河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试题（Word版含答案）

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数学

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式（其中为锥体的底面积，为锥体的高）.

校台的体积公式（其中，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合，，则（）

A.B.C.D.

2.已知命题：，，则为（）

A.，B.，

C.，D.，

3.已知是虚数单位，若复数满足：，则（）

A.0B.2C.D.

4.设函数在处的切线与直线平行，则（）

A.-2B.2C.-1D.1

5.设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（）

A.11B.12C.14D.16

6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正六棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）

A.B.C.D.

7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以，表示从甲口袋取出的球是红球、白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则（）

A.B.C.D.

8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（）

A.B.C.为奇函数D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（）

A.B.

C.，的夹角为钝角D.若实数使得成立，则为负数

10.记为数列的前项和，若数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（）

A.数列为递减数列B.

C.D.数列是等差数列

11.已知函数的图象过点，最小正周期为，则（）

A.在上单调递减B.的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数

C.函数在上有且仅有4个零点

D.函数在区间上有最小值无最大值

12.已知棱长为2的正方体，，，分别是，，的中点，连接，，，记，，所在的平面为，则（）

A.截正方体所得的截面为五边形B.

C.点到平面的距离为D.截正方体所得的截面面积为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.的展开式的常数项是_____________.

14.写出函数的一个对称中心：_____________.

15.在平面直角坐标系中，已知抛物线：.若等腰直角三角形三个顶点均在上且直角顶点与抛物线顶点重合，则的面积为____________.

16.过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，，设两切线的夹角为，当取最小值时，_____________.

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）已知等比数列的前项和为，，且满足，.

（1）求的通项公式；

（2）设，的前项和为，求使成立的的最大值.

18.（本题满分12分）暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；

（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望.

19.（本题满分12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求；

（2）若，求面积的最大值.

20.（本题满分12分）如图，几何体由四棱锥和三棱台组合而成，四边形为梯形，且，，，平面，，平面与平面的夹角为45°。

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱台的体积.

21.（本题满分12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：不等式有实数解.

22.（本题满分12分）已知椭圆：的焦点分别为和，离心率为.不过且与轴垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，直线与椭圆的另一交点为点.

（1）求椭圆的方程；

（2）①若直线交轴于点，求以为直径的圆的方程；

②若过与垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，当取最小值时，求直线的方程.邯郸市2024届高三年级第一次调研监测

数学全解全析

【命题双向细目表】

试题难度预期

题型题号分值考查的主要知识

易中难得分率

选择题15√集合并集0.85

选择题25√全称量词命题的否定0.85

选择题35√复数0.8

选择题45√导数几何意义0.8

选择题55√直线与双曲线0.8

选择题65√组合体体积0.75

选择题75√条件概率0.7

选择题85√函数性质的简单应用0.6

选择题95√平面向量0.65

选择题105√等差数列0.65

选择题115√正弦函数的图象与性质0.65

选择题125√正方体截面问题0.55

填空题135√二项式定理0.8

填空题145√三角恒等变换0.8

填空题155√抛物线0.7

填空题165√圆的切线问题0.6

解答题1710√数列0.8

解答题1812√概率与统计0.75

解答题1912√解三角形0.7

解答题2012√立体几何0.7

解答题2112√导数综合应用0.6

解答题2212√椭圆综合应用0.5

1.【分析】先求解二次不等式得B={x|-2≤x≤0},再根据集合运算法则求解A∪B即可.

【解析】选C.A={x|x0),

得a=2,由直线y=3x为双曲线的一条渐近线,2

得b=3,解得b=3,得|AB|=2b2a2=6.

由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a=4①,

|BF2|-|BF1|=2a=4②,

①+②可得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=8,

因为过双曲线的左焦点F1的直线l交双曲线的左支于A,B两点,

所以|AF1|+|BF1|=|AB|=6,得|AF2|+|BF2|=|AB|+8=6+8=14.

【点睛】本题考查双曲线定义的应用,解题时要合理运用双曲线的简单性质.

6.【源于教材】本题源于必修第二册P115例2,考查学生直观想象和数学运算能力.

【解析】选B.由题意,钻头的前段正六棱锥的体积V=1131(3×3×2×2×2×2×6=63cm

3),

因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切,

所以圆柱的底面圆的半径r=2sin60°=3(cm),

2

所以圆柱的体积V2=1×π×(3)=3π(cm3),

所以此钻头的体积为V1+V2=(63+3π)cm3.

