高考数学专题20-立体几何大题(解析版)

专题20立体几何大题（解析版）立体几何解答题高考中的必考题，占12分，一般考察立体几何知识掌握情况及解答技巧。如线面垂直、面面垂直、线面平行，线面角、二面角等问题。立体几何解答题中的易错和易混点易错点1：求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法；易错点2：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；易错点3：作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见；易错点4：求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法）易错点5：求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）易错点6：两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90°直线与平面所成的角的范围：0o≤α≤90°二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°易错点7：用向量法求线面角得的是正弦值，而不是余弦值；易错点8：用向量法求二面角时，最后一步忘了判断二面角的平面角是钝角还是锐角，导致结果错误。题组一1．（2015新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形如图：（Ⅱ）作，垂足为，则因为为正方形，所以于是，所以以D为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系，则设是平面的法向量，则即所以可取又，故所以AF与平面所成角的正弦值为所以直线与平面所成角的正弦值为．2.（2016全国III）如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接．由为中点知，．又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是．因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且．以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，，，，，．设为平面的法向量，则，即，可取，于是．所以直线与平面所成角的正弦值为题组二3.（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中，（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【解析】（Ⅰ）连结，交分别是的中点，于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，平面，所以//平面；（Ⅱ）由=AC=CB=AB可设：AB=，则=AC=CB=，所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则、、、，，，，，设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则，所以，所以二面角D--E的正弦值为．4．（2012新课标）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小．【解析】（Ⅰ）在中，，得：同理：得：面（Ⅱ）面取的中点，过点作于点，连接，面面面得：点与点重合且是二面角的平面角设，则，既二面角的大小为传统法求二面角的大小：作出二面角的平面角并通过解三角形计算。作平面角常用方法如下： ①先确定二面角的棱，在棱上找一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为平面角。 ②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，两交线所成的角即为平面角 ③三垂线定理及其逆定理：过一个半平面内一点作另一半平面的垂线，过垂足在另一个半平面内作棱的垂线得棱上一点（即斜足），斜足与面上一点的连线和斜足与垂足连线所成角为平面角。 ④利用特殊图形的垂直关系直接作出平面角。此类问题的特征是图形中一般有二面角的平面角，只须利用前面三种方法进行判断即可找到二面角的平面角。题组三5.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足为H．因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小为30°．附：平面图形的翻折问题： （1）将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转 （2）求解翻折问题的基本方法是：先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立几问题。 （3）把平面图形翻折成空间图形后的有关计算问题，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量。一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两个半平面内的几何元素之间的关系是变的。题组四6．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)证明：平面⊥平面；(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．【解析】（1）由题设可得，，从而．又是直角三角形，所以取的中点，连接，，则，．又由于是正三角形，故．所以为二面角的平面角．在中，．又，所以，故．所以平面平面．由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得．故，，设是平面的法向量，则即可取设是平面的法向量，则同理可得则所以二面角的余弦值为．

