线性代数阶段测试题2004级(三)

线性代数阶段测试题（三）、填空题丁-3—2，P=22—241，则a+B,2a—3B=丁丁-3--丁丁-3--1_13—1—52，a=6，a=—2，a=—10234311513133t,当t=o2.设向量组匕=，向量组线性相关。它的一个极大无关组是3.设A是一个n阶方阵，01+k114.若0二k能由=1，a=21+k，a=31k2111+k则A非奇异的充分必要条件是r（A）唯一的线性表示，则k= 。齐次线性方程组一定有 解，非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩 。已知A是mXn矩阵，齐次线性方程组AX=0的基础解系为£ ，* ，* ，...，* 。女口R（A）=k，则S= ；当k=123s时方程只有零解。x+2x一2x=0TOC\o"1-5"\h\z1 2 3设线性方程组｛2x-x+tx二0的计数矩阵为A，3阶矩阵B丰0且AB=0，则1 2 33x+x一x=0123t= 。设r，r是非齐次线性方程组AX邙的两个解，n是齐次线性方程组AX=0的解，则r-n是 的解，r—r是 的解，r+r是11212的解。设AX=0是有6个方程，5个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A的秩为2,则方程组AX=0有 组解，其基础解系含 个解向量。二、单项选择题：（每小题只有一个正确答案）1.已知向量组a，a，a，a线性无关，则向量组（）1234A.a+a，a+a，a+a，a+a线性无关12233441B.a-a，a-a，a-a，a-a线性无关12233441C.a+a，a+a，a+a，a-a线性无关12233441D.a+a，a+a，a-a，a-a线性无关122334412.A.B.C.D.设P为m阶非奇异矩阵，Q为n阶非奇异矩阵，A为mXn2.A.B.C.D.R(PA)MR(A),R(AQ)=R(A)R(PA)=R(A)，R(AQ)=R(A)其中a其中a1A.010203总线性相关B.0103总线性无关C.01020A.010203总线性相关B.0103总线性无关C.010204总线性相关D.010204总线性无关4.已知A二-2-1-1则r(A)为-2A.-2A.B.C.D.12345.设£1是AX=0的基础解系，则该方程的基础解系还可表示为()5.设£1是AX=0的基础解系，则该方程的基础解系还可表示为()A.£3的一个等价向量组B.£3的一个等秩向量组T-1-T「-10221，0=，0=，0=0203342aaaa1234则()32a4是任意数C.*1，*+*，*+*+*1 2 1 2 3D.*—*，*—*，*—*12 2 3 3 16.设*，* ，£是AX=0的基础解系，也是BX=0的基础解系，A，B是n阶方阵，则123*，*，*也必是（）的基础解系。123A.（A+B）X=0B.ABX=0C.X=0BD.以上均不对x+x=a1 2 1x+x=a线性方程组彳2 3 2有解的充分必要条件是（）x+x=a343x+x=a414a+a+a+a=01234a—a—a—a=01234a—a+a—a=04123a+a—a—a=012348-已知Pi，02是AX=b的两个不同的解，匕，d2是其对应的齐次方程AX=O的基础解系，k，k是任意常数则AX=b的通解是（）12A.kd+ +a）+（卩1-叮112122B.kd+k（d—d）+（01+02）112122C.kd+k（卩+0）+（01_02）112122D.kd+k（0-0）+（01+02）1121229.设原方程组为AX=b，且R（A）=R（Ab）=r则和原方程组同解的方程组是（）

A'X=bQAX=b，Q是初等阵PAX=Pb，P是可逆阵原方程组中的前r个方程组成的方程组三、多项选择题：（每小题至少两个正确答案）下面表述正确的是（）n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0任一向量组都与自身等价n维基本单位向量组* ，* ， 8线性相关12n仅含一个向量的向量组线性相关的充分必要条件是该向量为零向量E.若向量组aia中a，am1a线性无关，且E.若向量组aia中a，am1a线性无关，且ra1大线性无关组a，a线性相关，则ar r+1 1a，2a为该向量的最r2.组a=（—2，4），a=（12）12a3二（4，_8）则向量组（a1a3）的极大无关组是（）TOC\o"1-5"\h\za1a2（a ，a）12D.a3无极大无关组A是mXn矩阵，r（A）=r<min（m,n）则下面关于A的表述错误的是（）没有等于零的r-1阶子式，至少有一个r阶子式不为零有不等于零的r阶子式，所有r+1阶子式全为零有等于零的r阶子式，没有等于零的r+1阶子式至少有一个r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零对A进行列变换后其秩R（A）<r下列表示正确的是（）线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等。齐次线性方程组一定有零解线性方程组中其系数矩阵和增广矩阵的秩都为r时，则该线性方程组的每个基础解系都含有n-r个解向量非齐次线性方程组的任意两个解的差是它的导出组的一个解非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和是这个非齐次线性方程组的一个解设Y是非齐次线性方程组AX=B的解，n是齐次线性方程AX=0的解，k，为任意常

