华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题一、填空题（每小题10份，共80分）.计算：3.2-2.95 2x.计算：1 1+ 2= 0.25x2+ 2.3-14 5【答案】1【考点】计算：分数小数综合运输【解析】原式=原式= 1 0.750.912=--1—33=12.在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字，则“数学竞赛”所代表的四位数是 ．___【答案】1962【考点】组合：数字谜【解析】遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析：竞赛+数学竞赛2024赛-赛个位为4，所以赛为2或7，若赛为7则会进位，和的十位只能是奇数，所以

竞+竞个位为，若竞=2,原式为12+2012=2014数学竞赛=1962如下图，在直角三角形中，点在上且四边形是平行四边形那么为【答案】2:1,有重复数字；所以竞=6,有重复数字；所以竞=6「AC〃BE由沙漏模型可知FD:EF=AF:FB=2:1.下图是由若干块长秒3厘米，水平爬行的速度厘米、宽4厘米、高.下图是由若干块长秒3厘米，水平爬行的速度为每秒4厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？【答案】40秒【考点】组合：最值问题【解析】要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上、向下爬行的最短路程是12x2+6x2=36厘米，水平爬行的路程是12x3+2x2=40厘米，所以至少用时36+2+36+3+40+4=40秒设,,,,均是自然数，并且 < < <e+33 ++=则+的最大值为【答案】【考点】组合：最值问题【解析】a和b是五个数中最小的两个，要想a+b最大，则希望这五个数尽量接近，先估算再局部调整；300式1+2+3+4+5)=20，则先让c=20,而1+8 x2 +9x3+2x0 ,+大x于=，调整得：1+7 x2 +8x3+1x9，离+ 差，则最后让5e=5x22即可.所以a+b的最大值17+18=35也可通过计算证明a+b最大只能取到300=a+2b+3c+4d+5e>a+2b+3(b+1)+4(b+2)+5(b+3)15..、一=a+14b+26>a+6(a+1)+7b+b+26=7(a+b)+b+32>—(a+b)+32211可得a+b<35—现有甲、乙、丙三个容量相同的水池.一台型水泵单独向甲水池注水，一台型水泵单独向乙水池注水，一台型和一台型水泵一期向丙水池注水.已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多个小时，则注满丙水池的三分之二需要个小时.【答案】【考点】应用题：工程问题【解析】设注满丙池用X小时，则注满乙池用时金+4）小时，注满甲池用时（％+9）小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得：TOC\o"1-5"\h\z1 11 1 ——X+4X+9XX+9+X+4_1（%+4）G+9）x2%+13 1 ——X2+13X+36X2X2+13X—X2+13X+36X2—36X—6所以注满丙池的三分之二需要6x2―4小时注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的．而本题解法比较巧妙，设丙池的时间，最终只需要解%2—36即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路．用八块棱长为 的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如下图所示，则共有___种__不_同_的堆法．（经过旋转能重合的算一种堆法）【答案】10【考点】计数：分类枚举【解析】法一：（先每列放几块讨论）可以直接分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下4块的方法即可