7．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．(1)证明：平面平面；(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．【解析】(1)由题设知，平面⊥平面，交线为．因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．因为为上异于，的点，且为直径，所以⊥．又=，所以⊥平面．而平面，故平面⊥平面．(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．当三棱锥体积最大时，为的中点．由题设得，，，，，，，设是平面的法向量，则即可取．是平面的法向量，因此，，所以面与面所成二面角的正弦值是．题组五8．（2014新课标=2\*ROMANII）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．【解析】（Ⅰ）连接交于点，连结．因为为矩形，所以为的中点．又为的中点，所以∥．平面,平面，所以∥平面．（Ⅱ）因为平面，为矩形，所以，，两两垂直．如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则．设，则．设为平面的法向量，则即，可取．又为平面的法向量，由题设，即，解得．因为为的中点，所以三棱锥的高为．三棱锥的体积．9．（2011新课标）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）因为，由余弦定理得从而，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD．故PABD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，，，．设平面的法向量为，则，即因此可取=设平面的法向量为，则可取=（0，-1，）故二面角A-PB-C的余弦值为．题组六10．（2010新课标）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，垂足为，是四棱锥的高，为中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则（Ⅰ）设，则可得因为，所以（Ⅱ）由已知条件可得设为平面的法向量则即因此可以取，由，可得，直线与平面所成角的正弦值.立体几何十大经典类型（解题思想方法归纳）类型一：证明线线平行 1.证明两直线、平行，若直线和直线共面时，则可以用平面几何中常用的一些方法（如证明和是一个平行四边形的一组对边）证明它们无公共点。在立体几何中一般还有以下几种思路：①根据公理4②根据“线面平行”的性质定理③根据“线面垂直”的性质定理，若直线和都与平面垂直，则//。④根据“面面平行”的性质定理=5\*GB3⑤根据三角形中位线的性质。 =6\*GB3⑥根据平行四边形的性质。 =7\*GB3⑦根据对应线段成比例。 2.设法转化为线面平行、面面平行、线面垂直的相关问题3.向量方法：证明向量共线。类型二：证明线面平行1.传统几何方法：①根据直线与平面平行的定义②根据直线与平面平行的判定定理③根据平面与平面平行的性质定理2.方法②通过“线线平行证明线面平行”，是由低维升向高维的一种思维方式；方法③通过“面面平行证明线面平行”，是由高维降向低维的一种思维方式。这两种思维方式是立体几何中基本的思维方法。3.向量方法：①转化为证明向量共线。②根据共面向量定理。③证明向量与平面的法向量相互垂直。类型三：证明面面平行1．传统几何方法：①根据两个平面平行的定义②根据两个平面平行的判定定理③垂直于同一条直线的两个平面平行④平行于同一平面的两个平面平行思维过程：注意三者的转化线线平行线面平行面面平行线线平行线面垂直面面平行向量方法：①转化为用向量证明线线平行、线面平行问题。②证明两个平面的法向量共线。类型四：证明线线垂直证明线线垂直，若两条直线在同一平面内，可用平面几何中证明两条直线垂直的方法来证明它们垂直。立体几何一般有以下几种证明方法：①根据定义②如果直线//直线，直线直线，则③如果直线平面，则④三垂线定理及其逆定理⑤根据二面角的平面角的定义=6\*GB3⑥等腰（等边）三角形中的中线=7\*GB3⑦菱形（正方形）的对角线互相垂直=8\*GB3⑧勾股定理中的三角形=9\*GB3⑨1::2的直角梯形中=10\*GB3⑩利用相似或全等证明直角，直径所对的圆周角向量方法：证明向量相互垂直。类型五：证明线面垂直传统几何方法：①如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线，则这条直线和这个平面垂直②线面垂直的判定定理③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这条直线也与另一个平面垂直④两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面⑤面面垂直的性质定理向量方法：①转化为证明向量垂直。②证明向量与平面的法向量共线。类型六：证明面面垂直1．传统几何方法：①根据面面垂直的定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直②根据面面垂直的判定定理③利用结论：如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它垂直于另一个平面2．向量方法：①转化为用向量证明线线垂直、线面垂直问题。②证明两个平面的法向量相互垂直。类型七：求异面直线所成角传统几何方法：先判断这个角是否是直角，如果是直角可直接证明并得出结论，一般求角的步骤是：（1）利用平移作出要计算的角；（2）构造含该角的三角形；（3）解三角形求角异面直线所成的角作法：①定义。在具体问题中异面直线的给出是异面线段形式表示的，因此由异面直线所成角的定义我们可以选择两条线段的四个端点，过其中一个端点作另外一条线段的平行线，选择点的原则是过这点作另外一条线段的平行线要容易作（往往是这点和另外一条线段在一个三角形中且这点在三角形的一边上，或这点和另外一条线段在已知一个平面内且作平行线要好作）②利用中位法。如给出异面直线AB和CD，连接AC、AD、BC，然后再分别取这三条线段的中点E、F、G，连接EF、EG、FG得到△EFG，则∠FEG就是所求角或所求角的补角。这种方法优点是作异面直线所成角比较容易，但缺点是△EFG中有一边GF的长度不容易求。向量方法：转化成求两个向量的夹角（即等于所求的异面直线所成的角或其补角的大小）类型八：求平面的斜线与平面所成角传统几何方法：①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）求。向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则类型九：求二面角作出二面角的平面角并通过解三角形计算。作平面角常用方法如下：①先确定二面角的棱，在棱上找一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为平面角。②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，两交线所成的角即为平面角。③三垂线定理及其逆定理：过一个半平面内一点作另一半平面的垂线，过垂足在另一个半平面内作棱的垂线得棱上一点（即斜足），斜足与面上一点的连线和斜足与垂足连线所成角为平面角。④利用特殊图形的垂直关系直接作出平面角。此类问题的特征是图形中一般有二面角的平面角，只须利用前面三种方法进行判断即可找到二面角的平面角。求二面角的大小有时也可不必作平面角，只须判断出二面角与某个线面角或线线角相等，求出即可。①用射影面积公式：（其中为斜面面积，为射影面积，为斜面与其射影面所成的二面角的平面角）。此法适用于棱未给出或平面角难以作出的情形。②公式法：如利用两条异面直线上两点间的距离公式可求出二面角，公式为：③向量方法：只要在两个半平面内各有棱的垂线、（不必相交），则向量、所成的角的大小等于所求二面角或其补角的大小。另法：设、分别为两个半平面的法向量，则它们所成的