福科摆原理和稳态误差

摆式陀螺寻北仪的原理和稳态方位误差航天一院十五所余祖荫摘要:在地球自转水平分量作用下,福科陀螺摆的自转轴矢端有指北的趋势，然而在地球自转垂直分量作用下又有偏离北的趋向，那么从原理上讲，稳态条件下，陀螺自转轴矢端到底能否无误差地稳定在北向（子午面内）?本文回答了这个题。即，对于双轴福科陀螺摆，由于系统存在两个积分环节，因此在地球自转垂直分量作用下，理论上将不存在稳态误差。文中对单轴福科陀螺摆在理论上将存在稳态误差的问题进行了简单说明并对摆式陀螺寻北仪的某些特性提出了新的解释。主题词：福科陀螺摆陀螺寻北仪稳态误差1双轴（二自由度）福科陀螺摆式寻北仪及其原理双轴福科陀螺摆式寻北仪也称为悬挂摆式陀螺寻北仪（下称摆式寻北仪）。是应用广泛的一种寻北系统。其基本结构是一个由金属悬带悬挂着的陀螺，陀螺自转轴（下称H轴）呈水平状态。由于陀螺房的悬挂点在陀螺房重心之下，因此构成了一个以此悬挂点为支点的具有两个自由度的陀螺摆，如图1。由于重心在运动支点下方，陀螺绕通过支点的水平轴的运动在某种程度上将受到重力的约束，呈现半自由状态，因此称它是“1.5”自由度的陀螺更为恰当。由于采用悬带挠性悬挂结构，从而消除了普通机械悬挂产生的摩擦干扰力矩，同时具有自动对准铅垂方向的能力，因此系统可以达到极高的寻北精度。双轴福科陀螺摆与地球组成的特殊的力学系统具有非常独特的动态特性。假设初始状态下，H轴指向东，由于地球自转角速度（下称地速）水平分量的作用，地面将相对惯性空间发生倾斜，但由于陀螺的定轴性，H轴的表观运动将是其矢端向上抬高（在北半球）。又由于悬挂支点在陀螺房重心的上面，因此将产生一重力矩。在此重力矩作用下，H轴将产生进动，进动方向正好是使H矢端向北运动。当运动到北向（更确切地说应该是子午面内,以下同）时，作用到陀螺上的水平分量“消失”，但由于陀螺房的惯性和陀螺摆的等效惯性（见后）作用，摆动不会停在北向，而是越过北向。越过北向之后地速水平分量对陀螺的作用反向，产生的反向力矩再次使之归回北向，从而形成对称子午面的摆动。2摆式北仪的运动方程为了分析摆的运动过程，首先建立其运动微分方程。陀螺摆的悬挂支点是陀螺房的悬带夹持点,因此陀螺摆的运动方程应该是以此支点为转轴的三维转动运动方程.实际上,由于采用悬带的特殊悬挂方式,陀螺摆在运动过程中除去转角运动之外还存在三维方向的平移运动,但是由于平移运动与寻北测量之间的关系不大（只是在研究干扰运动时需要考虑)因此在讨论寻北原理时不予考虑.三维小角度线性化转动运动方程，也即三维力矩平衡方程为：TOC\o"1-5"\h\zJy+mgl-y=0 ⑴XJa—Hp+H®cos九—Cct•+D =0 (2)ZeZBJP-Cp+H®sin九+mgl-卩二0 (3)YXe(1)式为独立方程，与(2)和(3)式无关，而(2)和(3)式为联立方程.(1)式中的Y角是沿陀螺H轴的，与陀螺方位和俯仰进动特性(即陀螺特性)无关，而寻北测量只关心方位角a的运动过程，所以(1)式可以不加讨论而只需研究另外两轴的运动方程。或者说，由于系统为两个自由度陀螺，只须用两个运动方程来描述。假设Z轴为通过陀螺房悬挂点和陀螺房的重心的连线向上为正，X轴为通过陀螺房悬挂点并且垂直于陀螺转子轴的水平输入轴，Y轴为通过陀螺房悬挂点并且平行于陀罗转子轴(H轴)。式中H陀螺动量矩或陀螺自转角速度矢量；Jx陀螺房绕悬挂点而平行于陀螺水平输入轴的转动惯量；Jy 陀螺房绕悬挂点而平行于Y轴的转动惯量(Y轴平行于陀罗转子轴H)；J陀螺房绕悬挂点而平行于Z轴的转动惯量;Za绕z轴的转角，即H轴相对子午面的夹角或称方位角；卩绕X轴的转角，即H轴相对水平面的夹角或称H轴的抬高角；Y绕Y轴的转角，即绕陀罗H轴的转角；Cx 陀螺房绕X轴转动的阻尼系数；CZ 陀螺房绕Z轴转动的阻尼系数；DB悬带扭转刚度；®e地球自转角速度；九观测地点的纬度；m 陀螺房(含陀螺)质量；l摆长，即陀螺房重心到陀螺房悬挂点的距离。