mas种，．种；0种，0，（这两个不一样，此题的易错点），0种，，Es种，回E，S0，种；0种，0，（这两个不一样，此题的易错点），0种，，Es种，回E，S0，共：1+3+2+3+1=10种法二：（按每层放几块讨论）底层已用了四块小方体，考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况．见下图，第二层有一块，只有1种堆法；第二层有两块，有5种堆法；第二层有三块，有3种堆法；第二层有四块，只有1有四块，只有1种堆法．总计有10种堆法．.如图，在三角形连接交于点，则上-=DP【答案】15【考点】几何：风筝模型【解析】连接DF和EFB，D因为AF2 B,F所以 S人 =1SB，D△B C3F△ ABC-S2△ABC1 EPS同理可得4S=-S；所以力二F△EFC2△ABC DPS 4c△DCF ~S15△ABC△EFC15注：填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次．二、解答下列各题(每题10分，共40分，要求写出简要过程)有三个农村在一条公路边，分别在下图所示的 ，和处.处农场年产小麦吨，处农场年产小麦 吨，处农场年产小麦 吨.要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从到方向是每吨每千米元，从到方向每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？二500千米>■卜 1200千千 二'【答案】A处【考点】应用题：分类讨论【解析】讨论变化趋势，比较、 两点设仓库可知一运费越来越高，而一则运费越来越低，同理可知一运费越来越低，而一则运费越来越高.具体比较三点：若建在A处，运费为：60x(500 +1200)x1+10x500x1=107000元若建在B处，运费为：60x1200 x1+50x500x1.5=109500元若建在C处，运费为：50x(500 +1200)x1.5+10x1200x1.5=14550 元所以建在A处运费最低.1 2 20122013把—, ,...,2012,r013中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以20142014 20142014201为4分母的所有分数的和是多少？

【答案】【考点】数论：因数倍数【解析】全部分数都化成最简分数分母还是 ，则说明原分子和互质，接下来计算中，与 互质的数有有多少个即可，这一步有两种方法：法一：（容斥原理）2014=2-2013-_2x53_',x19x53=18,2013，l_2_-2013-_19x53_mg 2013 2013 *=1006 =105 =3719 ， 53=1；所以 中，与20132xl9互质(=52，的数有2013-(1006+105+37-52-18-1)=936个;法二：（利用欧拉公式直接计算）因为20因为20=14x2x1，所以中，与 互质的数有(1X2014x(1X2014x1--V 2八1-191A1 53)=936个而这个数中，只要有一个焉是最简分数，一定也有一个2014-”也是最简分数，JLI JLI1 2013, 3 20111两个一组和为（如：元！+刁=4；元+丽=1「所以他们的和为936+2=468.上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的（）,（），和（【现有块一颗星，块两颗星和块三颗星的积木，如果用若干个这些积木在地面上组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（下图（）是其中一种摆放方式）.【答案】【考点】计数：分类枚举、乘法原理【解析】先拆分，再算每种情况有多少种摆法即可两块：5=3+2,2种5=3+1+1,3种三块：：=2+2+1,3种四块：5=2+1+1+1,4种五块：5=1+1+1+1+1,1种共：2+3+3+4+1=13种.求此自然某自然数减去 是一个完全平方数，减去 也是一个完全平方数求此自然数【答案】 ，，，【考点】数论：因数倍数、分类讨论【解析】设这个数为a，则a-39=m2,a-144=n2=（m+n）（m-n）=（a-39）-（a-144）=105105=1x105=3x35=5x21=7x15（）m=（1+105）+2=53,a=53x53+39=2848；（）m=（3+35）+2=19,a=19x19+39=400；（）m=（5+21）+2=13,a=13x13+39=208；（）m=（7+15）+2=11,a=11x11+39=160；所以a可能为， ，和三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13如.图，圆周上均匀地标出十个点，将1~1这0十个自然数分别放到这十个点上，用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1~1分0成两组，每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式，对于每种分组都有一个两组数和的乘积．记五个积中最小的值为，问所有的摆放中，最大为多少？【答案】756【考点】组合：最值问题、构造与论证【解析】1+2+3++10=55，共要分成两组，则两组的和一定为 ，由最值原理：和一定，差小积大可知，当这两组的和分别为、时，乘积为27x28=756最大.而K要取到75，6需要构造出一种摆法能实现五个分组方式中，两个组的和都为27、28．经尝试，可以实现，构造方法不唯一，如图所示为两种不同的情况．将每个最简分数n(其中 为互质的非零自然数)染成红色或蓝色，染色规m则如下：(1)将1染成红色；(2)相差为1的两个数颜色不同；(3)不为1的数与其倒数颜色不同．问：2013 2分别被染成了什么颜色？士二和二2014 7【答案】黑染成蓝色；2染