7.【分析】利用条件概率公式求解即可.

【解析】选A.由P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A3524232)=5×8+5×8=

,得

40

24

P(A|B)=P

(A2B)P(A2)(=PB|A2

)5×8

2P(B)P(B)=23=

8

23.

40

-2-

{#{ABBYaUggAgAAIAARhCEQVQCgMQkAACCIgGxFAAMAIBSBNABAA=}#}

8.【源于教材】本题源于必修第一册P87T13,考查逻辑推理和数学运算能力.

【分析】由题设可得f(x)关于(-1,0)、x=1对称且周期为8,利用对称性和周期性求f(3),f(-2),并判

断f(x+6)的奇偶性.

【解析】选D.由题设得f(-x-1)=-f(x-1),则f(x)关于(-1,0)对称,

即f(x)=-f(-x-2),

由题设得f(x+1)=f(-x+1),则f(x)关于x=1对称,即f(x)=f(2-x),

所以f(2-x)=-f(-x-2),则f(2+x)=-f(x-2),故f(x)=-f(x-4),

所以f(x-4)=-f(x-8),即f(x)=f(x-8),故f(x)=f(x+8),所以f(x)的周期为8.

由于f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=0,故A不正确;

由f(x)=-f(-x-2),得f(-2)=-f(0)=1,故B不正确;

由周期性知:f(x)对称中心横坐标为x=8k-1(k∈Z),

令x+6=8k-1,得x=8k-7,故f(x+6)关于点(8k-7,0)(k∈Z)对称,不是奇函数,C不正确;由f(x)

=f(x+8),得f(2x)=f(2x+8),故D正确.

9.【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.

【解析】选AD.当a,b不共线时,|a-b|1时,Sn-1=(n-1)(2n-3)②,①②两式相减得an=4n-

3(n>1),又对n=1也成立,因此数列{an}是首项为1,公差为4的等差数列,C正确,A错误;由an+Sn

=4n-3+2n2-n=2n2+3n-3,得an-1+Sn-1=2(n-1)2+3(n-1)-3,当n≥2时,两式相减得an-

an-1+Sn-Sn-1=4n+1,因此数列{an+Sn}不是等差数列,D错误.

11.【分析】根据给定条件,求出ω与φ,再逐项分析求解,判断作答.

【解析】选BCD.依题意,f(0)=2sinφ=1,即sinφ=

1,而π,

2|φ|0,则q>0.

a1+a2=6,S4=30,则a1+a2=6,a3+a4=24,

得a+aq2=3424,所以,……………………分a1+a=26=4q=22

所以a1+a1q=6,所以a1=2,所以a=2nn.……………4分

(2)由(1)得bnn=(n-1)·an=(n-1)·2,

得Tn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n,

得2T3n=1×2+2×24+…+(n-1)·2n+1,…………6分

(n)

两式相减得-T=22+23+24+…+2nn-(n-1)·2n+1=-2+21-2-(n-1)·2n+11-2

=-(n-2)·2n+1-4.……………………8分

所以Tn=(n-2)·2n+1+4.

由Tn≤196,得(n-2)·2n+1+4≤196(n-2)·2n+1≤192,

当n=5时,左边=3×26=192,当n>5时,(n-2)2n+1>192,

所以n的最大值为5.…………………10分

18.【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1,结合中位数的定义进行求解即可;

(2)根据分层随机抽样的性质,结合超几何分布公式、数学期望公式进行求解即可.

【解析】(1)设中位数为a,则0.004×10+0.008×10+0.012×10+(a-70)×0.028=0.5,

解得a≈79.3;……………3分

-5-

{#{ABBYaUggAgAAIAARhCEQVQCgMQkAACCIgGxFAAMAIBSBNABAA=}#}

(2)可得[40,50),[50,60),[60,70)的三组频率之比为0.04∶0.08∶0.12=1∶2∶3,

所以从[40,50),[50,60),[60,70)中分别抽取2人,4人,6人,………5分

ξ所有可能取值为0,1,2,3,

C3C21

P(ξ=0)=

8C

3=

14,P(8428ξ=1)=3=,……………分C1255C1255

7

1

(CC

2C3

Pξ=2)=

8412

3=,(55Pξ=3

)=43=

1,……………分

C12C1255

9

故ξ的分布列为:

ξ0123

P142812155555555

……………………………10分

故E()=0×14+1×28+2×12+3×1ξ=1.………分5555555512

19.【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,化简整理可求得sinA-cosA=1,平方2

进而求得sin2A;(2)利用余弦定理表示出b2+c2,根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.