当忽略空气摩擦力矩和悬吊扭转刚度(通常可通过使上悬带夹跟踪陀螺房的摆动并使之达到相对静止来近似地实现无扭转力)，并考虑到a，卩为小角度(通常在使用时也确如此)，以及JP〈〈mglsinP，从而得到第二次简化式。X绕铅垂输出轴:Ja-Hp-H®cos九xa二0 (4)Ze绕水平输出轴:mgip—HC—H®sinX=0 (5)e此时摆动将为无阻尼振荡过程，其复合摆动周期为:T二2兀H2T二2兀H2mglH®cos九图1图2陀螺自转角速度矢端在东西铅垂面内的投影为一椭圆，其长轴在水平面之上（南半球时在水平面之下，赤道时正好在水平面内）;其短轴在子午面内，如图2。在考虑到阻尼时，上述封闭椭圆为一衰减螺旋线，其收敛点也在子午面内。式（6）指出，摆动周期与摆长的平方根成反比，这一点和常见的单摆周期特性不同。这是因为，在这里，摆长是构成重力摆矩的正比参量，而重力摆矩乃等效于摆绕X轴的弹性刚度。从⑹中还可以看出：H2/mgl构成一个绕Z轴的等效转动惯量，通常它比J大得多，z这就是为什么陀螺摆系统的“动摆”（即HhO时）周期比陀螺马达静止（即H=0时）时的“静摆”周期大得多的原因。当观测地点在赤道时，九=0，只有地速的水平分量作用于陀螺，衰减振荡过渡过程结束之后，H轴将停在北向。可见，地速水平分量是促成摆式陀螺寻北仪寻北的有用分量。当观测地点不在赤道时，除去上述水平分量外，陀螺还将感受到地速垂直分量。此时H矢端将不断出现从北向偏离的表观运动（在北半球，H轴矢端顺时针转动）。可见，地速垂直分量是一种干扰分量。现在假设此系统先处在赤道上，由于没有垂直分量的干扰作用，有阻尼的摆系统过渡过程结束后H轴无疑将稳定在北向，陀螺H轴方位上的表观运动为零。如果这时再将其移开赤道，例如向北移动，则系统将开始受到地速垂直分量的mglSmglSXS影响，即相对惯性空间在铅垂方向给系统加入一个等速输入量。那么，在忽略悬挂扭转力矩的条件下，陀螺摆系统在这一等速干扰输入下是否还能够使其H轴矢端稳定在北向而无稳态误差呢？或是存在某个稳态误差而稳定在某个微小偏北角方向上呢？换句话说，这种寻北系统的寻北精度是否存在着一个不为零的理论极限？在研究摆式陀螺寻北仪时这是一个应该回答的理论问题.3陀螺摆系统动态特性框图及稳态误差分析为了进行稳态误差分析，这里利用线性控制系统理论中的无差度的概念，并且仍然利用小参数线性化微分方程组，即在陀螺自转轴矢端偏北为小角度条件下进行分析。然后根据线性微分方程画出系统框图。这种简化不会影响分析问题的本质。e*sin九eHecos九sxs12m图3图3为用框图表示的摆式陀螺寻北仪在无人为约束条件下的线性化动态特性。S为拉氏变换算子。这里把地速垂直分量（相对惯性空间）作为系统输入，输出为H轴的偏北角。显然，若系统过渡过程结束后，H轴在方位上无表观运动，则此时陀螺H轴相对惯性空间的进动角速率必须正好等于地速垂直分量。过渡过程结束即意味着系统中，惯性力矩分量和阻尼力矩分量衰减为零。图中看出，系统向前回路有几个并联支路，但其主回路开环传递函数中存在两个积分环节。第一个积分环节是绕铅垂轴z的，第二个积分环节是绕水平输入轴X的。根据控制系统理论：一个具有单位反馈的闭环系统中，若其开环传递函数W（S）中存在两个积分环节时，则该系统称为二阶无差度系统。这种系统在等速输入下，输出与输入之间不但有相同的速度（无速度误差）而且不存在位置误差。这就是说，在地速垂直分量的干扰作用下，陀螺摆系统仍然具有寻北能力，陀螺转子最终将稳定在子午面或以子午面为摆动平衡位置摆动而不存在稳态误差，也即其寻北误差的理论极限为零。从开环传递函数可以看出，在忽略了空气阻尼和转动惯量后此系统内各环节都是无惯性的。这里试解释为：正是由于陀螺进动所具有的无惯性特性，才构成了这种特殊的具有

