工程电磁场理论与应用讲义-3

#式（3-27）化简为32AV2A—憾J(3-29)3t2将式（3-26）代入（3-21），则有V2©—憾°绅=—P（3-30）dt2s式（3-29）、（3-30）即为A与©满足的非齐次波动方程。由于这两个方程解的时间变化滞后于场源的变化，因此称解出的A与©为延迟电磁位，可用于研究电磁波的辐射问题。式3-26）对V-A的规定称为洛仑兹规范。可以看出，由于应用了洛仑兹规范，使原本存在耦合关系的方程（3-20）和（3-21）解耦，成为A与©单独满足的微分方程。4．电磁位的涡流方程，电导率规范在时变电磁场中，如果求解区域内存在导电媒质，则在其中将感应涡流。在许多工程问题中，特别是在电气设备、电力传输和生物医学等领域，时变电磁场的频率较低（通常低于101（Hz）,此时3D麦克斯韦方程（3-1）右端的两项中，位移电流密度°"与传导电流密度J相比较可以忽略不计，这3t类电磁场通常称为涡流场。在涡流场中，传导电流密度J可以分为两种情况，其一是作为已知函数的源电流密度，记为J；其二是由于磁场的时间变化感应出来的涡流密度，记为J。对于一般情况,se总的传导电流密度可表示为J=J+Je(3-31)Je的空间分布和时间变化是未知的，可利用电磁性能关系式，将J表示成ef°A丄)J=QE=—Q丁+V©(3-32)e(°tJ此外，在似稳电磁场中，位移电流密度竺与传导电流密度相比较可以忽略不计，因此与式（3-20）°t相对应，有VxVxA=卩J（3-33）将式（3-32）代入（3-31），再代入（3-33），同时利用矢量微分关系式（3-28），得到V（V-A）—V2A二—卩+V©]+^J（3-34）°ts将A的散度规定为V-A=—yb©（电导率规范）(3-35)式（3-34）就变成2SAV2A-yb=St-yJs(3-36)将式（3-35）代入（3-21），可得V2©-yb独=StP8(3-37)式（3-36）和（3-37）即为涡流场中电磁位满足的非齐次涡流方程，规定V-A的式（3-35）称为电导率规范。5．静态场中的电位和磁位方程，库伦规范由于静态场是不随时间变化的场，因此电场的方程与磁场的方程相互独立，不存在耦合关系。对于静电场，注意到式（3-30）中的时间导数项为零，就得到V2^=-—（3-38）8式（3-38）为静电场电位的泊松方程。在体电荷为零的区域中，上式成为V2©=0（3-39）式（3-39）为静电场电位的拉普拉斯方程。在电流密度为零的区域中，静磁场也可引入标量位，即由VxH=0，定义H=-V©（3-40）m类似地，V2©=0（3-41）m式（3-41）为无电流区的静磁场中标量磁位©的拉普拉斯方程。当有电流存在时，磁场成为有旋场，m不能引入标量位，此时可利用矢量磁位进行计算。与式（3-36）相对照，由于时间导数项为零，静磁场的矢量磁位满足矢量泊松方程，即V2A=—卩J（3-42）s应当指出，矢量磁位也可用来计算无电流区的静磁场，此时式（3-42）成为矢量磁位的拉普拉斯方程，V2A=0(3-43)由于式（3-42）和（3-43）是从（3-36）导出的，此时电导率规范（3-35）中&=0，因此有A的散度为零，这称为库伦规范，即V-A=0（库伦规范）(3-44)

3.1.3工程电磁场数值分析中电磁位方程的表述在工程问题的电磁场数值分析中，通常求解区域内包含不同的媒质。对于线性媒质，其电磁特性参数是常数或分区常数；对于非线性媒质，电磁参数还依赖于的值。由于两种媒质的交界面上电磁特性发生突变，因此微分方程在交界面上不成立，需要分区列出电磁位方程，同时列出交界面条件，从而将不同区域的微分方程关联起来，联立求解。此外，为了减小计算规模，往往将求解区域分成不同性质的子区域，在其中采用不同的位函数作为未知函数建立微分方程。下面举例说明。静态场中的准拉普拉斯方程和准泊松方程对于不含电荷区的静态电场，标量电位0满足准拉普拉斯方程。在直角坐标系下，可表示为a0axa+-aa0axa+-aya0ay辿、

