《高等数学》第八章-重积分

24九月20231高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）24九月20232第八章重积分一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分（DoubleIntegrals）24九月20233主要内容第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算方法第三节三重积分第四节重积分的应用24九月20234第一节二重积分的概念与性质

第八章（Conceptionandpropertyofdoubleintegral）一、二重积分的概念二、二重积分的性质三、小结与思考练习24九月20235一、二重积分的概念解法:

类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”24九月202361)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体24九月202374)“取极限”令24九月20238有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为

,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.2.平面薄片的质量24九月202392)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量24九月202310两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:24九月202311将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数

,定义24九月202312曲顶柱体体积:平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作24九月202313二重积分存在定理:若函数定理2定理1在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,则在D上可积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数

在有界闭区域D

上除去有24九月202314二、二重积分的性质24九月20231524九月202316利用性质524九月202317内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)课外练习习题8－12；4（2）（4）；524九月202318思考与练习被积函数相同,且非负,解:

由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:24九月2023192.

设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:

因0<y<1,故故在D上有24九月202320

设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍有类似结果.在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则在第一象限部分,则有补充：积分对称性24九月202321第二节二重积分的计算方法

第八章(CalculationofDoubleIntegral)一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考练习24九月202322一、利用直角坐标计算二重积分曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的设曲顶柱体的顶为X型区域24九月202323同样,若曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算Y型区域24九月202324为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y

–型区域,24九月202325均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于当被积函数补充说明（课本没有）：24九月20232624九月202327其中D是抛物线所围成的闭区域.解:

为计算简便,先对x后对y积分,及直线则例3

计算24九月202328例5

求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为24九月202329二、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆r

=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为24九月202330即则设24九月202331特别地,对若f≡1则可求得D的面积24九月202332思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)24九月20233324九月202334其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.例7

计算24九月202335利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.注:24九月202336被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知例8求球体24九月202337内容小结直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则24九月202338则极坐标系情形:

若积分区域为24九月202339课外练习习题8－21（偶数题）；2（奇数题）；3；4；6；7（1）（3）；8（1）（3)；9（2）（4）;10（2）；11（2）（4）思考与练习1.设且求24九月2023401.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换24九月202341其中D由所围成.解:

令(如图所示)显然,2.

计算24九月202342提示:

积分域如图3.

交换积分顺序24九月202343解：原式4.

给定的次序.改变积分24九月202344其中D

为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.5.

计算24九月202345第三节三重积分

第八章(TripleIntegrals)一、三重积分的概念二、三重积分的计算三、小结与思考练习24九月202346一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用

引例:

设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为24九月202347存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域

上连续,则存在使得V为的体积,

积和式”极限记作定义

设24九月202348二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.

投影法(“先一后二”)方法2.

截面法(“先二后一”)方法3.

三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:24九月202349该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作方法1.投影法(“先一后二”

)24九月202350为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作方法2.截面法(“先二后一”)24九月202351投影法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:方法3.三次积分法24九月202352当被积函数在积分域上变号时,因为均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.24九月202353方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.小结:三重积分的计算方法24九月202354其中

为三个坐标所围成的闭区域.解:面及平面例1

计算三重积分24九月202355解:

例2

计算三重积分24九月202356就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面2.利用柱面坐标计算三重积分24九月202357因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单

;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.如图所示,在柱面坐标系中体积元素为24九月202358例3

利用柱面坐标计算三重积分，是由曲面与平面所围成的闭区域。解:闭区域可表示为于是其中24九月202359就称为点M

的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面3.利用球坐标计算三重积分24九月202360因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.如图所示,在球面坐标系中体积元素为24九月202361解:

在球面坐标系下所围立体.其中

与球面例4

计算三重积分（课本例4的特例）24九月202362内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;课外练习习题8－31（1）（3）；2；3；4；7（2）；8（2）；924九月202363思考练习1.

将用三次积分表示,其中

由所提示:六个平面围成,24九月202364其中

为由柱面所围成半圆解:

在柱面坐标系下及平面柱体.2.

计算三重积分24九月202365解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=3.

计算三重积分24九月202366计算提示:

利用对称性原式=奇函数4.

设24九月2023675.

计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.24九月202368所围,故可思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?表为解:24九月202369其中解:利用对称性6.

计算24九月202370第四节重积分的应用

第八章(ApplicationofMultipleIntegrals)一、曲面的面积二、质心三、转动惯量四、引力五、小结与思考练习24九月202371一、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA

无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则(AreaofSurface)24九月202372故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即24九月202373若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且24九月202374解:24九月202375二、质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心（Centroid）24九月202376将

分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k

块上任取一点24九月202377则得形心坐标：同理可得24九月202378若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A

为D

的面积)得D

的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x

轴的

静矩—对y

轴的

静矩24九月202379的方程为内储有高为

h

的均质钢液,解:

利用对称性可知质心在

z

轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.(补充题）若炉不计炉体的其坐标为例2

一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线24九月20238024九月202381三、转动惯量设物体占有空间区域

,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.(MomentofInertia)24九月202382对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量类似可得:24九月202383面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.如果物体是平面薄片,24九月202384