第3章微分方程模型

微分方程模型微分方程模型的建模步骤在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。例1某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。模型分析在问题中并未出现“变化率”导数”这样的关键词，但要寻在问题中并未出现“变化率”导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的》微分方程。模型假设以w（t）表示t时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为W0。2•体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为W（t）是关于,连续而且充分光滑的。3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。模型建立问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具体的数值，得输入/天=10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），输出/天=69（焦/公斤•天）心（公斤）二69w（焦/天）。.W_dW体重的变化/天=二（公斤/天）二0dt焦/天考虑单位的匹配，利用“公斤/天二41868焦/公斤”,可建立如下微分方程模型‘dW5429—69W1296—16W_U<dt4186810000Wlr_0_W0。

模型求解用变量分离法求解，模型方程等价于dW<1296WdW<1296WIt—16Wdt10000积分得1611296—16W=(1296—16W0)e10000,从而求得模型解16t12961296—16W0—~-—W=—(匕)e100001616就描述了此人的体重随时间变化的规律。模型讨论现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗?显然由W的表达式，当tT+8时，体重有稳定值是不我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下，是不dW发生变化的，所以T=0。这就非常直接地给出了W平衡81。所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平衡值，就不必去求解微分方程了！至此，问题已基本上得以解决。一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：根据规律列方程。利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分方程模型。微元分析法。寻求一些微元之间的关系式，在建立这些关系式时也要用到已知的规律与定理，与第一种方法不同之处是对某些微元而不是直接对函数及其导数应用规律。如例1。模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的建模方法。人口增长模型人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到“地球在变小”，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义。本节介绍几个经典的人口模型。模型I人口指数增长模型(马尔萨斯Maithus,1766—1834)模型假设时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r。以P(t)表示时刻t某地区(或国家)的人口数，设人口数P(t)足够大，可以视做连续函数处理，且P(t)关于t连续可微。模型建立及求解据模型假设，在t到t+at时间内人口数的增长量为P(t+At)一P(t)=r・P(t)・At9两端除以At，得到P(t+At)一P(t)

At即，单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比。令AtT0，就可以写出下面的微分方程:dPdt如果设t=t0时刻的人口数为p°,则p(t)满足初值问题:

dP=r-PdP<dtP（10）=P0⑴下面进行求解，重新整理模型方程（1）的第一个表达式，可得dP=r-dtP，9两端积分，并结合初值条件得P（t）=P0-er（t-to）。显然，当r>0时，此时人口数随时间指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Maithus模型）。如图3-2所示。3）模型检验1．19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。limP（t）=limPer（t=+82・注意到t”t”0，而我们的地球是有限的，故指数增长模型（Maithus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正。4）模型讨论为了做进一步的讨论，阐明此模型组建过程中所做的假设和限制是非常必要的。1・我们把人口数仅仅看成是时间t的函数p（t），忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响。假定p（t）是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。人口增长率是常数r,意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中。4・模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。模型II：阻滞增长模型（Logistic）一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在——或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远。在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源（包括自然资源、环境条件等因素）。随着人口的增长，资源量对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降。许多国家的实际情况都是如此。定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的。模型假设1．地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用资源1/p*(这里事实上也内在的假定了地球的极限承载人口数为p*)；2・在时刻t人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源=1-p/p*成正比；比例系数尸*表示人口的固有增长率；3・设人口数P(t)足够大，可以视做连续变量处理，且P(t)关于t连续可微。模型建立及求解由模型假设，可将人口数的净增长率•视为人口数P(t)的函数，由于资源对人口增长的限制，(p)应是P(t)的减函数，特别是当P(t)达到极限承载人口数p*时，应有净增长率r(p)=0，当人口数P(t)超过p*时，应当发生负增长。基于如上想法，可令r(p)=r*-s=r*・(1一p/p*)o用r(P)代替指数增长模型中的r导出如下微分方程模型：[dp——=r*-p-(1一p/p*)<dt&(to)=po(2)这是一个Bernoulli方程的初值问题，其解为p*p(t)=p*1+(——一1)・e-r*・(t-10)p。o。在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型(或Logistic模型)。其图形如图3-3所示。3）模型检验从图3-3可以看出，人口总数具有如下规律：当人口数的初始值p0>P*时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值p0<P*时，人口曲线（实线）单调递增；无论人口初值如何，当t八，它们皆趋于极限值P*。4）模型讨论阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用。不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程——这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。还有比指数增长模型、阻滞增长模