az丿(3-45)对于含电流区的非线性静态磁场，矢量磁位A满足的方程为（见注1.1）aaAaaA、aaA、aaA、—V—+—V—+—V—axax丿aya丿azaz丿=-Js(3-46)式（3-46）中》=1/卩，为磁阻率。注11由于在非线性媒质情况下磁阻率是空间坐标的函数，因而式（3-46）中应包含与磁阻率的梯度VV有关的项。但目前在许多文献中均忽略了磁阻率的梯度项，这可以理解为，在有限元法等数值计算方法中，通常将每个离散的空间单元的磁阻率近似地设为常数，这样一来，在单元内磁阻率的梯度VV就等于零，而不同单元之间场方程的联系则通过交界面条件来实现。尽管这种处理带来了数学模型表述和计算方法上的很大便利，但这一简化引起的误差还是值得进一步探讨的。似稳场有损电介质中的标量电位方程有损电介质的电特性不仅需要用电容率£、而且需要用电导率◎来表征。对麦克斯韦第一方程（3-1）等号两边取散度，有/aD、V.J+aD=0（3-47）Iat丿式（3-47）即微分形式的电流连续性定理。由式（3-5）和式（3-7），上式可改写成厂aE'V・oE+£竺=0（3-48）、at‘通常£和◎为线性参数。根据式（3-19）,有at当激励源等值电磁波的波长比场域尺寸大许多倍时，亦即在似稳场情况下，磁场变化引起的电场分量可以忽略，因此上式可简化成

将式（3-49）代入式（3-48），有将式（3-49）代入式（3-48），有E=-V^(3-49)IQ\V-qV©+£V©=0Qt(3-50)在直角坐标系下，上式成为(3-51)Q]'q2©Q2©+Q2©Qt丿、Qx2Qy(3-51)式（3-51）即为似稳场有损电介质中标量电位满足的微分方程。3．二维涡流分析中的矢量磁位方程当所研究区域内的源电流只存在某一固定方向的分量，且区域内的几何、物理参数沿该方向均无变化时，电流密度和矢量磁位就只存在沿该方向的分量（一般将该方向取为直角坐标的z轴方向）,所研究的问题也简化成为二维平行平面场问题。此时选用矢量磁位作为未知函数计算磁场与涡流问题最为方便。许多涡流分析问题既包含涡流区，也包含源电流区。对于源电流区，往往可以不计涡流引起的集肤效应而只存在源电流密度，涡流区则不存在源电流而只有涡流密度，此时场方程可看作源区的场方程和涡流区场方程的联立，即：QQxQQxIvVIvQQxQQxIvVIvQyQQyQA)Qy丿QA)Qy丿zsze（源电流区）（涡流区）(3-52)式（3-52）中涡流密度J是未知的，可以用矢量磁位来表达。为此可利用式（3-19），并考虑到在ze二维场中ve=（ve）k，由于©沿z轴方向无变化，所以（v©）=业=o，从而标量电位可以消去;zzQz于是式（3-52）的两个方程可统一写成QA'——&+QQA'——&+Qx丿QyQA)QA1=Q&Qy丿Qtzs(3-53)在数值分析中，式（3-53）的Q和J通常按分区常数给出。方程（3-53）加上适当的边界条件和初始zs条件即构成二维平行平面涡流场定解问题。求得其解答后，可方便地计算磁感应强度B和电流密度即B=VxA=Vx(Ak)=Bi+Bj(3-54)zxyQAIQA)J=-Q—+J=-Q—宁+Jk(3-55)QtsVQtzs丿综上所述，二维涡流场（也包括轴对称场在内）分析的特点是：

