人教版五年级数学上册 教材知识点梳理汇总(上)

小数乘法的计算知识精讲1：小数乘整数的计算方法：1.先按整数乘法计算；2.再看是小数的那个因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；3.若积的小数部分末尾有0，要根据小数的性质把积中小数末尾的0去掉。魔法记忆口诀：小数乘法整数算，因数小数位数看；就从积的右边数，相同位数小数点。小数末尾若有0，根据性质把0删；先点后删要记清，这个顺序不能换。知识精讲2：小数乘小数的计算方法：1.先按整数乘法计算；2.再看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；3.若积的位数不足，用0补足；若小数部分末尾有0，要先点上小数点，再根据小数的性质把积中小数末尾的0去掉。小数乘小数，积的位数不够时的计算方法：1.一算：按照整数乘法算出积；2.二看：看因数中一共有几位小数；3.三点：因数中一共有几位小数，就从积的右边起，数出几位点上小数点，当积的小数位数不够时，要在积的前面用0补足，再点上小数点；如果积的小数部分末尾有0，要把0去掉。奥数思维拓展：小数位数较多的小数乘法：渗透一种数学思想：转化思想。学习一类思维方法：类推法。[例题]计算：0.00……0026×0.00……0048＝150个150个050个0[分析]第一个因数有152位小数，第二个因数有5位小数；两个因数共有152＋52＝204（位）小数，所以积的小数位数是204位；先算出26×48＝1248，再将小数点向左移动204位，要在“1”的前面添加204－4＝200（个）0补位，点上小数点，最后写出整数部分的0，便是得数。[解答]0.00……0026×0.00……0048＝0.00……001248150个0150个050个0[技巧]解决此类题目的步骤：（1）转化为整数乘法算出积；（2）算出两个因数共有几位小数，所得结果就是乘积的小数位数；（3）将小数点向左移动相应的小数位数，便是最后的得数。[举一反三]113个112个（1）0.00……0016113个112个2016个2017个（2）0.00……0045×2016个2017个50个900个（3）0.00……0018×0.00……00650个900个2000个（4）0.00……00206×0.00……00152000个30003000个积的近似数和整数乘法运算定律推广到小数知识精讲1：用“四舍五入”法取积的近似数的方法：1.算出准确的积；2.看要保留的小数位数；3.循要保留的数位的下一位上的数字是几，按照“四舍五入”法取近似值。魔法记忆口诀：小数乘法近似数，四舍五入来保留。保留哪位看下位，再同数5作比较。是5大前进1，小于5尾全省掉。等号变成约等号，一目了然近似数。知识精讲2：运算顺序：小数四则运算顺序与整数四则混合运算相同。1.同级运算：算式中只有加、减或只有乘、除，要按照从左到右的顺序计算；2.两级运算：算式中既有乘、除又有加、减，要先算乘、除法，后算加、减法；3.有小括号：先算小括号里面的，后算小括号外面的。运算定律和运算性质：运算定律：加法交换律：a+b=b+a加法运算定律：加法结合律:a+b+c=a+(b+c)

乘法交换律:a×b=b×a乘法运算定律：乘法结合律:a×b×c=a×(b×c)乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×cb)×c=a×c-b×c运算性质：减法的性质：a－b－c=a－(b＋c)除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)奥数思维拓展：速算与巧算（一）1.渗透三种数学思想：迁移、转换、策略优化。2.学习两种思维方法：凑整法、提公因数法。思维提升

