2023-2024学年北师大版数学选择性必修第一册同步检测（解析版）第2章2.2 双曲线的简单几何性质（含答案）

第第页2023-2024学年北师大版数学选择性必修第一册同步检测（解析版）第2章2.2双曲线的简单几何性质（含答案）第二章圆锥曲线

2.2双曲线的简单几何性质

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()

A．B．C．D．

2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为()

A．y＝±2xB．y＝±x

C．y＝±xD．y＝±x

3．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°，则E的离心率为()

A．B．2C．D．

4．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()

A．B．C．2D．

5．如图，F1为双曲线C：－＝1的左焦点，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()

A．3B．6C．4D．8

6．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()

A．B．C．D．

7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为()

A．B．C．D．

8．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()

A．2sin40°B．2cos40°

C．D．

二、多选题（共1小题，满分1分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

9．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()

A．x2－＝1B．－y2＝1

C．－x2＝1D．y2－＝1

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

10．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________．

11．已知双曲线C：－y2＝1，P为双曲线上任意一点，设点A的坐标为(3，0)，则的最小值为________．

12．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为________．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________，渐近线方程是________．

四、解答题（本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

14．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为．

(1)求双曲线的方程；

(2)直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与该双曲线交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

第二章圆锥曲线

2.2双曲线的简单几何性质

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()

A．B．C．D．

【答案】D

【答案】依题意－＝，即a＝2b，∴c＝＝b，所以e＝＝．故选D.

2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为()

A．y＝±2xB．y＝±x

C．y＝±xD．y＝±x

【答案】C

【答案】设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∵e＝＝，c＝，∴＝＝，∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选C．

3．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()

A．B．2C．D．

【答案】D

【答案】设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，

则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，所以M(2a，a)．

将点M的坐标代入双曲线方程－＝1，得a＝b，

所以e＝．故选D．

4．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()

A．B．C．2D．

【答案】A

【答案】如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2．由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A．

5．如图，F1为双曲线C：－＝1的左焦点，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()

A．3B．6

C．4D．8

【答案】B

【答案】设F2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P1F1|＝|P2F2|，∴|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6．故选B.

6．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()

A．B．C．D．

【答案】D

【答案】焦点F1(－，0)，F2(，0)，在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，①

|AF1|2＋|AF2|2＝12，②

联立①②可解得|AF2|－|AF1|＝2，即2a＝2，又2c＝2，

故双曲线的离心率e＝＝＝，故选D．

7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为()

A．B．C．D．

【答案】C

【答案】设点A是双曲线的右焦点，由＝(＋)可知，点E是线段FP的中点，又点O是FA的中点，所以OE∥PA，且PA＝2OE＝a，再根据双曲线的定义可知PF－PA＝2a，可得PF＝3a，所以在直角△PFA中，有(3a)2＋a2＝(2c)2，对该式化简可得e＝．故选C.

8．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()

A．2sin40°B．2cos40°

C．D．

【答案】D

【答案】由题意可得－＝tan130°，所以e＝＝＝

＝＝．故选D．

二、多选题（共1小题，满分1分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

9．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()

A．x2－＝1B．－y2＝1

C．－x2＝1D．y2－＝1

【答案】AC

二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

10．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________．

【答案】5

【答案】依题意3＝，∴a＝1，由点P在双曲线右支上得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

所以|PF1|＝2＋|PF2|＝2＋3＝5．

11．已知双曲线C：－y2＝1，P为双曲线上任意一点，设点A的坐标为(3，0)，则的最小值为________．

【答案】

【答案】设点P的坐标为，则2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝＋，根据双曲线的范围知：≥2，∴当x＝时，2的最小值为，即的最小值为．

12．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为________．

【答案】(，＋∞)

【答案】设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F(c，0)，渐近线y＝x，则过F的直线方程为y＝－(x－c)，则

代入得(b4－a4)x2＋2a4cx－a4c2－a2b4＝0，

由直线与双曲线的两支都相交，得即

由b4＞a4得b2＞a2，∴e＝＝＝＞．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________，渐近线方程是________．

【答案】3y＝±2x

【答案】如图所示，设双曲线焦点在x轴上，顶点A、焦点F到渐近线的距离分别是AA′、FF′，则AA′∥FF′．∴△OAA′∽△OFF′，∴＝，即＝，则e＝＝3．由＝3，得＝2，所以其渐近线方程是y＝±2x．

三、解答题（本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

14．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

【解】椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，

因此双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5．

设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，

∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25．

又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3，

∴＝3，得a＝3，b＝4．

∴双曲线G的方程为－＝1．

15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为．

(1)求双曲线的方程；

(2)直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与该双曲线交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

【解】(1)由题意，得解得a2＝3，b2＝1．

故双曲线的方程为－y2＝1．

(2)把直线方程y＝kx＋m代入双曲线方程，并整理得(1－3k2