MBA数学必备公式打印版

.z......资料....MBA联考数学基本概念和必备公式（一）初等数学部分一、绝对值1、非负性：即|a|≥0，任何实数a的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量正的偶数次方（根式）负的偶数次方（根式）指数函数a*(a>0且a≠1)>0考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。2、三角不等式，即|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|左边等号成立的条件：ab≤0且|a|≥|b|右边等号成立的条件：ab≥0要求会画绝对值图像二、比和比例1、2、合分比定理：等比定理：3、增减性(m>0),(m>0)注意本部分的应用题三、平均值1、当为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即当且仅当。2、3、4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。四、方程1、判别式（a,b,c∈R）2、图像与根的关系△=b2–4ac△>0△=0△<0f(*)=a*2+b*+c(a>0)**1*2**1,2f(*)=0根无实根f(*)>0解集*<*1或*>*2*∈Rf(*)<0解集*1<*<*2*∈*∈3、根与系数的关系*1,*2是方程a*2+b*+c=0(a≠0)的两个根，则**1＋*2＝－b/a*1·*2＝c/a*1，*2是方程a*2＋b*＋c＝0(a≠0)的两根4、韦达定理的应用利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来：（1）（2）（3）（4）5、要注意结合图像来快速解题

五、不等式1、提示：一元二次不等式的解，也可根据二次函数的图像求解。△=b2–4ac△>0△=0△<0f(*)=a*2+b*+c(a>0)**1*2**1,2f(*)=0根无实根f(*)>0解集*<*1或*>*2*∈Rf(*)<0解集*1<*<*2*∈*∈2、注意对任意*都成立的情况（1）对任意*都成立，则有：a>0且△<0（2）a*2+b*+c<0对任意*都成立，则有：a<0且△<03、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点六、二项式1、，即：与首末等距的两项的二项式系数相等2、，即：展开式各项二项式系数之和为2n3、常用计算公式4、通项公式(△)5、展开式系数容列表归纳如下：二项式定理公式所表示的定理成为二项式定理。二项式展开式的特征通项公式第k＋1项为，k＝0，1，…，n项数展开总共n＋1项指数a的指数：由；b的指数：由；各项a与b的指数之和为n展开式的最大系数当n为偶数时，则中间项（第项）系数最大；当n为奇数时，则中间两项（第和项）系数最大。展开式系数之间的关系1．，即与首末等距的两项系数相等；2．＋……，即展开式各项系数之和为；3．，即奇数项系数和等于偶数项系数和七、数列（二）微积分部分一、函数、极限、连续1、单调性：（注意严格单调与单调的区别）设有函数y=f(*)，*∈D，若对于D中任意两点*1，*2(*1<*2)，都有f(*1)≤f(*2)(或f(*1)≥f(*2))，则称函数f(*)在D上单调上升(或单调下降)。若上述不等号为严格不等号“<”(或“>”)，则称函数f(*)在D上严格单调上升(或严格单调下降)。2、奇偶性：（1）定义：设函数y=f(*)的定义域D关于原点O对称，若对于D中的任一个*，都有f(–*)=–f(*)(或f(–*)=f(*))，则称函数f(*)为奇函数(或偶函数)。（2）图像特点：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，函数y＝0既是奇函数，也是偶函数。3、4、常用等价无穷小：当*0时，有e*－1～*ln(1＋*)～*(1＋*)n－1～n*引申：当(*)0时，ln(1＋(*))～eα(*)－1～(*)，(1＋(*))n－1～n·(*)5、当*+时，增长速度由慢到快排列：ln*，*α，α*，**6、7、闭区间上连续函数的性质（1）最值定理一个闭区间函数一定在*一点，达到最大值，在*一点达到最小值。（2）零值定理设f(*)∈C([a,b])，且f(a).f(b)<0，。注意：零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。应用：f(*)=0是一个方程，证明它在*一个区间上一定有根。二、一元函数微分学1、导数的数学定义式2、可导与连续的关系3、左右导数4、导数的几何意义设点M0(*0,f(*0))是曲线y=f(*)上的上点，则函数f(*)在*0点处的导数f’(*0)正好是曲线y=f(*)过M0点的切线的斜率k，这就是导数的几何意义。切线方程，（2）切线平行*轴切线方程：y=f(*0)，法线方程：*=*0(3)切线平行y轴切线方程：*=*0，法线方程：y=f(*0)常见函数求导公式f(*)C*a*e*loga|*|ln|*|f’(*)0*-1－a*lnae*6、7、高阶导数（掌握二阶导数即可）常见函数的二阶导数f(*)C*a*e*Loga|*|ln|*|f’(*)0*-1a*lnae*f’’(*)0(-1)*-2a*(lna)2e*8、可导、可微、连续与极限的关系可导一定连续，连续不一定可导极限连续极限连续可导可微可微9、奇偶函数，周期函数的导数（1）可导的偶函数的导函数为奇函数，且f‘(0)=0（2）可导的奇函数的导函数为偶函数（3）可导的周期函数的导函数仍为同周期函数10、微分公式（*核心*）：11、＝A12、判断函数的增减性，求函数单调区间（1）单调性定义（2）判别方法：用f’(*)判断注意：设f(*)在(a，b)区间可导则f(*)在(a，b)严格单调增加(减少)的充分条件是f’(*)＞0(f’(*)＜0)13、极值点的定义（局部最大或局部最小）（1）定义：设y＝f(*)，若对*(*0－，*0＋)均有f(*)≤f(*0)(f(*)≥f(*0))则称*0为f(*)的极大值点(极小值点)，f(*0)为极大值(极小值)。（2）判定方法：两个充分条件第一充分条件：

