空间向量及其运算习题

空间向量及其运算一、选择题1．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B.eq\r(41)C．4D．2eq\r(5)2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；②()－；③()－2；④(＋)＋.其中能够化简为向量的是()A．①②B．②③C．③④D．①④3．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则可表示为(用a，b、c表示)．()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,2)cC.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)cD.eq\f(1,3)a－eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＋，则x、y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)D．x＝eq\f(1,2)，y＝15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是()A．90°B．60°C．30°D．0°6．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则＋eq\f(1,2)()等于()A．B．C．D.eq\f(1,2)二、填空题7．在空间四边形ABCD中，＝________.8．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________．9．(2009·平顶山模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为________．三、解答题10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)；(2).11．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图)．求B、D间的距离．12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．空间向量及其运算(答案)A解析：设＝λ，又＝(0,4，－3)．则＝(0,4λ，－3λ)．＝(4，－5,0)，＝(－4,4λ＋5，－3λ)，由·＝0，得λ＝－eq\f(4,5)，∴＝(－4，eq\f(9,5)，eq\f(12,5))，∴||＝5.2.A解析：①；②；③；④，综上①②符合题意．3.A解析：eq\f(1,2)×eq\f(1,2)()＝×()＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.4.C解析：如图，＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)()．5.D解析：可求得∥，即BD1∥EF.6.A解析：如图所示：eq\f(1,2)()＝，＋＝.7.0解析：设＝b，＝c，＝d，则＝d－c，＝d－b，＝c－b.原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c(d－b)＝0.8.eq\f(\r(77),3)解析：设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)．＝(－1－x,3－y,4－z)由＝2得点P坐标为(－eq\f(1,3)，eq\f(8,3)，3)，又D(1,1,1)，∴||＝eq\f(\r(77),3).9.解析：建系可求得cosθ=.10.解：如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝b·[eq\f(1,2)(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16；(2)·＝[eq\f(1,2)(c－a)＋eq\f(1,2)b]·(eq\f(1,2)b＋a)＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·(eq\f(1,2)b＋a)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,4)|b|2＝2.11.解：∵∠ACD=90°，∴＝0.同理＝0.∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°.∵，∴＝＝3＋2×1×1×cos〈〉＝∴||＝2或eq\r(2)，即B、D间的距离为2或eq\r(2).12.解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋eq\f(1,2)c，＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴·＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，∴||＝eq\r(2)|a|，||＝eq\f(\r(5),2)|a|.·＝(－a＋c)·(b＋eq\f(1,2)c