第一周 集合-2024届高考数学大单元每周拔高练【新高考版】（含解析）

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大单元每周拔高练

1.已知集合，，若中有三个元素，则实数a的取值集合为()

A.B.C.D.

2.已知集合，，若，则实数a的值构成的集合是()

A.B.C.D.

3.设数集M同时满足条件：

①M中不含元素-1，0，1，

②若，则.

则下列结论正确的是()

A.集合M中至多有2个元素B.集合M中至多有3个元素

C.集合M中至少有4个元素D.集合M中有无穷多个元素

4.设所有被4除余数为的整数组成的集合为，即，则下列结论中错误的是()

A.B.

C.，，则D.，则，

5.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，这种有理数的分割就是数学史上有名的戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项不可能成立的是()

A.M有最大元素，N有一个最小元素

B.M没有最大元素，N也没有最小元素

C.M没有最大元索，N有一个最小元素

D.M有一个最大元素，N没有最小元素

6.定义集合，若，，且集合中有3个元素，则由实数n的所有取值组成的集合的非空真子集的个数为()

A.2B.6C.14D.15

7.规定：在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：

①；

②；

③若整数a，b属于同一“家族”，则；

④若，则整数a，b属于同一“家族”.

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

8.已知，，其中，，若，，且的所有元素之和为56，则()

A.8B.6C.7D.4

9.（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问物几何”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数x为()

A.8B.128C.37D.23

10.（多选）设A为非空实数集，若对任意，都有，，且，则称A为封闭集.下列叙述中，正确的有()

A.集合为封闭集

B.集合为封闭集

C.封闭集一定是无限集

D.若A为封闭集，则一定有

11.（多选）集合，集合，则集合可表示为()

A.B.C.D.

12.（多选）用表示集合A中的元素个数，定义.已知集合，，若，则实数a的取值可能是()

A.B.0C.1D.

13.设，集合，，若，则实数___________.

14.设全集，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是__________.

15.已知有限集(，)，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：

①集合是“复活集”；

②若，则不可能是“复活集”.

其中所有正确结论的个数为___________.

16.若集合，，，，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对为“兄弟集合对”.当时，这样的“兄弟集合对”有___________对.

17.定义：若对任意(m，n可以相等)，都有，则集合称为集合A的生成集.

(1)求集合的生成集B；

(2)若集合，A的生成集为B，且B的子集个数为4，求实数a的值.

18.设A是正实数集的非空子集，称集合且为集合A的孪生集.

(1)当时，写出集合A的孪生集B；

(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由.

答案以及解析

1.答案：C

解析：因为中有三个元素，且，，所以或.①当时，解得或，均符合题意；②当时，解得，符合题意.

2.答案：D

解析：.因为，，所以当时，；当时，，则或，解得或.综上，实数a的值构成的集合是.

3.答案：C

解析：由，得，所以，

所以，所以.若，则，无解.因为，所以x，，，互不相等，此时集合M中含4个元素，所以集合M中至少有4个元素.故选C.

4.答案：D

解析：对于A，，所以，故A结论正确；对于B，，所以，故B结论正确；对于C，，，，则，，所以，故C结论正确；对于D，若，则，或，或，或，，故D结论错误.

5.答案：A

解析：设M的最大元素为m，N的最小元素为n，若有，则不能满足，故A错误；若，，满足题意，但此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故B可能成立；若，，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故C可能成立；若，，则M有一个最大元素，N没有最小元素，故D可能成立.选A.

6.答案：B

解析：因为，，，所以，，，.当，即时，，满足题意；当，即，(舍去)时，，不符合题意；当，即，(舍去)时，，不符合题意；当，即时，，满足题意.综上，实数n的所有取值组成的集合为，故非空真子集的个数为.

7.答案：C

解析：因为，所以，故①正确；因为，所以，故②错误；若a与b属于同一“家族”，则，，(其中)，故③正确；若，设，则，不妨令，，则(，)，所以a与b属于同一“家族”，故④正确.选C.

8.答案：A

解析：由得，所以，易知，所以.

当时，由得，所以，又因为，所以，，且，所以，即，

从而，所以或两种情况均与题意矛盾.

当时，，从而，所以，

即，从而，

所以，，所以或，

又，所以，.

又，所以，

将，，代入，可得，所以或(舍去)，所以.故选A.

9.答案：BD

解析：因为，所以，故A错误；，则，，则，，则，所以，故B正确；，则，故C错误；，则，，则，，则，所以，故D正确.

10.答案：BD

解析：对于A，在集合中，，所以集合A不是封闭集，故A错误；对于B，集合，设，则，，，所以，，，所以集合为封闭集，故B正确；对于C，封闭集不一定是无限集，如为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取，得，故D正确.

11.答案：ABC

解析：不等式的解集为或，所以或，因为，所以或，故B正确；

，则或，故A正确；

因为，所以或，故C正确；

因为，所以，故D错误.

12.答案：ABD

解析：易知，则，又，所以或，即方程有1个实数根或3个实数根.

若，则必有或.

若，则或.

当时，，，符合题意.

当时，对应的实数根为0和，

若，则有以下两种情况.

①有两个相等的实数根，且根不为0和，

由得.

若，则，，符合题意；

若，则，，符合题意.

②是的一个实数根，此时.

若，则，，符合题意；

若，则，，符合题意.

综上所述，a的可能取值为0，，，故选ABD.

13.答案：1或2

解析：由.得，由题意得，当，即时，；当时，.所以当时，，符合题意；当时，由，得，所以.综上所述，或.

14.答案：

解析：不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有三个元素的子集个数有10个.因为，所以排在第23位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为，第25位的子集为，第24位的子集为，第23位的子集为.

15.答案：2

解析：①，故①正确.

②根据集合中元素的互异性知，不妨设，由，可得.，.于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故②正确.所以正确结论的个数为2.

16.答案：14

解析：由题意知，当时，.当集合A中最大数为1，即时，无满足题意的集合B；当集合A中最大数为2，即或时，只有一种满足题意的集合，此时“兄弟集合对”有2种；当集合A中最大数为3，即，，或时，满足题意的集合B有，和三种可能，此时“兄弟集合对”有(种).综上所述，当时，这样的“兄弟集合对”有(种).

17.答案：(1)

(2)或

解析：(1)当时，，

当时，，

当，或，时，，

所以.

(2)当时，，

当时，，

当，或，时，.

因为B的子集个数为4，所以B中有2个元素，

所以或或，

得或(舍去).

当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意.所以或.

18.答案：(1)

(2)最小值为128

(3)不存在，理由见解析

解析：(1)，.

(2)设，不妨设，

因为，

所以B中元素