人教B版（2023）选修第三册6.2利用导数研究函数的性质（含答案）

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（共19题）

一、选择题（共11题）

如图所示，函数的导函数的图象是一条直线，则

A．函数既没有最大值，也没有最小值

B．函数有最大值，没有最小值

C．函数没有最大值，有最小值

D．函数既有最大值，也有最小值

已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是

A．B．

C．D．

已知函数的定义域为，部分对应值如表：的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题：

（）函数是周期函数；

（）函数在上是减函数；

（）如果当时，的最大值是，那么的最大值为；

（）当时，函数有个零点．

其中真命题的个数有

A．个B．个C．个D．个

若，则

A．B．

C．D．

设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，．若，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

函数在区间上的最大值是

A．B．C．D．

函数在上的最小值是

A．B．C．D．

已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为

A．B．C．D．

已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是

A．B．C．D．

已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是

A．B．

C．D．

二、填空题（共4题）

函数的单调递减区间为．

函数的极大值是，极小值是．

已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间是．

若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为．

三、解答题（共4题）

已知函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求，的值

(2)讨论的单调性，并求出的极大值．

已知函数，．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求函数的极值．

已知函数，其中，设为导函数．

(1)设，若恒成立，求的范围；

(2)设函数的零点为，函数的极小值点为，当时时，求证：．

已知函数．

(1)当时，求证：；

(2)讨论函数在上的零点个数，并求出相对应的取值范围．

答案

一、选择题（共11题）

1.【答案】C

【解析】由题中图象可知，函数只有一个极小值点，即在处取得最小值，没有最大值．

2.【答案】C

【解析】构造形式，则，

导函数满足，

则时，在上单调递增．

当时，在上单调递减．

又由关于对称，

根据单调性和图象，可知选C．

3.【答案】A

4.【答案】C

【解析】设，则．

当时，，即在上单调递减，

因为，

所以，即，

所以，故选C．

5.【答案】A

【解析】因为，

所以，

设，则，

所以函数为奇函数．

因为当时，，

所以

故函数在上是减函数，

故函数在上也是减函数．

若，

则，

即，

所以，解得．

6.【答案】C

【解析】由得．

当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数取得最大值，为．

7.【答案】D

【解析】因为，

所以，

令，可得．

当时，；当时，．

所以，函数在处取得极小值，也是最小值，即．

8.【答案】D

【解析】由已知得，

因为在区间上是增函数，

所以在上恒成立，

即，

即在上恒成立，

又，

当且仅当时，等号成立，所以．

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】B

【解析】由题可得存在满足，

令，

因为函数和在定义域内都是单调递增的，

所以函数在定义域内是单调递增的，

又因为趋近于时，函数且在上有解（即函数有零点），

当时，当趋近于时，趋近于，

所以符合题意．

当时，．

综上，故选B．

二、填空题（共4题）

12.【答案】

【解析】，

由，得，

所以函数的单调递减区间为．

13.【答案】；

【解析】，令，解得，．

当变化时，，的变化情况如下表：因此，当时，有极大值；当时，有极小值．

14.【答案】和

【解析】，

令，则其在区间上的解集为，

即的单调递增区间为和．

15.【答案】

【解析】构造形式，

则，

函数满足，则，在上单调递增．

又因为，则，，根据单调性得．

三、解答题（共4题）

16.【答案】

(1)．由已知得，，即，．从而，．

(2)由知，．

令，得或．

从而当时，；

当时，．

故在，上单调递增，在上单调递减．

当时，函数取得极大值，极大值为．

17.【答案】

(1)当时，，

所以，则切线斜率，

又，

所以切点坐标为，

所以切线方程为，即．

(2)由题知，，

所以，

当时，

因为，

所以．

所以在上是单调递增函数，无极值．

当时，，

令，得或（舍去），

所以当时，；当时，，

所以当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，

所以当时，有极大值，

综上，当时，函数无极值；

当时，函数有极大值，无极小值．

18.【答案】

(1)由题设知，，

，．

当时，，在区间上单调递减，

当时时，，在区间上单调递增，

故在处取到最小值，且．

由于恒成立，所以．

(2)设，则

设，则，

故在上单调递增．

因为，所以，，

故存在，使得，

则在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故是的极小值点，因此．

由可知，当时时，．

因此，即单调递增.

由于，即，即，

所以．

又由可知，在单调递增，因此.

19.【答案】

(1)当时，，

令，

则．

令，得．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

所以是的极小值点，也是最小值点，

即，

故当时，成立．

(2)由，得．

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以是函数的极小值点，也是最小值点，

即．

当，即时，在上没有零点．

当，即时，