精讲精练：因式分解方法分类总结

因式分解•提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1） 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。（2） 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“一”号后，多项式的各项都要变号。解：（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：=a（a一b）3+2a2（a一b）2+2ab（a一b）二a（a一b）[（a一b）2+2a（a一b）+2b]=a（a一b）（3a2一4ab+b2+2b）在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组 ，求代数式 的值。分析：不要求解方程组，我们可以把 和 看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有 ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有 和 的式子，即可求出结果。解：把和 分别为3和带入上式，求得代数式的值是。在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n,定是例：证明：对于任意自然数n,分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。对任意自然数n， 和都是10的倍数 一定是10的倍数5、中考点拨：例1。因式分解解：—3x(x—2)+(x—2)二(x-2)(3x+1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例2.分解因式：解：说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例1.计算：精析与解答：设 ，贝y说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有 的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例2.已知:例2.已知:(b、c为整数)是的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、C,但比较麻烦。注意到是 及转化为求这个多项式的二次因式。解： 是是 及转化为求这个多项式的二次因式。解： 是也是多项式而b、c为整数得：的因式。因而也是的因式，所求问题即可及 的公因式的二次因式说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式 ，从而简便求得例3.设x为整数，试判断 是质数还是合数，请说明理由。解：都是大于1的自然数是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。【实战模拟】分解因式：（1）（2）（n为正整数）(3)2.计算： 的结果是（）A. B.C. D.3.已知x、y都是正整数，且，求x、y。4.证明:能被45整除。且当时，求原式的值。5.化简：且当时，求原式的值。试题答案1.分析与解答:(1)(2)原式注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。B3.是正整数分解成又 与奇偶性相同，且说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。证明：能被45整除5.解：逐次分解：原式当时，原式因式分解•公式法【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式补充：欧拉公式：特别地：（1）当 时，有（2）当 时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把分解因式的结果是（）A.B.C.D.分析： 。再利用平方差公式进行分解，最后得到 ，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式 有一个因式是 ，求的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。解：根据已知条件，设则由此可得由（1）得把代入（2），得把 代入（3），得在几何题中的应用。例：已知 是 的三条边，且满足 ，试判断 的形状。分析：因为题中有 ，考虑到要用完全平方公式，首先要把 转成 。所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0从而得解。解：为等边三角形。在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为 （为整数）由此可见， 一定是8的倍数。5、中考点拨：TOC\o"1-5"\h\z例1：因式分解： 。解：说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式： 。解：说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例1.已知： ，求 的值。解：原式说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2.已知例2.已知求证:证明:代入上式,可得 ，即或或若 ，贝y ，若或 ，同理也有说明：利用补充公式确定 的值，命题得证。，求 的值。例3.若，求 的值。解：且x+y=3，x2+2xy+y2=9(1)又两式相减得所以说明：按常规需求出 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】1.(1)解：原式说明：把 看成整体，利用平方差公式分解。(2)(2)解：原式(3)(3)解：原式已知： ，求 的值。解：若 是三角形的三条边，求证：分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。证明：是三角形三边即已知： ，求的值。解，即已知 是不全相等的实数，且 ，试求（1） 的值；（2） 的值。分析与解答：（1）由因式分解可知故需考虑 值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。解：（1）又而不全相等（2）原式而 ，即原式说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。因式分解•分组分解法【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。吏用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式 分解因式，所得的结果为（ ）分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式故选择C例2.分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把 ， 分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1：解法2：2.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c,且满足证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：在方程中的应用例：求方程 的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有X与y,故可考虑借助因式分解求解解：4、中考点拨例1•分解因式:解：说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底,应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式： 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例3.分解因式： 解：说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：例1.分解因式：解：说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn,配成完全平方和平方差公式。例2.已知： ，求ab+cd的值。解：ab+cd=说明：首先要充分利用已知条件 中的1（任何数乘以1,其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。例3.分解因式：分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑 这个因式。解一（拆项）：解二（添项）：说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解?【实战模拟】填空题：（1）解：解：解：2.已知：解：=(a2一ab+b2)(a+b+c)说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。3.分解因式：a5+a+1解：4.已知:，试求A的表达式解:5.证明:证明：因式分解•十字相乘法【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项 （a、b、c都是整数，且 ）来说，如果存在四个整数 满足，并且 ，那么二次三项式 即 可以分解为 。这里要确定四个常数 ，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】1.在方程、不等式中的应用例1.已知： ，求x的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：例2.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求例2.如果分解因式。分析：应当把分成，而对于常数项-2分解因式。分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成 ，由此分为两种情况进行讨论。解：（1）设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得:将它与原式的各项系数进行对比，得:解得：此时，原式（2）设原式分解为 ，其中c、d为整数，去括号，得:将它与原式的各项系数进行对比，得：解得：此时，原式在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y,周长为16cm，且满足，求长方形的面积。分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：解得： 或・••长方形的面积为15cm2或3、在代数证明题中的应用例.证明：若 是7的倍数，其中x，y都是整数，则 是49的倍数。分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。证明一：T 是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）・•・ 是7的倍数而2与7互质，因此， 是7的倍数，所以 是49的倍数。证明二：•・• 是7的倍数，设 （m是整数）则•x,m是整数，・•・ 也是整数所以， 是49的倍数。4、中考点拨例1.把4x4y2-5x2y2-9y2分解因式的结果是 解：4x4y2-5x2y2-9y2说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。例2.：因式分解： 解：说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型展示例1.若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ）A.1 B.-1解：C. D.2-6可分解成或 ，因此，存在两种情况：由（1）可得： ，由（1）可得：故选择Co说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足求证：证明:说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例3.若有一因式 。求a,并将原式因式分解。解：有一因式・••当 ，即时，说明：由条件知，现 ，从而分解彻底。【实战模拟】1.分解因式：时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是 ，分解时尽量出(1)(