2023-2024学年高中数学苏教版2023必修二同步试题 10.1.3两角和与差正切 （含解析）

第第页2023-2024学年高中数学苏教版2023必修二同步试题10.1.3两角和与差正切（含解析）10.1.3两角和与差正切

一、单选题

1．已知，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由于，所以利用两角差的正切公式展开求解即可

【详解】

因为，

所以

，

故选：A

2．若，则值为（）

A．B．C．D．7

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两角和的正切公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可.

【详解】

由，

所以，

故选：B

3．已知角的终边过点，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

结合三角函数的定义、两角差的正切公式求得正确答案.

【详解】

.

故选：D

4．已知，则（）

A．B．C．2D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出，再求出，最后可求.

【详解】

因为，故，

因为，故，而，

故，所以，

故，

所以，

故选：B

5．已知sinα＝，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出tanα，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.

【详解】

sinα＝，且α为锐角，则cosα＝，tanα.

所以tan(α＋β)＝＝＝－1.

又α＋β∈，故α＋β＝.

故选：B

6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据角终边上有一点，得到，再根据为锐角，且，求得，再利用两角差的正切函数求解.

【详解】

因为角终边上有一点，

所以，

又因为为锐角，且，

所以，

所以，

故选：C

二、多选题

7．下列化简结果正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由正弦、余弦、正切函数的和差角公式逐一判断可得选项.

【详解】

解：对于A，，故A正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D正确，

故选：ACD.

8．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，下列各式正确的是（）

A．tan(A＋B)＝－B．tanA＝tanB

C．cosB＝sinAD．tanAtanB＝

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由三角形内角性质及和角正切公式可得tan(A＋B)＝且tanA＋tanB＝(1－tanAtanB)，结合已知即可判断各选项的正误.

【详解】

由∠C＝120°，可知：A＋B＝60°，

∴tan(A＋B)＝＝，故A错误.

又tanA＋tanB＝(1－tanAtanB)＝，

∴tanAtanB＝①，故D正确；

由①联立tanA＋tanB＝，解得tanA＝tanB＝，

∴cosB＝sinA，故B、C正确．

综上，B、C、D正确．

故选：BCD.

三、填空题

9．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解.

【详解】

由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，，

所以.

故答案为：.

10．______．

【答案】1

【解析】

【分析】

由，利用两角和的正切公式计算即可.

【详解】

因为，

所以．

故答案为：1

11．在△ABC中，若，则tanC的最大值是___________．

【答案】

【解析】

【分析】

结合两角差与和的正切公式、两角差的正弦公式化简求值即可.

【详解】

因为sin（A-B）=3sinC，

所以sinAcosB-cosAsinB=3（sinAcosB+cosAsinB），

所以sinAcosB=-2cosAsinB，即tanA=-2tanB．

因为，

所以．

因为，所以，

所以tanC>0，所以tanB>0，

所以，

则，

当且仅当时，等号成立．

故答案为：

12．如图，图像是由（且）个完全相同的正方形构成的平面几何图形，若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

本题可设正方形的边长为，然后根据题意得出、，最后根据两角和的正切公式即可得出结果.

【详解】

设正方形的边长为，

则，，

因为，

所以，解得或（舍去），，

故答案为：.

四、解答题

13．已知，满足，求的值．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据两角和的正切公式，求得，代入即可求解.

【详解】

因为，可得，

又，得，

所以，

14．证明下列恒等式.

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）从左边开始，利用两角和与差的正切公式，结合平方差公式化简运算即可得到右边；

（2）根据，利用两角和的正切公式展开右边，并去分母整理得到，然后对要证等式的左边进行替换，并整理化简即得到右边.

【详解】

左边

右边，

原等式成立.

（2）∵，

∴，

∴.

∴原式成立.

【点睛】

本题考查利用两角和差的正切公式证明三角恒等式，关键难点是第二问中的证明中对两角和差正切公式的灵活运用，,是十分方便的一个变形公式，可以直接使用.10.1.3两角和与差正切

一、单选题

1．已知，则（）

A．B．C．D．

2．若，则值为（）

A．B．C．D．7

3．已知角的终边过点，则的值为（）

A．B．C．D．

4．已知，则（）

A．B．C．2D．

5．已知sinα＝，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）

A．B．C．D．

6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（）

A．B．C．D．

二、多选题

7．下列化简结果正确的是（）

A．B．

C．D．

8．在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，下列各式正确的是（）

A．tan(A＋B)＝－B．tanA＝tanB

C．cosB＝sinAD．tanAtanB＝

三、填空题

9．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所