[例题]用简便方法计算下列各题。3.65×0.1＋0.6×36.5＋0.039×36512.7×15－9×4.5[解答]3.65×0.1＋0.6×36.5＋0.039×365＝3.65×0.1＋×3.65×6＋3.65×3.9＝3.65×(0.1＋6＋3.9)＝3.65×10＝36.512.7×15－9×4.5＝12.7×15－9×0.3×15＝12.7×15－2.7×15＝(12.7－2.7)×15＝10×15＝150[技巧]1.多个乘法算式相加减，且每一个算式中都含有一个因数是由相同数字组成的，可以利用积不变的规律，先把这些因数转化成大小相等的因数，再根据乘法分配律进行计算。2.多个乘法算式相加减，各算式中有因数存在倍数关系时，先将它们进行拆分，使原式转化为具有相同因数的算式的和（差），再根据乘法分配律进行计算。[举一反三]计算下列各题。2.01×67－0.6715.5×6.6＋22×6.3545.6×6.7＋4.56×31＋0.456×200.666×0.8＋0.222×7.6小数乘法解决问题知识精讲1：1.用估算解决实际问题时，要根据问题的具体情况和数据特点选择适当的估算策略。（1）要判断“够”的话，所有的数据都要估大，或不变；（2）要判断“不够”的话，所有的数据都要估小,或不变。（3）估的时候要注意估大或估小要适度，要能解决问题。2.用估算解决购物问题时，可以用“放大”法或“缩小”法来估算。在应用估算时需要注意所有的数据都只能放大（缩小）或不变，不能有的放大，有的缩小。知识精讲2：分段收费问题，可以根据收费标准分段来计算，也可以先假设同一单价再调整的方法来计算。奥数思维拓展：还原问题1.渗透一种数学思想：逻辑推理2.学习两类思维方法：画线段图法、倒推还原法[例题]幼儿园买来一些糖果，先给大班送去一半，又把剩下的糖果的一半送给了中班，还剩下1.5kg。你知道幼儿园一共买来多少千克糖果吗？[分析]方法1：画线段图法送给大班剩下1.5kg送给中班从送给中班后剩下的1.5kg入手，送给大班后应该剩下2个1.5kg,而且送给大班后剩下的和大班得到的一样多，所以原来应该有（2×2）个1.5kg。方法2：倒推还原法先按事情发生的顺序进行整理：买来？千克糖果给大班送去一半把剩下糖果的 还剩1.5kg一半送给中班在倒过来推算：÷2÷2买来？kg糖果第一次送出后剩下的还剩1.5kg×2×2[解答]1.5×2×2＝6（kg）答：幼儿园一共买来6千克糖果。[技巧]用还原法解决这类问题时，需要通过尝试画图，从最后结果往前一步一步地推算，即可还原到最初的状态。[举一反三]1.小华用自己积攒的零花钱去书店买书，她买了一本《故事大王》正好用去了总钱数的一半，又买了一本《快乐作文》用去了剩下钱数的一半，这是小华还剩5.3元，小华原来有多少钱？2.一根铁丝一半一半的剪，剪了三次后还剩4.25米，这根铁丝原来有多长？3.正在施工的一条隧道，已经挖了全长的一半多0.1km，还剩下0.5km，那么它全长多少千米？4.一袋小麦，第一次取出全部的一半多2.5千克，第二次取出余下的一半，这是袋里还剩下15千克。这袋小麦原来重多少千克？位置知识精讲1：用数对表示具体情境中物体位置的方法（1）竖排叫做列，横排叫做行，确定列数要从左往右数，确定行数要从前往后数。（2）用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○第1列第2列第1列第2列竖排叫列横排叫行列从左往右数行从前往后数第2行（2,3）第1行知识精讲2：在方格纸上用数对确定物体位置的方法（1）用数对可以表示平面图上物体的位置。（2）给出物体在平面图上的数对，就可以确定物体所在的位置。○○○○○○○○○○○○○○○○第一个数相同，物体在同一列（A，B）第一个数相同，物体在同一列（A，C）第二个数相同，物体在同一行（A，B）第二个数相同，物体在同一行（C，B）在方格纸上，物体左右平移，行数不变。向左平移，列数减去平移格数，向右平移，列数加上平移格数。在方格纸上，物体上下平移，列数不变。向上平移，行数加上平移格数，向下平移，行数减去平移格数。奥数思维拓展:位置渗透两种数学思想：数形结合思想、对应思想2、学习一类思维方法：分析法[例题]小力、小林、小亮三个人的位置如图所示，小林的座位用数对表示为（5，3），那么小力座位东面相邻同学的座位用数对表示为（，）；小亮座位北面相邻同学的座位用数对表示为（，）。[解答]（3,6）（7,5）[技巧]用数对表示物体的位置使，一定要注意列在前、行在后。[举一反三]如图，点E表示小明的座位，点F表示乐乐的座位，点M表示小丽的座位。小丽的座位用数对表示为M（5，3）。