两个积分环节的无源闭环自动调节系统。4稳态的形成及其特性前面提到，陀螺自转轴在方位上无表观运动，说明它相对惯性空间也以地速垂直分量的速度在转动。产生这种运动的原因可从运动微分方程的稳态解得出.(7)上式说明，此时陀螺H轴失端将相对水平面自动抬高某个角度（若在南半球，则低下某个角度，此角度值是纬度的函数），以产生一个重力矩。在此重力矩作用下，陀螺H轴产生一个绕铅垂轴的进动角速度，它正好等于地速垂直分量以及由于抬高角而引入的水平分量在垂直方向上的二次投影分量之和。这就是说，陀螺H轴自动产生的抬高角所形成的重力矩造成的进动角速度补偿了地速垂直分量的干扰。当存在干扰力矩（例如，因基座振动动产生的整流力矩）使上述抬高角发生变化,H轴失端绕铅垂轴的进动角速度将大于或者小于地速垂直分量，则H轴失端将以顺时针或者反时针方向偏离子午面.在北半球，假设平均干扰抬高角厶B为正，则偏离角△a为顺时针，陀螺输入轴将再次感受到地速水平分量:①sinX-sinAau①sinX-Aaee在此水平分量的作用下，驱使H轴失端再次返回北向，最后稳定（平衡）在△a点.mgl-AP=H®cosX-AaeAa=mgl，AP ⑻H®cosXe此稳定点△a即为干扰运动产生的寻北误差.上式指出，在干扰运动产生同样的抬高角的情况下，摆长越长，产生的寻北误差越大（对大多数干扰运动和干扰力矩的分析结果也会得出类似的结论）.这就是为什么不能无限制地通过加大摆长来提高摆动周期的原因。从上式还可以看出，上述误差还将随着测量地点的纬度提高而加大。实际系统中，此抬高角是不易观察到的。在赤道上此抬高角为零。当工作在地球两极时，抬高角达到实际的最大值，如式（9），但此时北向已不复存在，陀螺轴将是随遇稳定，不再有振荡过程（表观运动仍然为零），或振荡周期为无穷大。P0mP0mH® emgl(9)当陀螺房质量给定时，重力矩将由摆长决定。摆长过小将使抬高角过大，摆长为零时成为无重力约束的自由陀螺而失去寻北能力。当重力矩变到无穷大时，绕水平输入轴的（半个）自由度消失，上述抬高角永远为零，则双自由度福科陀螺摆变为单自由度福科陀螺摆。在失去了一个自由度的同时，系统开环传递函数中也失去了一个积分环节而成为一阶无差度系统。虽然这种系统在地速水平分量作用下，H轴也有寻北能力，但是当测量地点的纬度不为零时，陀螺H轴不能自动产生抬高角来补偿地速垂直分量的干扰作用。为了使H轴的稳态方向或摆动平衡位置维持在北向附近（假设H轴在水平状态下），H轴将产生某个稳态误差角Au（即使忽略系统绕垂直轴的摩擦力矩）.此系统稳态误差将随纬度的提高而加大，因此福科单自由度寻北仪又称为偏差陀螺寻北仪。一般情况下（除非测量地点接近两极），此项误差也很小，而框架垂直轴的摩擦力矩产生的误差要显著得多。为了提高单自由度寻北仪的寻北精度，通常不采用简单的摆动测量方式而是采用指北力矩测量方式或者在陀螺控制回路加入一个积分环节以便消除由地速垂直分量所产生的稳态5结论双轴摆式陀螺寻北仪寻北测量时，由于地速水平分量的作用使陀螺自转轴总是趋向于北，而地速垂直分量的作用又使其不断偏离北向。但由于这种陀螺系统有两个自由度，存在两个积分环节，构成一个二阶无差度的系统，使其在地速垂直分量的干扰下，陀螺H轴的平衡位