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文档简介

近世代数福建师范近世代数是数论的重要分支，研究自17世纪以来的整数理论及其在其他数学领域中的应用。福建师范大学可以参考以下内容进行教学和研究：

一、代数整数环及其性质：

1.定义：代数整数环指的是整系数多项式环，即由所有整系数多项式组成的集合，其中加法和乘法的定义遵循多项式运算的规则。

2.性质：代数整数环是一个交换环，且具有唯一分解性质，即每个元素可以唯一分解为素元素的乘积。

3.应用：代数整数环的唯一分解性质在数论中具有重要意义，可以用于研究素数、互质关系、模运算等问题。

二、模群和同余关系：

1.定义：模群指的是满足特定模范围内的整数运算的整数集合，其中加法和乘法满足模运算的性质。

2.同余关系：同余关系指的是模运算下的等价关系，即两个整数在特定模范围内具有相同的余数。

3.模群的性质：模群是一个加法群，具有封闭性、结合性、交换性、存在零元素、存在相反元素等性质。

4.同余关系的性质：同余关系具有传递性、对称性、反身性等性质，可以用于研究整数的整除性质、整数方程的解等问题。

三、同余方程与模线性方程组：

1.同余方程：同余方程指的是在模运算下成立的方程，可以通过同余关系的性质求解。

2.模线性方程组：模线性方程组指的是在模运算下成立的线性方程组，其中系数限定在特定的模范围内。

3.求解方法：可以利用代数整数环和同余关系的性质，使用模运算、唯一分解性质、高斯消元法等方法求解同余方程和模线性方程组。

四、费马小定理与欧拉定理：

1.费马小定理：费马小定理是一个重要的数论定理，它指出若素数p不整除整数a，则a^(p-1)与1在模p下同余。

2.欧拉定理：欧拉定理是费马小定理的推广，它指出对于任意整数a和互质正整数n，a^φ(n)与1在模n下同余，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。

五、同余类与剩余系：

1.同余类：同余类指的是在特定模范围内具有相同余数的整数的集合，可以用来刻画同余关系。

2.剩余系：剩余系指的是对一个模数取模所得到的整数的集合，包含了一个模范围内的全部剩余类。

3.同余类的性质：同余类具有封闭性、互不相交性、并集性质等性质，可以用来研究模运算的性质和同余方程的解的结构。

六、模指数与离散对数问题：

1.模指数：模指数指的是在模运算下成立的指数运算，可以通过循环节的性质和费马小定理来求解。

2.离散对数问题：离散对数问题是指在模运算下求解指数运算的逆运算，即给定a、n和b，求解满足a^x≡b(modn)的整数x。

以上内容是福建师范大学可以参考的近世代数的相关内容，它们涵盖了代数整数环、模群和同余关系、同余方程与模线性方程组、费马小定理

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