初中数学分类讨论思想例题分析

分类讨论头脑例题分析之相礼和热创作［线段中分类讨头脑的使用］——线段及端点地位的不确定性引发讨论.例1已知直线AB上一点C,且有CA=3AB,则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4.「一一一、练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm,“ 「］ 点M为线前AB的中点.，^线段BC=3cm,.g.N为线段BC的中点，求线段MN的长.解析：（1）点C在线段AB上： （2）点C在线段AB的延伸线上例2下列说法正确的是（）A、 两条线段相交有且只要一个交点.8、假如线段AB=AC那么点A是BC的中点.C、两条射线不服行就相交.口、不在同不停线上的三条线段两两相交必有三个交点.［与角有关的分类讨论头脑的使用］——角的一边不确定性引发讨论.例3在同一立体上，ZAOB=70°,NBOC=30°,射线OM中分/AOB,ON中分NBOC,求NMON的大小.（20°或50°）［练习］已知ZAOB=60o,过O作一条射线OC,射线OE中分/AOC，射线OD中分ZBOC，求/DOE的大小.（1）射线OC在/AOB内（2）射线OC在/AOB外这鬲神城况下，都有/DOE二3二型二30。2 2小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相反？虽然2Aoe的大小不确定，但是所求的/DOE与2Aoe的大小有关.我们虽然分了两类，但是结果是相反的！这也表现了分类讨论的末了一个环节——总结的紧张性.［三角形中分类讨论头脑的使用］一样平常有以下四品种型：一是由于一样平常三角形的外形不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于类似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类.1、三角形的外形不定必要分类讨论例4、在卜ABC中，NB=25°,AD是BC上的高，而且a「则,…度数为「TOC\o"1-5"\h\z解析：因未指明三角形的外形，°图1° 1故需分类讨论.如图1,当^ABC 1的高在形内时，由AD2=BD•DC,得 ］B CDABDs△CAD,进而可以证明 图2ABC为直角三角形.由ZB=25°.

可知ZBAD=65°.以是ZBCA=ZBAD=65°.如图2,当高AD在形外时，此时^ABC为钝角三角形.由AD2=BD•DC,得^ABD^△CAD以是/B：NCAD=25°ZBCA=NCAD+NADC=25°+90°=115°2、等腰三角形的分类讨论：2、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，以是我们要进行分类讨论.例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于 .［练习］若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm,哪一部分是12cm,因而，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是*cm是*cm,底边长为ycm,可将＜,1c*+2*=9,或2*+y=12，2一，1一一2—，解得；*:6,2*+y=9. ：y-9,或I*=*即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm1y=5.时，底边长是5cm.卜在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角,也可能指顶角,以是必须分状况讨论.例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为(A.30°B.75°C.105°D.30°或75°［练习］1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数.简析：依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为45°，图2中顶角为135°.2、在AABC中，AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角/8=.3、直角三角形中，直角边和斜边不明白时必要分类讨论例7、已知x,y为直角三角形两边的长，满足X2-47y2-5y+6=0，则第三边的长为.解析：由卜2-4+\：y2-5y+6=0,可得X2-4=0且y2-5y+6=0Jx=2 （x=2分别解这两个方程，可得满足条件的解iy1=2,或Iy2=3由于x,y是直角边长还是斜边长没有明白，因而必要分类讨论.当两直角边长分别为2,2时，斜边长为&7万=2尤;当直角边长为2,斜边长为3时，另不停角边的长为枳;当不停角边长为2,另不停角边长为3时，斜边长为＜13.综上，第三边的长为2＜2或＜5或V13.4、类似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类.例8、如图所示，在△abc中，ab=6,ac=4,p是ac的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A.P.Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形类似，则AQ的长为（）(A)3(B)3或4(C)3或3(D)43 4 3A析解：由于"t”为学.的三角形和以.“为顶点的三角形有一个公共角(/A)，c因而根据类似三角形的断定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点P作PQ〃BC,这样根据类似三角形的性子可得AQ=AP,即AQ=2,解得ABAC6 4AQ=3；二是过点p作NAPQ=AABC，交边AB于点Q，这时aPQQ-aABC，于是有AQ=丝，即丝=2，解得AQ=4.以是AQACAB4 6 3的长为3或4,故应选(B).3四、本节小结分类讨论头脑是在处理成绩出现不确定性时的无效方法.线段及端.的不确定；角的一边不