数，则以下哪些是AX=0的解()A.kY+k耳12y +ny -nk Y+n1Y -kn2ax+ +ax+ +ax=b11 1 11 1 1n n 1ax+ +ax+ +ax=b6.有非齐次线性方程组彳211 211 2n n 2下列说法正确的是()ax+ +ax+ +ax=b111 111 1nn 1当R(A)二R(A)<n时，有唯一解当R(A)二R(A)<n时，有无穷解当R(A)=R(A)=n时，有唯一解D.当R(AD.当R(A)二R(A)二n时,有无穷解E.当R(A)丰R(A)时无解且a+且a+a+a124=2a+3a 求3四、计算题：o"1"—2"■—1"4，a=1，a=4，a=12342031的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。——答：2.已知1.求向量组a1a=(1，3，1a=(2，1，—1，a=(1，3，1a=(2，1，—1，3)32答："1"""1""3""2"2，a=—1，a=32332c，试问当c3-设a1为何值时，向量组线性相关？c为何值时向量组线性无关？——答：x-x+2x+x=11 2 3 42x一x+x+2x=34.求非齐次线性方程组I1 2 3 44.求非齐次线性方程组Ix一x+x=21343x一x+3x=5124答：TOC\o"1-5"\h\zx+x+x+2x=01 2 3 45.解方程组｛2x+3x—x+3x=01 2 3 42x+5x一7x+x=01 2 3 4答：6.已知三阶矩阵6.已知三阶矩阵BHO且B的每一个列向量都是以下方程组的解：«x+2x一2x=0123x一x+九x=0123x+x一x=0123①求久的值；②证明|b①求久的值；②证明|b=0答：x+x+2x+3x=11 2 3 4x+3x+6x+x=31 2 3 43x一x一kx+15x=31 2 13 4x一5x一10x+12x=k1 2 3 4 2唯一解，有无穷多解；有无穷多解时，求其一般解——答：五、证明题7.设线性方程组为彳问ki与k2各取何值时，方程组无解，有1•证明下列1•证明下列n个n维列向量必线性无关：e厂Too010，e=， e =-2-n-001——答：试证：线性方程组有解的充分必要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等。即R(A)二R(A)答：

线性代数阶段测试题（三）答案、填空题r4]/_7、4-21、010<5丿<5丿2、t=3,(aaa)1233、n4、.k丰仝且k丰05、零，相等6、s二n-k，k=n7、t=18、AX=卩，AX=O，AX=2P9、无穷多组，3、单项选择题1、C7、C2、C8、B3、9、BC4、D5、C 6、C三、多项选择题1、BD2、ABD3、ACE4、BDE5、BCE6、BCE四、计算题r31]r01-2 -1、10(221、aaaa=4141通过初等变换为01-2-11234丄<2031丿0000所以这个向量组的极大线性无关组为1,a21231a=—a—2a，a—a—a32124212r1「r3'r2「r0、111311112、a=a+ (X—a—+—4212232-224-12<1丿<5丿<3丿<0丿rr132'rr132、3、(aaa)—rr2－13通过初等变换为rr071123,32c,,00c-5,所以当c-5=0即c=5时，向量组线性相关，c丰5时，向量组线性无关。

(1一1211、(10一112'2一1123经线性变换化为．01一30110一11200000<3一1035丿<00000丿4．r1]3〔-1]0耳=,耳=1120<0丿<1丿x—x一x1 3 4所以基础解系为x—3x23秩r=2,x1-x3+x4二秩r=2,的一个特解为r=所以通解为r1]〔一1〕r1「302k耳+所以通解为r1]〔一1〕r1「302k耳+kq+r=k1+k+1112120<0丿<1丿<2丿2丿k2为任意常数。r1112'r1043、5．23一13经线性变换化为01一3一125一71丿,o000丿其中k1,x=一4x一3x彳1 3 4秩=2,x^3x+x2 3 4r一4〕3,耳=r一3〕1.故方程组的通120<0丿<1丿所以基础解系为耳1r12 -2'r12-2、6.①2一1 九经线性变换化为0一5X+4<31-1丿<0-55丿12-2所以0一5九+4—-0, .•.九+4—5.九—1秩r=20-55，因为B的列向量是方程组的解，其中k1，k2为任意常数。②因为r=2，所以方程组的基础解系只有2个向量，3个解必线性相关，而B的列〔一〔一4〕〔一3]3+k1120<0丿<1丿解为：k1向量都是方程组的解。所以B的列向量线性相关。所以丨B丨=0.TOC\o"1-5"\h\z(11 2 3 1\7.方程组的增广矩阵为：7.方程组的增广矩阵为：3-1—k15 311-5-1012k丿2TOC\o"1-5"\h\z(1 1 2 3 1、0 2 4 -2 20-4-6-k 6 010-6 -12 9 k-12

(11231]012-110-4-6-k160l0-6-129k-1丿2(11201(112012002-k1l00031-1 1243k+5丿2当彳所以:时，方程组无解。2-k=01k+5丰62

Ik=2即b1 ,Ik丰12(1当2-k丰01I2-k=0当彳1Ik+5=62时，方程组有唯一解。(11231、i(11231、i(1120-5]012-11ii012-11ii0120300024ii00012ii00012i00036丿il00000丿il00000丿方程组有无穷解。时，此时-8\(-8\0Ik=2即bIk1=12000丿秩r=3,bx=-81x+2x=323x=24一个特解为a=l2丿1<X+2x=3的基础解系为耳2 3Ix=24(0、-21i0丿(0、ii-2(-8]ii1=k+1ii1ii1il0丿il2丿所以'其通解为3+a其中々为任意常数。五、证明题1、证明：利用反证法假设气’分e线性相关'n则存在k1'k2k不全为零'使得：nr1「r0]r0]rk)10101k2即k+k+...+k==012n10J10J<1J<k丿n故k