(1)A和丿只存在一个分量，B只含两个分量;(2)J和B的耦合关系仅用一个标量函数(对于平行平面场为Az，对于轴对称场为A0)就可以联系起来。4．三维涡流分析中的电磁位方程[55]对于三维涡流分析，B和J都各有三个分量。直接用B、J求解，需要6个未知函数。若用矢量磁位求解，则标量电位一般不能消去。为了减少计算规模，研究者们选用了不同的矢量位与标量位，组成各种电磁位对作为待求函数，使三维涡流场控制方程的表述呈现多样性。现将目前在节点有限元法中较多选用的电磁位对及与之相应的控制方程列在表3-1中。概括起来，表中所列的方法可分为两大类，即A法和T法。无论那种方法，为了完成场方程的表述，通常在涡流区需要矢量位与标量位的组合;在非涡流区则只需要采用矢量位或者标量位。下面介绍两种典型的电磁位组合与相应的微分方程。(1)矢量磁位与标量电位方程，A,©-A法所谓A,©-A法，指的是把三维涡流场的场域分成涡流区和非涡流区两部分，在涡流区采用矢量磁位A和标量电位0作为未知函数，在非涡流区只用A作为未知函数，并将源电流归入非涡流区。将式(3-17)和(3-19)代入式(3-1)和(3-2)，并考虑到电磁性能关系式(3-6)、(3-7)，在似稳场情况下，忽略式(3-1)右端的位移电流密度，不难得出Vx(vVxA)=—o里—GV©在涡流区内(3-56)dt和Vx(vVxA)=J在非涡流区内(3-57)sVxVVxA)-vVV.A)+c^A+QV©=0dt(qa)V.—G—GV©=0<Qt>VxVVxA)-vVV.A)+c^A+QV©=0dt(qa)V.—G—GV©=0<Qt>(a)>在涡流区内(3-58)(b)Vx(vVx(vVxA)-vVv・A)=Js其中，(3-58(b))的加入是因为，对于原来的场方程(3-56)，描述电流连续性的方程(3-58(b))是其必然结果，而加入-V(vV・A)以后，该式已不再被(3-58(a))所隐含，因此需要单独列出。式(3-58)和式(3-59)即为A,©—A法数学模型中矢量磁位A和标量电位0满足的微分方程。关于加入-V(vV・A)这一项的理由，可以从两方面来说明。其一是从该项出发可得出边值问题所对应泛函的罚函数项，当泛函取得极值时，必然导致A的散度为零，即库仑规范成立。其二是

从式(3-58)和式(3-59)出发，应用矢量场的唯一性定理以及调和函数的性质，证明加入-乂V-A)这一项并给出恰当的边界条件和交界面条件可以保证库仑规范成立。参见文献［8］，这将在后面章节中进一步详述。(2)矢量电位与标量磁位方程，T，屮-屮法T，屮-屮法同样把三维涡流场的场域分成涡流区和非涡流区两部分，并将源电流归入非涡流

区。但与A,A法不同，T,屮-屮法在涡流区采用矢量电位T和标量磁位屮作为未知函数，在非涡流区只用屮作为未知函数。将电流密度统一表示为J=J+J(3-60)es其中J为涡流电流密度，J为源电流密度。在涡流区，由电流密度的无散性V-J=0，可以引入ese矢量函数T,使J=VxT(3-61)e由于T的旋度表示电流密度，因而T称为矢量电位。再将麦克斯韦第一方程写成如下形式：VxH=J+J=J+VxH(3-62)eses其中H表示源电流密度在无限大空间所产生的磁场强度。综合式(3-61)、式(3-62)可得sVxH-T-H)=0s因而可以取H—T—V屮+H(3-63)s屮为标量磁位，它可看作静磁场中标量磁位在涡流场情况下的推广。在非涡流区，由于J—0，J则为已知函数，因而不需要引入矢量电位，所以磁场强度按下es式计算：(3-64)H—H—V屮(3-64)s仍从式(3-1)和(仍从式(3-1)和(3-2)出发，由式(3-63)、式(3-64)可导出T与屮满足的场方程:VxpVxT-VpV-T-V屮)——/JatatV屮T-V屮)--V屮Hs(")＞在涡流区内(b)(3-65)在非涡流区内(3-66)与上文中矢量磁位A的散度规定相类似，式(3-65(a))中的VpV-T项也是为了规定T的散度为零而引入的。在数值分析中，上述两种表述三维涡流分析电磁位方程的方法各有其优点和缺点。A,©-A法具有较高的计算精度，便于处理涡流区与非涡流区交界处的交界面条件，对含有多连域导体区的情况也可直接应用，源电流项的引入也直接、方便。但是A,A法在涡流区的每个离散节点上有4个未知数，在非涡流区每个节点上有3个未知数，总的未知数个数较多。与此相对照，T,屮-屮法在涡流区的每个离散节点上有4个未知数，在非涡流区每个节点上仅有1个未知数，显然具有未知

