小学二年级奥数下册第十讲 枚举法习题+答案

第十讲枚举法例1如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米）.宽1厘米1厘米面只宽1厘米1厘米面只=1平方厘米解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米.面列举出符合这个条件的各种长方形.长（厘豹98765宽》厘米）1'2345注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形）.F面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图（1）〜（5）.8厘米T厘米3厘米48厘米T厘米3厘米4厘米q厘米面积为平方厘米（1）

5厘米55厘米5厘米(5)例2如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米•问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.(1)(2)(3)(4)(5)(6)注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的（1）和（2）；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的（1）、（2）、（3）可知有3条路径可由A到H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6.例3在10和31之间有多少个数是3的倍数？解：由尝试法可求出答案：3X4=123X5=153X6=183X7=213X8=243X9=273X10=30可知满足条件的数是12、15、18、21、24、27和30共7个.注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：10三3=3余1,可知10以内有3个数是3的倍数；1000^3=333余1,可知1000以内有333个数是3的倍数；333-3=330,则知10〜1000之内有330个数是3的倍数.由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围.例4两个整数之积为144,差为10,求这两个数？解：列出两个数积为144的各种情况,再寻找满足题目条件的一对出来：12346891214472483624181612可见其中差是10的两个数是8和18,这一对数即为所求.例512枚硬币的总值是1元,其中只有5分和1角的两种,问每种硬币各多少个？解：列举出两种硬币的可能搭配：5分币1.2.3.4561角币11109.'376总钱数1元:L角5分1元1角1兀5分」元9角5分9角可见满足题目要求的搭配是：四个5分币,八个1角币.

例6小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能？解：把4封信编号：1，2，3，4.把小朋友编号，友1，友2，友3，友4.并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：醸讐收3q223第第第第醸讐收3q223第第第第五■A七种种种2第九种说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信，友4得了3号信.习题十一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问这个长方形的面积有多少可能值？面积最大的长方形的长和宽是多少？有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数？三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个？如（1，2，12）就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，12）和（2，12，1）是同一数组.小虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能？一个学生假期往A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另一个城市•假如他第一天在A市，第五天又回到A市•问他的游览路线共有几种不同的方案？6•下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点•行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动•问这只甲虫有多少种不同的走法？7•小明有一套黄色数字卡片、、，有一套蓝色数字卡片、、•一天他偶然用卡片做了下面的游戏：把不同色的卡片交叉配对，一次配成3对，然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少种配对相乘求和的方式吗？比如说下面是其中一种：去rm去rm去rm习X冋+図药囘+冋省也=118•五个学生友1,友2,友3,友4,友5一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处•分手时友1带头开了个玩笑，他把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包•试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式？习题十解答1•解：这个长方形的长和宽之和是22三2=11（米），由长方形的面积二长X宽，可知：长（米）.109.;87'6宽咪）i23-45面积（平方米t10is:24■2&.30由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米.猜想：由本讲的例1和习题1这两题来看，周长一定的所有长方形中长和宽相等或相近那个长方形面积最大.这是有名的“等周问题”的特例.解：把各种不同的组合及其对应的钱数列表枚举如下：枚数钱数1枚(1)C'2:)(3)<4)1,2,4,8.•2枚(1+2)?(1+4),(1阳)，(2+心；,(2阳)，C..4吃)359610；123枚(1+2+4),i1+2^8),(1+4-^),(2+4-^『71113144枚(1+2+4-^)15数一数可知，能组成15种不同的钱数.注意它们是从1到15的15个自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15.解：不计数组中数的顺序，所有乘积为24的三个数所组成的数组共有6组，枚举如下：（1，1，24），（1，2，12），（1，3，8），（1，4，6），（2，2，6），（2，3，4）.解：把三封信编号为1号、2号、3号；把三个小朋友编号为友1、友2、友3；1号、2号、3号信应该分别发给友1、友2、友3。按题意，友1没有收到给自己的1号信，他只可能收到2号或3号信.当友1收到2号信时，友2只可能收到3号信，则友3收到1号信；当友1收到3号信时，友2只可能收到1号信，则友3收到2号信.可见共有2种可能的错装情况，列表更为清楚，

可能情况第一种..第二种友123友2.31友和12解：请看下面的树形图.第一天第一天第二天第三天第四天第五天可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种，分别是：A—B—A—B—A④A—C—A—B—AA—B—A—C—A⑤A—C—A—C—AA—B—C—B—A⑥A—C—B—C—A.解：经过E点的有3条路线，不经过E点的有2条路线，共有5条不同的路线，见下图.7.解：可以按下面的方法找出所有不同的配对相乘求和方式：

1X1+2X2+3X3=1+4+9=141X1+2X3+3X2:=1+6+6=131xiS+2X1+3X3=2+2+9=131：^2+2X3+3X1=2+6+3=111X3+2X1+3X2=3+2+6=11IX3+2図2+3怎1=3+4+3=10可见共有6种不同的配对相乘求和方式，其中第①种情况（可叫做同序配对）各乘积之和最大，第⑥种情况（可叫做逆序配对）各乘积之和最小.如果你感兴趣，可以进一步问，这个结果有普遍性吗？我们再进一步探讨一下：同序配对：J2）1X1+2X2=5j逆序配对：习1X2+2W4.结果和上述相同.2.假如黄蓝卡片各有4张，不同的配对方式有很多.（4X3X2X1=24种，这点同学们以后就会明白！）我们找几种情况试一试：序配对：（協;）1X1+2X2+3X3+4X4=30”逆序配对4+2x3+3X2+4x1=20,交叉配对J1X4+2X1+3^：2+4^；3=24,交叉配对（芜君）3+滋段4+3X2+4爲1=21交叉配对（密器）1X2+2X4+3X1+4X3=25.可见：同序配对，各乘积之和最大：30逆序配对，各乘积之和最小：20交叉配对，各乘积之和居中：大于20小于30.猜想：两个项数相同的数列配对相乘积之和，同序配对时最大，逆序配