专题06 倍长中线证全等（含解析）

第第页专题06倍长中线证全等（含解析）中小学教育资源及组卷应用平台

专题06倍长中线证全等

1．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（）

A．2＜AD＜10B．4＜AD＜20C．1＜AD＜4D．以上都不对

2．已知AD是△ABC中BC边的中线，若AB＝4，AD＝3，则AC的长可以是（）

A．11B．11C．10D．9

3．如图，在中，、分别是上两点，且，求证：.

4．如图，在和中，，，、分别为、的中点，且，求证：≌．

5．已知：如图，在△ABC中，AB>AC，AM是BC边的中线．求证：AM>（AB-AC）．

6．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD．求证：AE＝AC．

7．阅读下面文字并填空：数学课上张老师出了这样一道题：“如图，在中，，是中线，点为的中点，连接.求证：”

张老师给出了如下简要分析：“要证，就是要证线段的倍分问题，所以有两个思路，思路一：找，故取的中点，连接，只要证即可.这就将证明线段倍分问题______为证明线段相等问题，只要证出______，则结论成立.思路二：变为，因为需要找到，于是延长至点，使，只要证______即可.连接，若证出____________则结论成立.”你认为在现阶段可以用思路______来完成这个证明.

8．已知，，，．直线过点，交、于点、．

（1）若是中线，求证：；

（2）若，求证：．

9．阅读下列材料，完成相应任务．

数学活动课上，老师提出了如下问题：

如图1，已知中，是边上的中线．

求证：．

智慧小组的证法如下：

证明：如图2，延长至，使，

∵是边上的中线∴

在和中

∴（依据一）∴

在中，（依据二）

∴．

任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：______________________________________________；

依据2：______________________________________________．

归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．

任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．

10．（1）如图1，AD为的中线，延长至E，使，连接．试证明：．

（2）用上述方法解答问题：如图2，在中，D是的中点，E为边上一点，连接，过点D作，交边于点F，连接．试猜想线段与的大小关系，并证明．

11．【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．

【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；

【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．

12．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：

证明∵（已知）

∴，（两直线平行，内错角相等）．

在与中，

∵，（已证），

（已知），

∴，

∴（全等三角形的对应边相等）．

（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．

（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．

13．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；

(2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；

(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

14．数学活动课中，老师给出以下问题：

(1)如图1，在中，是边的中点，若，，则中线长度的取值范围______．

(2)如图2，在中，是边的中点，过点的射线交边于，再作交边于点，连结，请探索三条线段、、之间的大小关系，并说明理由．

(3)已知：如图3，，且，是线段的中点．求证：．

15．已知：在中，，点在上，连接，．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积．

16．阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，

截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．

（1）如图1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；

（2）问题解决：

如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF=∠BAD，求证：BE+DF=EF．

（3）问题拓展：

如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF=DB．求证：AC-AE=AF．

17．（1）【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________．

A．SSSB．SASC．AASD．ASA

Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

（2）【学会运用】

如图②，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证：AE=2AD.

参考答案：

1．A

【分析】延长AD到E，使DE=AD，证明，从而求AD的取值范围．

【详解】延长AD到E，使，连接，

∵AD是BC边上的中线，

∴

即，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了延长线的应用、全等三角形的判定定理以及三角形的两边之和大于第三边，合理地作辅助线是解题的关键．

2．D

【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．

【详解】解：延长AD至E，使DE=AD=3，连接CE．

∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，

∴△ABD≌△ECD，

∴CE=AB=4．

在△ACE中，AE=2AD=6，CE=4

AE-CE＜AC＜AE+CE，

即6-4＜AC＜6+4，

∴2＜AC＜10．

∴AC的长可以是9

故选：D．

【点睛】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．

3．详见解析

【分析】如图，取DE的中点O，连结AO并延长至点F，使，连结EF、CF，证明，从而可得AD=EF，同理可得AB=CF，延长AE交CF于点G，在中，根据三角形三边关系可得到，在中，，继而通过推导即可得出答案.

【详解】如图，取DE的中点O，连结AO并延长至点F，使，连结EF、CF，

，，，

，

，

同理可证：，

延长AE交CF于点G，

在中，，即，①

在中，，②

①+②得，，

即，

.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确添加辅助线，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.

