多重积分的总结2

高数多重积分的总结摘要：在多重积分中，我们主要学习了曲面积分，曲线积分和二重积分等，它们在生活中应用比较广泛。那么它们的定义和一些计算方法尤为重要，下面我将介绍二重积分和三重积分的定义，计算方法和主要应用公式。二重积分概念：设D为平面上可求面积的有界闭区域，为定义在D上的函数，用任意的曲线把D分成n个可求面积的小区域以表示小区域的面积。在每个任取一点（），作乘f(),(i=1,2,…,n),并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分，记为.

二重积分的计算方法1直角坐标系中累次积分法对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。平面点集D=为型区域；平面点集D=为y型区域。型区域:若在型区域D上连续，其中=如：例1设D是由直线=0，=1及=围成的区域（图1），试计算：I=的值。解画出区域图3只能用先对后先对积分，则I==由分部积分法，即可算得：图3I=例2试将化为两种不同次序的累次积分，其中是=由，所围成的区域.图1解首先画出积分区域D如图1，并求出边界曲线的交点（1,1），（0,0）及（2,0）。则==如果先积=图22极坐标中的累次积分法当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为时，采用极坐标变换T= 于是二重积分极坐标形式为 例1把化成极坐标系中的累次积分，其中D是由圆解在极坐标系中画出区域D如图4，并把D的边界曲线x2+y2=2Ry化为极坐标方程，图4即为作射线q=0与q=p夹紧域D.在[0,p]中任作射线与域边界交两点r1=0，r2=2Rsinq，得例2在极坐标系中，计算二重积分D是由所围成的环形区域在第一象限的部分。解在极坐标系中画出区域D，如图10-21，并把D的边界曲线化为极坐标方程，即为作两条射线q=0与q=夹紧积分域D.在0与之间任作一射线与域D的边界交两点所以有如果积分域D是整个环形，显然有三重积分二重积分是三重积分的基础概念设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数。若对任给的正数总存在某一正数使得对于V的任何分割T，只要则称在V上可积，数J称为函数在V上的三重积分，记作其中称为被积函数，三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分，再做二重积分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在面投影域D。多D上一点（）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。如果先做二重积分再做定积分，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面之间，即，过z作平行于面的平面截，截面。区域的边界曲面都是z的函数。计算区域上的二重积分，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。当被积函数f（z）仅为z的函数（与无关），且的面积容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到面，得投影区域D(平面)D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）D是圆域（或其部分），且被积函数形如时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对积分时，无关，可直接计算。因而中只要,且仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分，其中为平面与三个坐标面围成的闭区域。解1“投影法”1.画出图5及在面投影域D.2.“穿线”X型D：∴：图5解2“截面法”1.画出。2.过点z作垂直于z轴的平面截得。是两直角边为的直角三角形，补例2：计算，其中是和z=1围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在面投影域D.由消去z，得即D：2.“穿线”，X型D：∴3.计算注：可用柱坐标计算。解2“截面法”1.画出。2.过点z作垂直于z轴的平面截得：：用柱坐标计算3.计算补例3：化三重积分为三次积分，其中：所围成的闭区域。解：1.画出及在xoy面上的投影域D.由消去z，得即D：2.“穿线”X型D：：3．计算注：当为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4：计算，其中为所围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算由化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r2.解∴D：即“穿线”∴3．计算。解2“截面法”1.画出。如图：由围成。2.由z=r与z=2围成；，：：由z=2与z=围成；，：：3.计算=注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。补例5：计算，其中由不等式，所确定。解：用球坐标计算。由得的边界曲面的球坐标方程：P，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为，连结，其与x轴正向的夹角为。∴：，，==在曲面积分中用到了二重积分计算的方法，而在区间闭曲面的曲面积分和三重积分之间存在着一定的关系，这就是高斯公式高斯公式设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P，Q,R在V上连续偏导数，则=（1）其中S取外侧.（1）式称为高斯公式例1计算其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧解应用高斯公式，所求曲面积分等于==还有大量的习题也是可以运用高斯公式计算的，它给我们的计算带来了方便，它是联系空间