全国自考2007年7月《复积》试题答案

全国2007年7月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.z=2-2i，|z2|=(=|z|2 )A.2B.√8C.4D.82.复数方程Z=CoSt+isint的曲线是（)A.直线B.圆周C.椭圆口.双曲线3.Re(e2x+iy)=( )A.e2xB.eyC.e2xCoSyD.e2xSiny4.下列集合为有界单连通区域的是（)A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.-π<argz≤π.设f(z)=x3-3xy2+(ax2y-y3)i在Z平面上解析，则a=(UX=Vy )A.-3 B.1C.2 D.3.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z平面上解析，v(x,y)=eχ(ycosy+xsiny)，则Uu(x,y)=( )A.ex(ycosy-xsiny) B.ex(xcosy-xsiny)C.ex(ycosy-ysiny) D.ex(xcosy-ysiny).Jdz=()zIz-il=3A.0 B.2πC.πiD.2πisinzdz8.J -=(Jsinzdz)z2-z-12(z+3)(z-4)|z-1|=1|z-1|=1A.0B.2πisin1C.2πsin1n1.1D. sin12πi」一9.zcosz2dz=0(一sιnz2(23)0A.—sin9B.—cos922C.cos9D.sin910.若f(z)=tgz，则Res[f(z)，π2]=（一级极点）A.-2πB.-πC.-1D.011,f(z)=-c°sz.-在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（)z(z-i)2A.0B.1C.2 D.312.z=0为函数cos—的( )zA.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点13.f(z)=1(z-2)(z-1)在0<lz-2l<1内的罗朗展开式是（=11 . Z-2Z-2+1D)[排除法可去掉AB]A.£(-1)nznn=0B.1(Z-2)Σzn=0C.Σ(z-2)nD.Σ(-1)n(Z-2)n-1n=0n=0z-ιrz-a^

_[oθ]14.线性变换ω==(=z+ι z-αZ+i)A.将上半平面Imz>O映射为上半平面Imω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆Iω卜1C.将单位圆IZIVl映射为上半平面Imω>0D.将单位圆IZkl映射为单位圆IωIvl.函数f(t)≡t的傅氏变换J[f(t)]为1‹——>2πδ(w)(F[tf(t)]=iFf(w)/(O=1nF[t]=2πiδTW))微分性(pl59)A.δ(ω) B.2ɪɪiδ(ω)C.2niδ'(ω) D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。.若Z]=eι+ijt,Z2=3+i,则_β(cosπ+zsinπ)(3+z)=-⅛(3-∖-i)=e-3eiZ1*Z2=jπ.若cosz=0,贝IJZ=左兀+—..设f'(z)≡Jeζc°sζdζ(∣z∣<5%L：Iζ1=5,则f(zX LCZ)2∕r(z)=2πi(eζcosζ) =2πz(e^cosz)'ζ=Z=>f(z)=2兀iecosz+C19.幕级数£型名〃的收敛半径是 e.nnn=l(n+1)! nn (n+1)nn nn • = = (n+1)n+1n! (n+1)n+1 (n+1)n1(1+1)"

n.线性映射ω=Z是关于X轴—的对称变换.三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分).计算复数z=3--27的值.π+2kπZ=3—27=3pτe^π=3ei-ɪ(k=0,1,2)π.33eIi=—22i,(k=0)<3e兀i=—3,(k=1)3e拳=2一芋(k=2)22.已知调和函数v=arctgy,x>0，求f,(z)，并将它表示成Z的函数形式.X解：V(X,y)=arctgynVX1+xyX2Γy1—yXX(yY,VyX2+y21+X2+y2kX)∖Xnf'(Z)=U+XiVX=V+iVyXX +X2+y2iyX2+y2X—iyZ1IZ∣2Z∙Znf(Z)=lnZ+Cz23.设f(z)=x2+axy+by2+i(-x2+2xy+y2)为解析函数，试确定a，b的值.u-x2+axy+by2,v=一X2+2Xy+y2u=Vn2x+ay=2X+2yna=2χyU=一vnax+2by=2X—2ynb=-1yX24.求积分I=J——-——dz的值，其中C：lzl=4为正向.Cz2+2z=±√2为被积函数在。内的奇点，如右图iiI=J—i—dz=Jz-Cidz+Jz+CidzCz2+2C1z+√2iC2z-∖汽i=2πi∙-z-\aiC∙iO+2πi∙ =日i z+、工iɔZ==√2πi-2∕2πi=0'2iC25.求积分I=J—e—dz的值，其中C：lζl=2为正向.C(z+i尸2z--L为被积函数在C内唯一的奇点，2I=JOC(z+l)4乙dz-孚Q'πii————e2i3z=—-2πi(cos1-isin1)T2 226.利用留数计算积分I=JZdiZ，其中C为正向圆周lζl=1.1f(Z)=在。内以Z=0为二级极点，zsinzZsinZ=0nZ=0orsinZ=0nZ=0orz=k兀又Z=0为sinZ的一级零点nZ=0ZsinZ的二级零点••sinZ-ZcosZlim[Z2f(z)]=limZ→0 Z→0 sin2Z=limZ→0cosZ一(cosZ-ZsinZ)

2sinZcosZZ=lim=0Z→02cosznʃ"=2兀i∙0=0Czsinz27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为Z的泰勒级数.f(Z)=ln(Z+3)=ln[3(1+Z)]=ln3+ln(1+Z)=ln3+ςn=02一… 228.将函数f(z)=Z(Z^)在圆环域0<IzI<2内展开为罗朗级数.0<1Z∣<2nZ2<1∙∙∙f(Z)=21Z(Z+2)Z，=1Σ(-1)nZZZ1+一 n=02(Z\

Z

12)nE(一1)nZn-1n=0四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。每小题10分，共20分)29.(1)求f(z)=」一ei在上半平面的所有孤立奇点；z=i(一级极点)1+Z2eT(2)求f(z)在以上各孤立奇点的留数；-2(3)利用以上结果计算积分I=1+°®nxdr.-∞1+x2【注：实函的积分结果一定是实数，不会是虚数】∫+∞xexdV=2兀i∙eI=兀e-Ii^∫+∞xsinxdV=兀e-1-g1+x2 2 -g1+x230.设D是Z平面上的带形区域：1<Rez<1+∏，求下列保角映射：w=z-1(1)ω1=f1(z)把D映射成ω1平面上的带形区域D1：0<Reω1<∏; 1 w=e3m≡iw(2)ω2=f2(ω1)把D1映射成ω2平面上的带形区域D2：0<Im32<n；w2 e2w1 iw22 1 1 2 2 2w=ew2(3)ω=f3(ω2)⅛D2映射成ω平面上的上半平面D3：Imω>0;w=ei(z-1)(4)综合以上三步，求把D映射成D3的保角映射ω=f⑵.31.(1)求et的拉氏变换L[et];(2)设F(P)=L[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L[y'(t)]、L[y〃(t)]存在，且y(0)=0,y'(0)=0，求L[y'