，若其右准线上存在一点P，使线段PF的垂直平分线F21图2经过点2F,求椭圆离心率e的取值范围.PFFF2c，而是右准线上的动点，若P分析：由线段垂直平分线的性质，容易想到212P与Q重合，则PFQF,若P与Q不重合，则PF是RtPQF的斜边，显然PFQF.222222PFQF.22由此可确立一个不等关系解:因为线段PF的垂直平分线经过点F，所以PFFF2c.如图2，设右准线与轴x12212Q,则FQ2ac，易知PFQF2c2ca1交于点,所以ce2，整理，得3，所以2c223e1.3点评：解此题的关键是利用线段中垂线的性质求得PF的长，而借助平面几何知识，2PFQF这一不等关系，则是求得正确答案的可靠保证。2发现2（3）利用钝角三角形的性质确立不等关系xy221a＞b＞0上的点，以M例5.已知M是椭圆a2b2为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相PQ,若是钝角三角形，求椭圆离心率的取值范围（扬州市2011届高三、交于PQM第一学期期末考试题）.解析：如图3，由以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦图3点F，知M到y轴的c.设M点的距离为坐标为4，由此可知圆的xy22b1a＞b＞02(c,y)，代入椭圆方程半径为，求得y2Mab22aPMQMFMb，.由于PQM是钝角三角形，故只能PMQ为钝角，所以2aPQMQMsinPQMccb22c，所以4,从而应有，即asin42acb2a2c2ae2e10，解得并整理得2.两边同除以226e26，所以e(0,62).，而0e1222点评：解决此题的突破口是通过题给的钝角三角形，找到PQM4这一隐含的不等关系式.例3、例4着重从边的关系上加以引导，例5注重从边角的关系上，开阔学生的视野，培养学生思维的宽度和广度。（四）利用已知不等式确立不等关系x2y21(a1,b0)l的焦距为2c，直线过点(a,0)和(b,0)，且点例6.已知双曲线a2b2(1,0)到直线的距离与点l(1,0)l到直线的距离之和S45c，求双曲线的离心率的取值e范围.分析：由于条件中已有明确的不等关系S45c，因此，只需应用常规的方法求出和(1,0)(1,0)le两点到直线的距离，再求其和，则可转化为关于离心率的不等式.解：直线l方程为xy1，即bxayab0.由点到直线的距离公式及a1，得点abb(a1)db(a1)，同理得到点(1,0)到直线的距离l.(1,0)l到直线的距离dba2b212a222ab2ab.由S45c，得2ab4所以Sdd5c，即5ac2a22c2a2b12cc2于是可得5e212e2，即4e425e2250，解得45e25，.又e1，所以e[5,5].2这是比较简单的问题了，原因在于有着这的样不等条件可以用，直接代数化即可达到目标。二、树立函数思想意识，建立“e”的目标函数，求解离心率的范围。函数思想是用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的一种思维策略。在平时教学中应注重培养学生这种重要的数学思想。函数关系体现了变量之间的关系，通过提出问题的数学特征，建立函数类数学模型。此类问题解决可以启发学生通过引入函数变量，来表示离心率e，构建目标函数，通过函数性质，求解离心率的范围。问题处理上学生困难在于选择那一变量来表示，如何表、、abc可以作为变量，示。变量的选择是多样的，基本量圆锥曲线的焦半径（焦点三角形边）可以，焦点三角形的角也可以；变量的选择可以是一元变量，也可以是多元变量。课堂教学中应引导学生选择不同的变量，主动进行探究、发现，体会思维的价值意义，而不是简单的模仿和死记硬背，这样才能真正达到问题的研究与解决，从而培养学生应用函数思想去解题的意识，养成良好的探究习惯。（一）利用一元函数的有界性求解当问题中与离心率相关的量能通过一个变量表达出来时，离心率就可以用这个变量表达出来，得到一个函数关系，只要求出范围即可。这种函数思想策，略课堂上学生很容易想到和做到。x221(m0)y的右焦点为F,右准线为直线l，且直线yx与例7.如图4，椭圆m2mml相交于点A，另有定点B(1,1),若AFAB5,求椭圆离心率e的取值范围.分析：利用条件AFAB5可求得参数的取值m范围，再将离心率e转化为关于m的函数，利用求函数的值域确定e的大小范围.图4解:因为a2m2m，2bm，所以c2m2，即cm.所以右准线为直线x1m，所以A(1m,1m)F(m,0)B(1,1），所，，又以AF(1，1m)，AB(2m,m).所以AFABm22m2，由m22m25，解得3m1，又m0，得mm21112.0m1.em2me（0，），所以m2m2m（二）、建立二元函数可利用基本不等式求解在问题的探究中如果变量化为一元变量，用二元变量表示离心率e的函数也是常见的，不等式来解决。较多，应指导学生利用条件先尝试消元，逐步化归。如果无法这时，可以引导学生用熟悉的基本xy221和221的离心率，求+的取值范围.ee12yx例8.已知e、e分别是双曲线12a2b2b2a2分析：由和式e+e联想到积ee，平方和e2e，还有(ee)2，进而想到将e、e22122121121分别用a、b、c表示，再通过它们之间的密切关系传递，借助基本不等式进行求解.b2=1bab2a222；e2a222=1ab22解：e1.a2b2(e+e)24ee=4(1)(1a)=42(b2a)8.b2221212ab22ab22又e+e122，所以e+e22.12例1的处理也是可以按这种思路进行：利用椭圆定义可知PFPF2a，把PF,PF1212看作两个变量可求出e24c2PF2PFPF2PFPF2PF21222224a(PF+PF)PF2PF22PFPF2(PF2PF2)2，1112212121212所以2e1.2本题利用基本不等式PF2PF22PFPF很容易给出离心率的范围。1212（三）引入角变量，构建三角函数关系求解有意识让学生尝试用不同的变量解决问题，可以培养学生思维的发散性，培养思维的宽度和广度。为此提出用角度作为变量的设想，借助边角关系表达出离心率。再来研究一下例1，在三角形PFF中，可不可以选择角作为变量呢？12，不妨PFF，PFF=0,22