数总数较少的突出优点。但在T，屮-屮法中源电流密度的作用是通过H引入的，在数值计算中需要s按照比奥-沙伐定律预先算出H，即s1JxrH=idQ（3-67）s4冗qsr3上式需要根据电流密度的分布用数值积分方法计算［56］。此外，为保证导体表面处电流的连续性，需要将导体表面矢量电位的切向分量预先置为零。这些都增加了程序的复杂性和计算时间。同时，在导体区计算磁场强度时，式（3-63）的右端成为数量级相近的数的相减，这将使磁场强度的计算误差增大，电流密度及相应的损耗计算误差也将增大。另一个问题是对多连域问题的适应性。经典电磁理论告诉我们，对无电流区的磁场使用标量位，由于其位差与路径有关，将产生位的多值性［57］。这可以通过设置壁障面来解决，使研究区域内的任意路径不能穿过电流区，以保证区域中各点的标量磁位成为单值。如果所研究的问题不便于找出壁障面，则不能使用标量位。在这种情况下应用T，屮-屮法时，只好采用一种权宜之计，即将造成多连域的导体区的“洞”纳入导体区，并设其中的电导率等于不为零的很低的值。表3.1各种电磁位对与相应的涡流场控制方程（釆用库伦规范，V-A=0）编号电磁位对场方程备注涡流区非涡流区1#Ag-AVXVV-oB=\E=-VxA-VvV/UJ-a-V©<6t丿7xA6AV.--V©6t-A+of6A+V©(6t=0\=0丿VxvVxA-VvV-A=JsB=VxA1.将源电流归入非涡流区2•优点：1）交界面条件为自然边界条件.2）源电流项容易处理•3）适用于多连域导体.4）精度较高3•缺点：未知数总数较多2#A,»-屮（屮为磁标量位）VxvV-oB=\E=-VxA-VvV(6AV©、-,-V©I6t丿7xA6AV©--V©6tA+oK+v©I61丿=0(*)=0V-CpV屮L0H=-V屮将源电流归入涡流区，令其中o=0•（*）式在除源区以外的涡流区成立优点:未知数总数少；其余同1#的2）和3）4•缺点：1）离散化方程含耦合面积分项，需要特殊处理；2）ICCG迭代时收敛较慢3#4*A-屮VxvVxA*-VvV-A*=JdtsB=VxA*E七V-CpV屮L0H=-V屮1•优点:1）同2#.2）与2#相比,ICCG迭代时收敛较快.2•缺点：1）不能直接用于多连域问题.2）离散化方程含耦合面积分项，需要特殊处理.4#A,0-Arr（Ar为修正的矢量磁位）(QA)VxWxA-WV-A+o1r+V6二rr(Qt丿-VxWxA-o%ssQt(QA)QAV-o—r—V©=Vs(Qt丿QtB二VxA+VxAsrQAQAE=-s-r-V©QtQtA=垃JJdQs4兀qrVxvVxA-VvV-ArrQAr+or=Qt.QA-VxvVxA-ossQtB=VxA+VxAsrA=气JJdQs4兀qr1.°s为源区2•优点:1）同1#的1）、2）和3）•2）在用有限元法进行剖分时，网格线不受源区轮廓线的限制.3•缺点：1）未知数总数较多.2）需要预先用数值积分法计算源电流相应项.5#T,屮-屮VxpVxT-VpV-T+QTQwQH卩a-y=-PasQtQtQtV-Ct-yV屮)=-VyHsJ=VxTH=Hs+T-V屮H=丄JJ7~rdQs4兀Qr3V-yV屮=V-yH、H=H-V屮s1H=丄JJsxrdQs4兀qr31.优点：未知数总数少2•缺点：1）导体表面上Tt=0为强加条件.2）对多连域导体需要特殊处理.3）同4#的第2）条.6#T,屮-A-屮1•同5#.2.在导体所包围的洞中：VxvVxA-VW-A=0B=VxA同5#1.优点：1）未知数总数少.2）适用于多连域导体问题.2•缺点：计算机程序的复杂程度增加3.2边界条件1.2节介绍了不同情况下场矢量和电磁位满足的微分方程。求解一个具体的电磁场问题，在构造相应定解问题的数学模型时，除了确定求解区域、选择未知函数、列出场的控制方程以外，为了求得问题的唯一解答，还需要给出求解区域外边界上的适当的边界条件；此外，若场域内包含着多种媒质，在媒质分界面上电磁参数发生突然变化，这将引起场矢量的突变，仅用微分方程来描述场的分布将产生困难，因而需要将不同媒质的分界面条件引入数学模型。对于时变问题，还要给出t=0时未知函数所满足的初始条件。本节将说明边界条件的确定方法。3.2.1不同媒质的分界面条件当求解区域中含有多种媒质时，实际上场的控制方程是对应于每种媒质分区列写的。不同媒质中的场方程加上媒质的分界面条件和外边界的边界条件，才能构成联立求解的数学模型。在许多介绍电磁场基础理论的教科书中，均说明了如何导出场矢量E、D、B、H和/在不同媒质分界面上满足的条件，下面省略导出过程，直接写出用各场矢量及其分量表示的分界面条件。1.电场强度两种媒质中的电场强度E和E在分界面上满足以下分界面条件：12“皿-气L0（3-68）

