绝对值问题的求解方法

绝对值问题的求解方法、定义法例1——例1——\x-x-\997=0若方程7只有负数解，则实数a的取值范围是：分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为:+1>0?a>-1997即说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。二、利用非负性例2方程的图象是()三条直线：20j=CU-y+l=°两条直线：^+1=0(C)(C)一点和一条直线：(0,0)(D)两个点：(0,1),(—1,0)分析与解由已知，根据非负数的性质，得分析与解由已知，根据非负数的性质，得7=0,x-尹+1=0解之得：疋=_1,解之得：疋=_1,尹=0.故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。三、公式法例3已知处0，求昨卜呻+呻-他的值。分析与解加=卄川=叫...原式=同川-阳同+必也|-0|）=14网（问-网）+必啊-炖=啊-*|）（|处|+处）=啊-网）（-必+必）=0.说明本题根据公式'一讷」讣创-州，将原式化为含有同的式子，再根据绝对值的定义求值。四、分类讨论法a例4实数a满足同+总-。且总工-1，那么山+斗

a+a=0分析与解由可得&兰0且GH—1。时，说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。五、平方法例5设实数a、b例5设实数a、b满足不等式胡一S+列八°且恥°八0且恥0分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有a-(a+Z?)2<a-a+Z?||2整理得由此可知’，从而上式仅当ZgW时成立,•，即•，即L3<0且小,选B。说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。六、图示法例6在式子k+l|+k+2|+k+3|+k+4|中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（）（A）1（B）2（C）3（D）4分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D,其对应的值分别是一1、一2,-3.-4,求一点P,使P^+PB+PC+PD最小（如图）。由于PA+PD是当p点在线段AD上取得最小值3,FB+FU是当p在线段bc上取得最小值1,故刊+FE+FC+FD的最小值是4。选D。说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。七、验证法例7个含有例7个含有4重绝对值符号的方程，则（（A）0、2、4全是根（B）0、2、4全不是根（C）0、2、4不全是根（D）0、2、4之外没有根分析与解从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观察得知－2也是一根，因此可排除B、C、D,故选A。说明运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误。八、代数式零点法例&时1|+|"2|+kT的最小值是。分析与解由X+1=0jX_2=aX_3=0可确定零点为_］、2、3。原式=-3^+4>3+4；当一1兰时，原式=-^>-2+7=4；当2K3时，原式=^+2>2+2=4当x-3时,

原式=3x-4>3x3-4=5.综上知所求最小值为4。说明运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：（1）先求代数式零点，把数轴分为若干区间；（2）判定各区间内代数式的正负号；（3）依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。九、数形结合法例9已知二次函数尹®+^+c的图象如图所示，并设，则（(A)（C），则（(A)（C）McO（D）不能确定M为正、负或为0分析与解令y=ax2+bx+c中21,由图象得：^+b+c<0；令2—1令2—1得口―>0.•・•顶点在第四象限,顶点的横坐标2&又:a>0,:.2a-b>0...，即2a>0.故^--S+b+c)-(a-b-\-c")+2a-\-b-2a-^-b=-2(a-b+c)<0.选C。说明运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决。十、组合计数法例10方程^+^_3=0，共有几组不同整数解（兀刃=（A）16（B）14（C）12（D）10分析与解由已知条件可得^|+[y|=3.■■■^|>0^|>0?x<3,3.当忑=±3时，7=0；当孟二土2时，尹二±1；当X=±I时，尹=±2；共有12组不同整数解，故选C。

说明此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件，进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。十一、枚举法4a2-12-271例11已知a为整数，I是质数，试确定a的所有可能值的和。分析与解设由一吃一刃是质数P,则仃T2-27仅有因子±i