班长的位置用数对表示为N（，）；乐乐的位置用数对表示为F（，）；小明东面相邻同学的位置用数对表示为（，）；小明南面相邻同学的位置用数对表示为（，）；小明西面相邻同学的位置用数对表示为（，）；小数除法的计算知识精讲1：小数除以整数的计算方法：按照整数除法的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐；计算时要注意，整数部分除完后商应先点小数点，然后把十分位上的数字落下来继续除，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位上。知识精讲2：除到被除数的末位仍有余数的小数除法计算方法：计算除数是整数的小数除法时，除到被除数末位仍有余数，根据小数的性质（小数的末位添上0或去掉0，小数的大小不变）要在余数的后面补0继续除。知识精讲3：被除数的整数部分不够除的小数除法计算方法：（1）小数除以整数，如果被除数的整数部分不够除（即比除数小），先在个位上商0占位，点上商的小数点后继续除。（2）小数除法的验算方法和整数除法的验算方法相同，都是用商乘除数，看相乘的积是否等于被除数。知识精讲4：一个数除以小数的计算方法：一个数除以小数，先划去除数的小数点，将除数转化成整数；再看除数中的小数点向右移动了几位，同时将被除数中的小数点也向右移动几位；然后按照除数是整数的小数除法法则进行计算。知识精讲5：被除数的小数位数比除数的小数位数少的计算方法：除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。奥数思维拓展：小数点的移动渗透两种数学思想：类推、比较。学习一类思维方法：逆推法。[例题1]甲、乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数。你知道甲数、乙数分别是多少吗？[分析]甲数的小数点向右移动一位乙数＝甲数×10正好等于乙数甲数＋甲数×10＝16.5甲数×（10＋1）＝16.5甲数＋乙数＝16.5[解答]甲数：16.5÷（10＋1）＝1.5乙数：1.5×10＝15或16.5－1.5＝15答：甲数是1.5，乙数是15。[技巧]A的小数点向右移动一位是B，则B＝10×A，C的小数点向左移动一位是D，则C＝10×D；和倍问题：和÷（倍数＋1）＝小数；和－小数＝大数或小数×倍数＝大数。[例题2]一个小数的小数点向右移动一位，所得的数比原来多38.7，原来的小数是多少？[分析]小数的小数点向右移动一位小数扩大到原来的10倍画线段图分析数量关系：[解答]38.7÷（10－1）＝4.3答：原来的小数是4.3。[技巧]差倍问题：差÷（倍数－1）＝小数；小数＋差＝大数或小数×倍数＝大数。[举一反三]1.小马虎在计算一道除法题时，把一个有两位小数的被除数的小数点漏掉了，除以5商是114。正确的除法算式中被除数是多少？计算后商是多少？2.甲、乙两数的差是19.8，甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数。你知道甲、乙两数分别是多少吗？3.星星在考试中犯了一个错误，他在计算两个数相加时看错了一个两位小数的小数点位置，结果比正确答案多了13.05，看错的这个两位小数是多少？4.在一个三位数的某位数字的右下角添上一个小数点，在与原来的数相减，差是451.44，这个三位数是多少？商的近似数和循环小数知识精讲1：商的近似数：（1）当商的小数位数太多或除不尽时，可以用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。（2）求商的近似数时，先看要保留几位小数，除到比需要保留的小数位数多一位，然后用“四舍五入”法取近似值，要注意结果用“≈”。知识精讲2：循环小数：1.一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数；2.一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；3.写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；4.小数部分的位数有限的小数是有限小数；小数部分的位数无限的小数是无限小数；循环小数是无限小数中的一种特殊情况。奥数思维拓展：平均数问题中的近似数1.渗透一种数学思想：推理思想。2.学习一类思维方法：分析法。