【解析】(1)因为c=2asinC-2ccosA,由正弦定理a=bc,sinAsinB=sinC

得sinC=2sinAsinC-2sinCcosA,所以sinA-cosA=1,………分23

所以(sinA-cosA)2=1,得1-2sinAcosA=12sinAcosA=3,即sin2A=3;……………6分4444

(2)由(1)知sinA-cosA=1,22sinAcosA=

3,可得,

4sinA>0cosA>0

,与sin2A+cos2A=1联立,解

得sinA=1+7,cosA=7-1,………………………分448

得S111+7△ABC=bcsinA=×bc,……………………9分224

222

由余弦定理得,cosA=b+c-a=7-1,所以2bc4b

2+c2=4+7-1bc,2

得b2+c2=4+7-1,当且仅当时等号成立,即84(),……………分2bc≥2bcb=cbc≤=95+7105-7

得S△ABC≤1×1+7×4(5+7)=2+7,得最大值为2+7.……2493312

分

20.【解析】(1)因为DG⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以DG⊥BC,………………1分

因为AD∥BC,AD⊥CD,所以BC⊥CD,………………3分

由GD∩CD=D,得BC⊥平面CDGF,…………………4分

由BC平面BCE,得平面BCE⊥平面CDGF;………5分

(2)方法一:因为AD⊥CD,DG⊥平面ABCD,所以以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线

为y轴,DG所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图.

-6-

{#{ABBYaUggAgAAIAARhCEQVQCgMQkAACCIgGxFAAMAIBSBNABAA=}#}

设DG=h,由题可知,D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(1,0,h),

F(0,1,h),G(0,0,h),……………………6分

→

易知平面ABCD的一个法向量为DG=(0,0,h),

设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),

→

·

→→nCB=0x=0

CB=(1,0,0),BE=(0,-2,h),故得,即,………………→8分n·BE=0-2y+zh=0

→

不妨令y=1,则n=0,1,2→,·cos=DGn=2=2→,解得h=2,……………10分h|DG||n|2h1+4h2

所以三棱台EFG-ACD的体积为V=113×2×2×2×2+11172×2×2×2×1×1+2×1×1=3.

……………………………12分

方法二:连接CG(图略),由三棱台EFG-ACD,得AD∥EG,又AD∥BC,

所以EG∥BC,……………6分

由三棱台性质及DA=DC=2,AD=2BC,CD=2FG,得EG=BC=1,

所以四边形BCGE为平行四边形,………………………8分

由(1)知BC⊥平面CDGF,则BC⊥CD,BC⊥CG,可得∠DCG为平面EBC与平面ABCD所成的二面角

的平面角,即∠DCG=45°,可得DG=CD=2,………10分

所以三棱台EFG-ACD的体积为V=13×2×12×2×2+112×2×2×2×1×1+12×1×1=73.

……………………………12分

21.【分析】(1)先求导,再分类讨论a≤0与a>0两种情况,结合导数与函数单调性的关系即可得解;

(2)结合(1)中结论,将问题转化为1+lna≤2lna+1恒成立问题,构造函数g(aa

)=1a+lna-1

(a>

0),利用导数证得g(a)≥0即可.

【解析】(1)因为f(x)=a·2x-xln2,定义域为R,所以f'(x)=(a·2x-1)ln2,

当a≤0时,由于2x>0,则a·2x≤0,故f'(x)=(a·2x-1)ln20时,令f'(x)=(a·2x-1)ln2=0,解得x=-log2a,

当x-log2a时,f'(x)>0,则f(x)在(-log2a,+∞)上单调递增.…………………4分

综上:当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-log2a)上单调递减,

在(-log2a,+∞)上单调递增.…………6分

-7-

{#{ABBYaUggAgAAIAARhCEQVQCgMQkAACCIgGxFAAMAIBSBNABAA=}#}

(2)当a>0时,由(1)得,f(x)min=f(-log2a)=a·2(-log)2a-(-log2a)ln2=1+lna,

不等式f(x)≤2lna+1有实数解,即1+lna≤2lna+1恒成立,即lna+1-1≥0恒成立,…分aaa7

令g(a)=1+lna-1(a>0),则g'(a)=-1+1=a-122,…………8分aaaa

令g'(a)1;

所以g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,……………10分

所以g(a)min=g(1)=1+ln1-1=0,则g(a)≥0恒成立,

所以当a>0时,f(x)min≤2lna+1成立,即不等式f(x)≤2lna+1有实数解.…分aa12

22.【分析】(1)根据椭圆的定义,可求其方程.(2)①联立直线AB与椭圆方程,表示出直线BM的方程,再由

根与系数的关系求出N点坐标,即可求出圆的方程;②根据弦长公式可求AB长度,进而得DG长度,

根据不等式即可求解最值,得直线AB的方程.