4．详见解析

【分析】分别延长、到，，使得，，连接、，

易证≌，≌，可得到，．

易证≌，可得．再证明≌．可得，，即可证得≌.

【详解】解：如图，分别延长、到，，使得，，

连接、，

在△ACD与△EDB中

∴△ACD≌△EDB（SAS）

同理可证,

∴AC=EB，;

在△ABE与中，

∴△ABE（SSS）

∴，

∴,

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，,

∴；

在△ABC与中

∴△ABC（SAS）

【点睛】本题考查全等三角形的证明，在证明全等但条件不够的时候可以考虑做辅助线，并且本题有中点，所以考虑倍长中线的辅助线做法是本题的解题关键.

5．证明见解析

【分析】可延长AM到D，使MD=AM，连CD，则△ABM≌△DCM得AB=CD，进而在△ACD中利用三角形三边关系，证之．

【详解】证明：延长AM到D，使MD=AM，连CD，

∵AM是BC边上的中线，∴BM=CM，

又AM=DM，∠AMB=∠CMD，

∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD，

在△ACD中，则AD>AB-AC，

即2AM>AB-AC，

AM>（AB-AC）．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，应熟练掌握．

6．证明见解析．

【详解】试题分析：首先根据题意延长至点，使，连结，根据三角形中线的性质得到，然后利用SAS判定≌（SAS），再根据全等三角形的性质得到利用外角性质及等式的性质得到，利用SAS得到≌，利用全等三角形的对应边相等得到，由，等量代换即可得证.

试题解析：

证明：延长至点，使，连结，

∵是的中线，

∴≌（SAS），

是的中线，

又，

∴≌（SAS），

即

7．转化；；,,；二

证明过程见详解

【分析】按照张老师的思路即可填出答案，利用全等三角形的判定及性质来证明，从而有，从而结论可证.所以思路二可以证明.

【详解】转化；；,,；二

证明：延长至点，使

∵点为的中点

∴

在和中，

∵，是中线

在和中，

∴

∴

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

8．（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】（1）延长至，使，易证≌，可得，，再根据可得，再利用∠BAC、∠BAE、∠EAD和∠DAC四个角和为360°，可得，利用△AEF的内角和可得，可得，即可证明≌，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN的内角和为180°可得出结论.

（2）过点作交的延长线于，则，根据，可得；，可得，等量代换得出．根据周角等于360°，可得；根据三角形内角和可得，可得，则可证明≌（AAS），得到；易证≌，即可得到．

【详解】解：（1）如图，延长至，使，

∵是中线，∴．

在和中，，

∴≌（SAS）．∴，．

∵，∴．

∵，，∴．

∵，

∴．

在和中，，

∴≌（SAS）．∴．

∵，∴．∴．

在中，，∴．

（2）如图，过点作交的延长线于，则，

∵，∴．

∵，∴．∴．

∵，，∴．

∵，

∴．

在和中，，

∴≌（AAS）．∴．

∵，∴．

在和中，，

∴≌（AAS）．∴．

【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；

第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.