E=E（3-69）t2t1其中n为分界面法向矢量，E和E分别表示媒质1和媒质2中电场强度在分界面处的切向分量。t1t2式（3-68）和式（3-69）说明电场强度在不同媒质的分界面处的切向分量是连续的。电位移12图3-1自由面电荷存在时D的分界面边界条件两种媒质中的电位移D12图3-1自由面电荷存在时D的分界面边界条件n-（D-D）=p（3-70）TOC\o"1-5"\h\z21s或D—D=p（3-71）n2n1s其中p为分界面上存在的自由电荷面密度，D和Dsn1n2分别为媒质1和媒质2中电位移在分界面处的法向分量，式（3-70）中电位移矢量D和D正方向的规定见图12D=DnD=Dn2n1(3-72)磁感应强度两种媒质中的磁感应强度B和B在分界面上满足以下分界面条件：12(3-73)n--B）=0(3-73)21或B—B=0(3-74)n2n1(3-74)式（3-73）和式（3-74）说明，在磁感应强度在不同媒质的分界面处的法向分量连续。磁场强度两种媒质中的磁场强度H和H在分界面上满足以下分界面条件：12nx（H—H）=K（3-75）21或H—H=K（3-76）TOC\o"1-5"\h\zT2T1t其中K为电流线密度，单位为A/m；H和H分别表示媒质1和媒质2中电场强度在分界面处的1T2切向分量。各物理量正方向的规定可描述为：H与K的正方向构成右手系，见图3-2。实际上电2t

流是以体密度的形式存在的。如果电流层的厚度比较薄，或者感兴趣的场域中不存在电流区，有时可将体电流简化成沿导体与非导体交界处的无限薄的电流片，用电流的线密度来描述。当交界面上不存在电流线密度时，磁场强度的切向分量连续。5.电流密度图3-2电流线密度存在时的分界面条件两种媒质中的电流密度丿1和叮2在分界面上满足以下分界面条件:“・J2-J1)=5.电流密度图3-2电流线密度存在时的分界面条件两种媒质中的电流密度丿1和叮2在分界面上满足以下分界面条件:“・J2-J1)=0(3-77)—J=0n2n1(3-78)即在不同媒质的分界面处电流密度的法向分量连续。6.电磁位在解决实际问题时，常常需要根据场矢量在不同媒质分界面上满足的分界面条件写出电位或(和)磁位的相应分界面条件。例如，对于涡流场问题，与表示电流连续性的式(3-77)相对应，当采用A,©-A法时，矢量磁位和标量电位应满足的分界面条件为n•&丝+bV©—b亘—bV©l(1dt112dt22丿(3-79)将上式展开，并注意到通常在交界面处取磁位和电位的值连续，即A=4=A，©1"，则12可得到包、IJ2包、卫n*(3-80)(3-81)如果两种媒质中有一种电导率为零，例如(3-81)如果两种媒质中有一种电导率为零，例如b1=0，则式(3-80)、(3-81)成为对于T,屮-屮法，矢量电位满足如下的分界面条件:2n(VxT)=(VxT2n1n(3-82)迪、〔8J2_

(3-82)(3-83)(3-84)(3-85)(3-86)(3-87)(VX(3-83)(3-84)(3-85)(3-86)(3-87)2n与式(3-74)、(3-76)相对应，矢量磁位满足的分界面边界条件为(VXA)=(vxA)2n1n+(VXO计(VXA!1对于电场问题，与式(3-70)对于电场问题，与式(3-70)、(3-71)相对应，标量电位满足的分界面边界条件为上式亦即3.2.2场域边界条件在许多实际工程问题中，场矢量在场域边界上有时很难给出适当的边界条件。在确定场域边界条件时，需要小心处理，合理简化。1.无穷远边界对于开域问题，亦即电磁场能量并非局限于有限区域的问题，当求解区域取得足够大时，可以认为在边界上电磁场已近似地衰减到零，这样的边界可看作无穷远边界。不过，求解区域越大，数值分析中对区域进行离散化的工作量也越大，总的计算规模就越大；求解区域越小，则由于电磁场分布空间的截断所引起的误差将越大。如何恰当处理开域问题将在3.2.3节中进一步讨论。在无穷远边界处，有B=0,E=0(3-88)对于时变场中的涡流问题，若采用A,A法求解，则有A=0,0=0(3-89)对于静磁场，有矢量磁位或标量磁位为零，即A=0(3-90)或0=0(3-91)m对于电场问题，则有标量电位等于零，即0=0(3-92)如果求解区域具有铁磁外壳，那么由于在工频电磁场中铁磁物质的透入深度只有1~3mm,在外边界处实际上场量已经衰减到很小的值，因而可以按无穷远边界处理。式(3-89)~式(3-92)均给出了磁位或电位在边界上的值，这类边界条件为第一类齐次边界条件。注1.2关于第一类和第二类边界条件的定义，原本是针对标量微分方程边值问题作出的，本节中将这种定义沿用于

矢量微分方程中未知场矢量的分量。例如，式（3-90）实际上表示A=0,A=0,A=0；故对A的分量而言，xyz为第一类齐次边界条件。电场问题：给定电位的边界和电场线边界电场问题分析中常见的情况是电极（或导体）表面的标量电位可以给定，取这样的表面作为场域边界，则在边界上有0=0i=1,2,,N（3-93）i上式中0为给定的电位值，N为电极的个数。当所选的边界与电场线相重合时，电位0满足如下边i界条件：色二0（3-94）dn式（3-93）为第一类非齐次边界条件；式（3-94）为第二类齐次边界条件。磁场与涡流问题：在边界上满足卩a=0条件的情况对于含有涡流的磁场分析，在卩=8,o=0的边界上，由于0，故不存在涡流；当求解区域内的总电流之和为零，即满足Yi=0的条件时，由于边界外面卩，所以磁场应垂直地进入边界面，即磁场强度的切向分量为零，可表示成(3-95)(3-96)nxH=(3-95)(3-96)用矢量磁位表示时，有dAdAdAdAn——t=0t—n=0

dtdn'dnQt其中n为边界面法向，t和t为切向，如图3-3所示。当铁磁材料在计算场域外面，且不计其中的涡流时，就可按这类边界处理。图3-3图3-3边界面法向与切向由于唯一性的要求，在这类边界上可以给定［8］以下条件：n-A=0（3-97）即在边界面上A处处为零，从而A沿边界面的切向变化率也处处为零：nn

(3-98)(3-98)综合式(3-96)和(3-98)可得(3-99)(3-100)(3-101)dAdA门dndn(3-99)(3-100)(3-101)所以在这类边界上A的边界条件可以表示为n-A=0式(3-100)即A的法向分量为零，是第一类齐次边界条件；式(3-101)即A的两个切向分量的法向导数为零，为第二类齐次边界条件。磁场与涡流问题：在边界上满足o=g条件的情况满足0=8条件的边界相当于超导边界。当有任何法向时变磁场进入此面时，边界面内即会感应涡流，把进入的法向磁场排挤出去，结果使边界面上只存在磁场的切向分量，不存在法向分量，即n-B=0(3-102)根据fB-也=fA-dl(S是定义在该边界上任意位置的表面，其面积可以取得任意小，C为包围该sc表面的封闭曲线)，由曲面S的任意性，可以推出在边界面上矢量磁位A的切向分量处处为零，再考虑到采用库仑规范，即V-A=0，因此矢量磁位在这类边界上满足nxA=0(3-103)dA小j=0(3-104)on式(3-103)表示A的两个切向分量为零，为第一类齐次边界条件，式(3-104)表示A的法向分量的法向导数为零，为第二类齐次边界条件。磁场与涡流问题：对称面边界在有些三维涡流问题中，存在着几何对