【解析】(1)由题意可知,c=1,e=c=1,得a=2,由a2=b2a2+c

2,得b2=3,

22

所以椭圆E的方程为x+y=1;………………………分433

(2)①设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则M(x1,-y1),

y=k(x-1)

由2x2y2,可得(4k+3)x2-8k2x+4k2-12=0,………………4分4+3=1

22

所以x+x=8k,xx=4k-12,直线BM的方程为y+y=y2

+y1

1221221(x-x1),………………分4k+34k+3x2-x51

令y=0可得N点的横坐标为

x=x2-x1

(

+x=kx1-1

)(x

y2

-x1)2x1x2-(x1+x2)

Ny11+x1=2+y1k(x1+x2-2)x1+x2-2

22

2×4k-128k

=4k

2+3-4k2+3

2=4,……………分8k6

4k2+3-2

所以N为一个定点,其坐标为(4,0),得以ON为直径的圆的方程为(x-2)2+y2=4;……………7分

②根据①可进一步求得:|AB|=1+k2|x2-x1|=1+k2×(x+x)221-4x1x2=1+k2×

2222

8k()2-4×4k-1212k+12=2.………………分4k+34k+34k+38

(2)

因为AB⊥DG,所以k1DG=-,则|DG|=12k+12,………………分k3k+49

(2)(2)(2)2

由|AB|2+|DG|2≥2|AB|·|DG|=2×12k+1×12k+1288k+14k2+33k2+4=(4k2+3)(3k2+4)

(2)2

≥288k+1=1152222,………………………分

4k+3+3k+449

11

2

当且仅当4k2+3=3k2+4时取等号,即k=±1时,|AB|2+|DG|2取得最小值1152,49

此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.……………………12分

-8-

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数学参考答案

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

题号12345678

答案CBADCBAD

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

题号9101112

答案ADBCBCDBCD

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.70

14.π,(答案不唯一,符合π()即可)20x=2kπ±2k∈Z

15.1

16.429

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.【分析】(1)求首项、公比,从而求得an.(2)利用错位相减求和法求得Tn,解不等式Tn≤196.

【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,依题意,an>0,则q>0.

a1+a2=6,S4=30,则a1+a2=6,a3+a4=24,

得2=a3+aq4=24=4,所以q=2,……………………分a21+a26

所以a1+a1q=6,所以an1=2,所以an=2.……………4分

(2)由(1)得bn=(n-1)·an=(n-1)·2n,

得T23n=1×2+2×2+…+(n-1)·2n,

得2Tn=1×23+2×24+…+(n-1)·2n+1,…………6分

(n)

两式相减得-T=22+23+24+…+2n-(n-1)·2n+1=-2+21-2-(n-1)·2n+1n1-2

=-(n-2)·2n+1-4.……………………8分

所以T=(n-2)·2n+1n+4.

由Tn≤196,得(n-2)·2n+1+4≤196(n-2)·2n+1≤192,

当n=5时,左边=3×26=192,当n>5时,(n-2)2n+1>192,

所以n的最大值为5.…………………10分

18.【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1,结合中位数的定义进行求解即可;

(2)根据分层随机抽样的性质,结合超几何分布公式、数学期望公式进行求解即可.

【解析】(1)设中位数为a,则0.004×10+0.008×10+0.012×10+(a-70)×0.028=0.5,

解得a≈79.3;……………3分

(2)可得[40,50),[50,60),[60,70)的三组频率之比为0.04∶0.08∶0.12=1∶2∶3,

所以从[40,50),[50,60),[60,70)中分别抽取2人,4人,6人,………5分

-1-

{#{ABBYaUggAgAAIAARhCEQVQCgMQkAACCIgGxFAAMAIBSBNABAA=}#}

ξ所有可能取值为0,1,2,3,

C321

P(=0)=8ξ3=

14,P(

CC

ξ=1)=

84

3=

28,……………7分

C1255C1255

C1C23

P(8412ξ=2)=3=,P(ξ=3)

C

=4=13,……………9分C1255C1255

故ξ的分布列为:

ξ0123

P142812155555555

……………………………10分

故E(14ξ)=0×55+1×

28+2×121………分5555+3×55=1.12

19.【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,化简整理可求得sinA-cosA=1,平方2

进而求得sin2A;(2)利用余弦定理表示出b2+c2,根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.