[例题]有13个自然数，小红计算它们的平均数时精确到百分位是12.56，老师说最后一个数写错了。你知道正确答案吗？[分析]“最后一个数写错了”说明正确的答案大于12.5，而小于12.6,13个自然数的和一定是整数。[解答]12.5×13＝162.512.6×13＝163.8在162.5和163.8之间的整数是163，所以13个自然数的和是163。163÷13≈12.54所以这13个自然数的平均数精确到百分位是12.54。[技巧]解决此类问题的关键是找出平均数的取值范围，进而根据关系得出这组数的和的范围。[举一反三]洋洋在计算15个自然数的平均数（保留两位小数）时，得数为12.34，老师说最后一个数字错了。你能算出正确结果吗？2.下面是小明作业本的一角，你知道这道题目的结果吗？所以这12个自然数的平均数精确到百分位是14.8循环位求和渗透两种数学思想：转化、构造。2、学习一类思维方法：感悟与尝试法[例题]算一算5÷7的商，回答下面的问题：小数点后面第50位上的数字是几？小数点后面前50位上的数字之和是几？[解答]（1）5÷7＝0.71428550÷6＝8（组）……2（个）所以小数点后面第50位上的数字是1。（2）每个循环节的数字之和是7＋1＋4＋2＋8＋5＝27。小数点后面前50个数字之和就是8组数字的和再加上7与1。27×8＋7＋1＝224所以小数点后面前50位上的数字之和是224。[技巧]循环小数具有周期性，循环节有几个数字，循环周期就是几。用小数的位数除以周期得到余数，余数是几，最后一个数字就是循环节周期中的第几个数字。[举一反三]1.把化成小数，小数点后面第100位上的数字是几？小数点后面前100个数字之和是多少？2.算式3÷13的商的小数点后面第207位上的数字是几？小数点后面前207个数字之和是多少？小数除法的应用知识精讲1：用“进一”法解决实际问题：1.“进一”法：解决问题时，根据实际情况取近似数，不管省略部分的数字是多少，都要向前一位进1。2.在解决实际问题中，求需要多少材料、物品的数量时，根据需要求得结果用“进一”法取整数。知识精讲2：用“去尾”法解决实际问题：1.“去尾”法：在解决问题时，根据实际情况取近似数，把一个数某一位后面的数（即使这个数字大于或等于5）全部去掉。2.在解实际问题中，求能做或买多少个物品时，计算结果要用“去尾”法保留整数。※小数除法解决问题：1.根据实际需要，我们在取商的近似值时，不管小数部分的十分位是几，都要把小数部分省略后，向个位进一，这种求近似数的方法叫做“进一法”；2.根据实际情况，我们在取商的近似值时，不管小数部分的十分位是几，都要把小数部分省略，只取整数商，这种求近似数的方法叫做“去尾法”；3.在解决实际问题时，要根据实际情况取商的近似值；4.在取近似值时，除了“四舍五入”法，还有“进一法”和“去尾法”。如装货物、装饮料、装油等一般用到“进一法”；花钱买东西、做衣服等用到“去尾法”。知识精讲3：运用消元法解决含有两个或两个以上未知量的问题：找出题目中的各种未知量；然后找出可以通过作差消去的未知量；通过作差消去相同的未知量；求出剩下未知量的具体值；将先求出的未知量的具体值带回原式，从而求出消去的未知量的具体值；（6）检验作答。奥数思维拓展：速算与巧算（二）1.渗透三种数学思想：迁移思想、转换思想、策略优化思想2.学习一类思维方法：类比分析法[例题1]用简便方法计算下列各题。4.5÷3.612.02÷0.25[解答]4.5÷3.612.02÷0.25＝（4.5÷9）÷（3.6÷9）＝（12.02×4）÷（0.25×4）＝0.5÷0.4 ＝48.08÷1＝5÷4＝48.08＝1.25[技巧]有些小数除法可以借助商不变的性质进行速算。[例题2]用简便方法计算下列各题。4.82÷0.8＋3.18÷0.8（3.6＋7.2）÷0.36772.2÷7.818.18÷1.8[解答]4.82÷0.8＋3.18÷0.8（3.6＋7.2）÷0.36＝（4.82＋3.18）÷0.8＝3.6÷0.36＋7.2÷0.36＝8÷0.8＝10＋20＝10＝30772.2÷7.818.18÷1.8＝（780－7.8）÷7.8＝（18＋0.18）÷1.8＝780÷7.8－7.8÷7.8＝18÷1.8＋0.18÷1.8＝100－1＝10＋0.1＝99＝10