求递推数列通项的特征根法与不动点法_第1页
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求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如a2=pa1+qa（p,q是常数）的数列形如a=m,a=m,a =pa+qa（p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项1 12 2n+2 n+1a，其特征方程为x2=px+q…①若①有二异根以,P，则可令a=can+cPn（c,c是待定常数）n1 2 12若①有二重根a=P，则可令a=（c+nc）an（c,c是待定常数）n1 2 1 2再利用a=m,a=m,可求得c,c，进而求得a.1 12 2 1 2 n例1.已知数列｛a｝满足a=2,a=3,a=3a-2a（n&N*），求数列｛a｝的通项a.n 1 2 n+2 n+1 n n n解：其特征方程为x2=3x-2，解得x=1,x=2，令a=c・1n+c-2n，1 2 n1 2,[a=c+2c=2 c11由"=；+4c2=3，得"=1，二气=1+2n-1.V2 1 2 [2 2例2.已知数列｛a｝满足a=1,a=2,4a=4a -a(neN*)，求数列｛a｝的通项a.n 1 2 n+2 n+1 n n n解：其特征方程为4x2=4x-1，…… 1^ / \(1\n解得x=x=—，令a=(c+nc)-1 2 2n1 2^2)1a=(c+c)x=11 2 2，a=(c+2c)x=21 2 43n-2二a= n 2n-1二、形如a=竺HB的数列

n+2Ca+D对于数列a=An^B，n+2Ca+Da1=m,neN*(A,B,C,D是常数且C。0,AD-BC。0)其特征方程为x=A^Cx+D变形为Cx2+(D-A)x-B=0…②若②有二异根a,P，则可令％1三=c-匚a（其中c是待定常数），代入a,a的值可求a-p a-p 12得c值.

公比为c的等比数列，于是这样可求得气.这样数列］^^\是首项为公比为c的等比数列，于是这样可求得气.［a-pJ a-pn 11若②有二重根1若②有二重根a=p，则可令 a —an+11 ... . ..——+c（其中C是侍定常数），代入a「a2的值可n求得c值.这样数列］这样数列］是首项为，［a—aJ a—ann此方法又称不动点法.公差为C的等差数列，于是这样可求得气.例3.已知数列｛a｝满足a=2,a=TOC\o"1-5"\h\z年二(n>2)，求数列｛a｝的通项a.

例3.已知数列｛a｝满足a=2,a=n-1解：其特征方程为x=*+2，化简得2x2—2=0，解得x=1,x=—1，令 ~-=c.土—-2x+1 1 2 a+1 a+14 1由a=2,得a=5，可得c=—3，数列［匕二］是以氏21=1为首项，以-1为公比的等比数列，［a+1J a+13 33n3n—(—1)n.an 3n+(—1)n2a 1例4.已知数列｛a｝满足a=2,a =—n——(ngN*)，求数列｛a｝的通项a.n 1 n+14a+6 n n解：其特征方程为x=•'，即4x2+4x+1=0，解得x=x=——4x+6 12 2由a=2,得a=—，求得c=1，1 2 14c 、数歹列V—数歹列V—j->是以

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