【解析】(1)因为c=2asinC-2ccosA,由正弦定理absinA=sinB=

c,

sinC

得sinC=2sinAsinC-2sinCcosA,所以sinA-cosA=1,………3分2

所以(sinA-cosA)2=1,得13,即3;……………分41-2sinAcosA=42sinAcosA=4sin2A=46

(2)由(1)知sinA-cosA=1,3,可得,22sinAcosA=4sinA>0cosA>0

,与sin2A+cos2A=1联立,解

得sinA=1+7,4cosA=

7-1,………………………

48

分

得S1△ABC=2bcsinA=

1×1+7bc,……………………分249

222

由余弦定理得,cosA=b+c-a7-1,所以222bc=4b+c=4+

7-1

2bc

,

得b2+c2=4+7-1bc≥2bc,当且仅当b=c时等号成立,即bc≤8=4(5+7),……………2910

分

5-7

得S11+74△ABC≤2××

(

495+7

)=2+7,得最大值为2+7.……3312

分

20.【解析】(1)因为DG⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以DG⊥BC,………………1分

因为AD∥BC,AD⊥CD,所以BC⊥CD,………………3分

由GD∩CD=D,得BC⊥平面CDGF,…………………4分

由BC平面BCE,得平面BCE⊥平面CDGF;………5分

(2)方法一:因为AD⊥CD,DG⊥平面ABCD,所以以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线

为y轴,DG所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图.

设DG=h,由题可知,D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(1,0,h),

F(0,1,h),G(0,0,h),……………………6分

→

易知平面ABCD的一个法向量为DG=(0,0,h),

设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),

-2-

{#{ABBYaUggAgAAIAARhCEQVQCgMQkAACCIgGxFAAMAIBSBNABAA=}#}

→

→→n·CB=0

CB=(1,0,0),

x=0

BE=(0,-2,h),故得→,即,………………8分n·BE=0-2y+zh=0

→

,→,·不妨令y=1则n=01,2,hcos=DGn2→==2,解得2h=2,……………10分|DG||n|h1+4h2

所以三棱台EFG-ACD的体积为V=13×2×112×2×2+2×2×2×12×1×1+12×1×1=73.

……………………………12分

方法二:连接CG(图略),由三棱台EFG-ACD,得AD∥EG,又AD∥BC,

所以EG∥BC,……………6分

由三棱台性质及DA=DC=2,AD=2BC,CD=2FG,得EG=BC=1,

所以四边形BCGE为平行四边形,………………………8分

由(1)知BC⊥平面CDGF,则BC⊥CD,BC⊥CG,可得∠DCG为平面EBC与平面ABCD所成的二面角

的平面角,即∠DCG=45°,可得DG=CD=2,………10分

所以三棱台EFG-ACD的体积为V=1×2×1×2×2+1×2×2×1×1×1+132222×1×1=73.

……………………………12分

21.【分析】(1)先求导,再分类讨论a≤0与a>0两种情况,结合导数与函数单调性的关系即可得解;

(2)结合(1)中结论,将问题转化为1+lna≤2lna+1恒成立问题,构造函数ag

(a)=1a+lna-1

(a>

0),利用导数证得g(a)≥0即可.

【解析】(1)因为f(x)=a·2x-xln2,定义域为R,所以f'(x)=(a·2x-1)ln2,

当a≤0时,由于2x>0,则a·2x≤0,故f'(x)=(a·2x-1)ln20时,令f'(x)=(a·2x-1)ln2=0,解得x=-log2a,

当x-log2a时,f'(x)>0,则f(x)在(-log2a,+∞)上单调递增.…………………4分

综上:当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-log2a)上单调递减,

在(-log2a,+∞)上单调递增.…………6分

(2)当a>0时,由(1)得,f(x)min=f(-loga)=a·2(-log)2a2-(-log2a)ln2=1+lna,

不等式f(x)≤2lna+1有实数解,即a1+lna≤2lna+

1恒成立,即

alna+

1

a-1≥0

恒成立,…7分

令g(a)=1+lna-1(a>0),则g'(a)=-1