新高考数真题分类汇编：专题(14)推与证明、新定义(理科)及答案

PAGE专题十四推理与证明、新定义1.【20xx高考湖北，理9】已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个.【考点定位】1.集合的相关知识，2.新定义题型.【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.2.【20xx高考广东，理8】若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（）A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【答案】．【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即或时命题成立，由此可排除、、，故选．【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，校验方程组：其中运算定义为：．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定等于．【答案】．【考点定位】推理证明和新定义．【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．6.【20xx高考山东，理11】观察下列各式：……照此规律，当nN时，.【答案】【考点定位】1、合情推理；2、组合数.【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题.7.【20xx江苏高考，23】（本小题满分10分）已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）【解析】试题分析：（1）根据题意按分类计数：共13个（2）由（1）知，所以当时，的表达式要按除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明试题解析：（1）．，中产生，分以下情形讨论：1）若，则，此时有，结论成立；2）若，则，此时有，结论成立；3）若，则，此时有，结论成立；4）若，则，此时有，结论成立；5）若，则，此时有，结论成立；6）若，则，此时有，结论成立．综上所述，结论对满足的自然数均成立．【考点定位】计数原理、数学归纳法【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；②归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；③由①②得出结论．8.【20xx高考北京，理20】已知数列满足：，，且．记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8【解析】（Ⅰ）由已知可知：（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.【20xx高考上海，理23】对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.（1）验证是以为周期的余弦周期函数；（2）设．证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（2）由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得.若，则由单调递增得到，与矛盾，所以.同理可证.故存在使得.（3）若为在上的解，则，且，，即为方程在上的解.同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在，使得，，，，，.而是函数的单调区间，，，，.与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解.从而在与上的解的个数相同.故，，，，，.对于，，，而，故.类似地，当，，，时，有.结论成立.【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是