9．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，见解析

【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；

依据2：根据三角形三边关系判断；

任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；

任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．

【详解】解：任务一：

依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；

依据2：三角形两边的和大于第三边．

任务二：

任务三：EF=2AD．理由如下：

如图延长AD至G，使DG=AD，

∵AD是BC边上的中线

∴BD=CD

在△ABD和△CGD中

∴△ABD≌△CGD

∴AB=CG，∠ABD=∠GCD

又∵AB=AE

∴AE=CG

在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，

∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°

又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°

∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°

∴∠EAF=∠GCD

在△EAF和△GCA中

∴△EAF≌△GCA

∴EF=AG

∴EF=2AD．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．

10．（1）见解析；（2），见解析

【分析】（1）利用已知条件，根据边角边证明两三角形全等即可；

（2）先模仿一（1）作辅助线得到一个全等于△BFD的三角形，再把所求线段全部转移到所做新的三角形当中，由三角形的边长规律得知AE+BF>EF

【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在⊿ACD和⊿EBD中，

，

∴⊿ACD≌⊿EBD（SAS）．

（2）延长FD到H，使得，连接AH，EH，

∵D是AB的中点，

∴，

在△BDF和△ADH中，

，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∵，

∴

【点睛】本题考查三角形全的判定与性质利用，三角形三边长度关系的利用，掌握这些知识点并能准确添加辅助线是本题解题关键．

11．（1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解

【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；

（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；

（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．

【详解】（1）解：在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴DE＝AB=100米；

故答案为：100米

（2）延长到点E使，再连接

如图所示

∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，

∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴AC＝BE＝3，

∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE

∴2＜2AD＜8，

∴1＜AD＜4，

故答案为：1＜AD＜4；

（3）证明：在BC上截取BG＝AF，

∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°

∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°

∴∠CBA＝∠DAF，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF，（SAS）

∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，

∴∠EFA＝∠CGA，

∵在△ACG和△EAF中，

，

∴△ACG≌△EAF（AAS）

∴EE＝AG＝FD．

∴

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

12．（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由见解析；（3）DF=3．

【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；

（2）结论：AD=AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再证明DA=DF即可解决问题；

（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB=DF+CF，可得结论．

【详解】解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴AC=BE=4，

在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，

∴6-4＜2AD＜6+4，

∴1＜AD＜5，

故答案为：1＜AD＜5；

（2）结论：AD=AB+DC．

理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，

∴∠BAF=∠F，

在△ABE和△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴CF=AB，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAF=∠FAD，

∴∠FAD=∠F，

∴AD=DF，

∵DC+CF=DF，

∴DC+AB=AD；

（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵AB∥CF，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中，

，

∴△AEB≌△GEC（AAS），

∴AB=GC，

∵∠EDF=∠BAE，

∴∠FDG=∠G，

∴FD=FG，

∴AB=DF+CF，

∵AB=5，CF=2，

∴DF=AB-CF=3．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

13．(1)；(2)见解析；(3)，证明见解析

【分析】（1）延长至，使，连接，证明，根据三角形三边关系即可求解；

（2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，证明在中，由三角形的三边关系得，即可得证；

（3）延长至点，使，连接，证明，，根据求的三角形的性质即可得证．

【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图①所示：

∵是边上的中线，

∴，

在和中，

∴，

∴，

在中，由三角形的三边关系得：，

∴，即，

∴；

故答案为：；

（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示

同（1）得，，

，，

，

在中，由三角形的三边关系得，

（3）

证明如下：

延长至点，使，连接，如图所示

，

在和中，

，

，

，

，

在和中，

，

．

，

【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．

14．(1)

(2)，证明见解析

(3)见解析

【分析】（1）延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可；

（2）延长到点使，连结，就有，连结，可证，则，即可得出结论；

（3）延长到使，连接，证明，，根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质即可得证．

【详解】（1）解：延长到，使，连接，

∵是的中线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴根据三角形的三边关系定理：，

∵，

∴．

∴

∴．

故答案为：．

（2）解：如图，延长到点，使，连结，

∵

∴，

∵是的中点，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴；

（3）解：延长到使，连接

∵是的中点，

∴，

∵在与中

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，∴，

∵，

∴，

∵在与中，

，

∴，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线性质定理的逆定理．本题前两问都是利用中线的性质构造全等三角形，再利用全等三角形的性质，将线段放在同一个三角形中进行讨论．

15．(1)见解析

(2)见解析

(3)．

【分析】（1）设，根据题意用表示出，根据三角形内角和定理求出，结合图形证明；

（2）过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，证明，得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）连接，证明，得到，求出AG，根据三角形的面积公式求出，得到答案．

【详解】（1）证明：如图1，

设，则，，

在中，∵，

∴，

∴，

∴；

（2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，

∵，

∴，

∴，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴；

（3）解：如图3，连接，

在△AFG和△AFH中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

16．（1）；（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到BE=AC，根据三角形三边关系计算；

（2）延长CB到G，使BG=DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明；

（3）作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，分别证明Rt△DEF≌Rt△DHB，△DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明．

【详解】（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，

在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE=AC=8，

AB-BE＜AE＜AB+BE，即21-8＜2AD＜12+8，

∴2＜AD＜10，

故答案为2＜AD＜10；

（2）证明：延长CB到G，使BG=DF，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°，

∴∠ADC=∠ABG，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠FAD