最小二乘法多项式拟合

最小二乘法多项式拟合对于给定的数据点(x,y),1<i<N，可用下面的n阶多项式进行拟合，即iif(x)=a+ax+ax2h—二乙axk012kk=0为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差151=1f(x)-yIiii都较小。为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即迓(迓(5)2i迓[f(x)—y]2=miniii=1i=1称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式f(x)的方法即为最小二乘法多项式拟合。确定上述多项式的过程也就是确定f(x)中的系数a,0<k<n的过程，根据最小二乘k原则，则偏差平方和应该是这些系数的函数，即S(a,a，…,a)=迓(5)2=迓[f(x)—y]2=minTOC\o"1-5"\h\z01niiii=1i=1为使上式取值最小，则其关于ak，0<k<n的一阶导数应该为零，即有寻正2[f(xi)-y」=0二迓[f(xi)-y」=0亠(xi)=%0i=1i=1i=1i=1asda1=迓2x[fasda1=迓2x[f(x)-y]=0n迓x[f(x)-y]=0niiiiiii=1i=1迓xf(x)=ii迓xyiii=1i=1dSdak=迓2kxk[f(x)-y]=0n迓xk[f(x)-y]=0niiiiiii=1i=1迓xkf(x)=ii迓xkyiii=1i=1S=迓2nxn[f(x)-y]=0n迓xn[f(x)-y]=0n迓xnf(x)=迓xny

daiiiiiiiiiini=1i=1i=1i=1将上面各等式写成方程组的形式可有

ff(x)=fyniii=1i=1aN+afx+afx2++afxn=fy01i2iniii=1i=1i=1i=1fxf(x)=fxyniiiii=1i=1ax+afx2+afx3++afxn+1=fxy0i1i2iniiii=1i=1i=1i=1fxkf(x)=fxkyniiiii=1i=1axk+afxk+1+afxk+2++afxn+k=fxky0i1i2iniiii=1i=1i=1i=1迓xnf(x)=迓xnf(x)=1^xnyniiiii=1i=1axn+a01i=1xn+i+ai:迓xn+2++a2ii=1ii=1xnyiii=1写成矩阵形式有i=1i=1fNi=1x+1xk+1

ii=1i=1fNi=1x+1xk+1

ii=1fxnii=1艺xkii=1fxk+1i

i=1i=1xn+kii=1迓xnii=1迓xn+1i

i=1xn+kii=1迓x2ni=1i丿(a)0a1fNxyiii=1艺xkyiii=1迓xnyi=1ii丿上述方程组可以通过克莱姆法则来计算，从而解出各系数a,0<k<n得到拟合方程。k考虑到一般情况提高拟合多项式的阶数并不能提高拟合精度，所以常用的多项拟合阶数为一阶和二阶，即线性拟合和二次拟合。两者的计算公式如下：fNxifiN=1x2x2

ii=1ffNxifiN=1x2x2

ii=1fNxii=1fNxifNx2ifiN=1x3x3

ii=1fNx2i=1i丿fNx2ifNx3ifNx4i=1i丿fa)0Ia1丿fa)0a1W丿2ff1厶yif1xy

i=1ii丿ny=a+ax01fNy1

ifNxyiifx2yi=1ii丿ny=a+ax+ax2012关于线性拟合，除上面按克莱姆法则来计算外，还可以有另一思路，下面对此进行说明。由于是线性拟合，最后得到的是一条直线，因此，直线可以由斜率和截距两个参数来确定因此，求出这两个参数即可。首先对克莱姆法的求解结果进行展开可以得到==0i二1Ni二1N为x2-[iLxi=1'Ii=1'丿N为x2i

i=1面考虑先计算斜率再计算截距的方法，从下图可见，斜率计算与坐标系的位置无关，图中图中1x=—Qx:_1y=—NIi=1i丿NIi=1i丿则在新的坐标系(x‘,y')下斜率的计算公式与前面a］的计算公式相同，将其中的坐标(x,y)换成(x',y')即可得到下面的计算公式a=1Pya=1Py；屮y；Rgi=1———N为x'2-(为x'i=1iIi=1i丿、i=1丿、2迓y'=迓y'=(y-y)=迓y-Ny=Xy-N(丄迓yiiINi丿i=1i=1i=1艺x-Nx=艺x-N|—艺xii(Ni丿i=1i=1i=1=0x'2i由样本在新坐标系下的坐标x'和y'的均值为零，或者由下面推导可知iiiiTOC\o"1-5"\h\zi=1i=1艺x'=艺(x-x)=iii=1i=1则斜率的计算公式可以简化为y''

a=x'y'1iii=100还原为原坐标有迓(x-x)(y-y)iii=1面推导截距的计算公式x2i=1i=1i=1xy°°丿1Nii=1x2-i°=1°=1°=1i=1i=1i=1i=1xyiii=1i=1i=1+^i=14=1-l^xy°°丿4=1—NKx2-[Kx'°1i=1°丿°=1艺x「n|Key°°丿i=1N迓x2-|Kx°°丿°=1°=11宦)-a—|厶x1