若f(*)在*0处连续，在*0的邻域可导，且当*<*0时，f’(*)>0,(f’(*)<0)当*>*0时，f’(*)<0,(f’(*)>0)，则称*0为极大值点(极小值点)。第二充分条件：设f(*)在*0点的*一领域可导且f’(*0)＝0，f’’(*0)≠0注意：，有可能为极值，也可能不是极值。（3）极值存在的必要条件若*0为f(*)的极值点，且f’(*0)存在，则f’(*0)＝0注：f’(*0)＝0不能推出*0为f(*)的极值点如：y＝*3，在*＝0处必有y’＝014、驻点(稳定点)（1）（2）15、函数的最值及其求解（1）若f(*)在[a，b]上连续，则f(*)在[a，b]上必有最大值、最小值（2）设函数f(*)在[a,b]上连续，在(a,b)有一个极值点*，则若*是f(*)的极大值点，则*必为f(*)在[a,b]上的最大值点；若*是f(*)的极小值点，则*必为f(*)在[a,b]上的最小值点。（3）求最值的方法（最值是[a,b]整体概念，极值是局部概念）(a)求f(*)在(a,b)所有驻点和导数不存在的点(b)求出以上各函数值及区间[a,b]端点的函数值(c)比较上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值最大值：M:ma*{f(a)，f(b)，f(*1)，……，f(*0)}最小值：m:min{f(a)，f(b)，f(*1)，……，f(*0)}其中：*1，……，*0为f(*)所有可能的极值点16、驻点、极值点、最值点的联系与区别驻点边界17、函数的切线与法线切线与法线求法18、函数凹凸性及其判定（1）凹弧（a）定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧（b）凹弧的切线斜率随着*的增大而增大，即f’(*)单调递增（c）设f(*)在(a，b)上二阶可导，f(*)为凹弧的充要条件为f’’(*)≥0*(a,b)(2)凸弧（a）定义：若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧（b）凸弧的切线斜率随着*的增大的而减小，即f’(*)单调递减（c）设f(*)在(a,b)二阶可导，f(*)为凸弧的充要条件为f’’(*)≤0(3)常见函数的性质f(*)a*(a>1)a*(0<a<1)loga*(a>1)loga*(0<a<1)f’(*)a*lnaa*lnaf’’(*)a*(lna)2a*(lna)2图像性质增，凹减，凹增，凸减，凹19、拐点及其判定（1）定义：曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。二阶导数从大于0到小于0，或从小于0到大于0，中间的过渡点称为拐点。（2）必要条件：f’’(*)存在且(*0，f(*0))为拐点，则f’’(*0)＝0（3）充分条件：若f’’(*0)＝0，且在*0的两侧f’’(*)异号，则(*0，f(*0))是拐点三、一元函数积分学1、不定积分与导数的关系2、基本初等函数的不定积分公式（1）（2）（），，（3）（4），（5）（6）（7）4、5、奇偶函数的积分四、多元函数1、偏导的定义设函数z=f(*,y)定义在P0(*0,y0)点的一个邻域，若将y固定在y0，作为*的函数f(*,y0)在*0点处的导数称为函数f(*,y)在P0(*0,y0)点处对*的偏导数，记作2、一般极值（1）（2）（4）（三）线性代数部分一、矩阵1、矩阵的乘法一般没有交换律，即；常见可交换矩阵：逆A-1：AA-1=A-1A=E单位矩阵E：AE=EA=A数量矩阵kE：A(kE)=(kE)A=kA零阵0：A0=0A=0幂：AmAn=AnAm=Am+n伴随A*：AA*=A*A=|A|E(重要)2、，当且仅当A或B可逆时才成立；对于，应该认识到B的每一列都是齐次方程组A*＝0的解，若，则齐次方程组有非零解；3、，当且仅当A可逆时，才成立；4、，当且仅当A可逆时，有A＝E；当A－E可逆时，有A＝0；，仅当A为对称矩阵，即时，命题才成立；5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：。6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式逆转置伴随一般一般互换性：，，，；即这四种符号（-1，T，*，k）可以进行互换，以简化运算。7、重要结论与公式（2）A与B的行向量相互等价不改变列向量的线性关系（一般用初等行变换求矩阵的秩）r（A）=r（B）（4）类似|*+y|≤|*|+|y|P(A+B)≤P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)（5）（6）B可逆r（AB）=r（A）B不可逆r（AB）<r（A）r（AB）=r（A）=1A中任意两行成比例r（A）=1A=Br（A）=r（B）A=0r（A）=0重点掌握以下矩阵可逆性的判断：设A为n阶矩阵，有以下等价命题r（A）=n（满秩矩阵）A可逆|A|≠0AT可逆r（A*）=nA*可逆A的n个列（行）向量线性无关，即A列（行）满秩A*=0只有零解A*=β有唯一解二、向量组1、线性相关性基本定义2、常见相关性归纳（3）包含0向量的任何向量组，线性相关.m>n时，则其线性相关.三、线性方程组（一）关于方程组解的性质（二）含有参数的线性方程组的求解。1．齐次线性方程组A*＝0解题提示：对系数矩阵A进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：（1）线性方程组只有零解，即r(A)＝n；（2）线性方程组有非零解，即r(A)<n，并将非零解求出来。2．非齐次线性方程组A*＝β解题提示：对增广矩阵进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：（1）线性方程组无解，即；（1）线性方程组有唯一解，即；（2）线性方程组有无穷多解，即，并将解求出来。3、如果有一组向量，则是否可以由线性表示，可以转化为非齐次线性方程组解的情况，若无解，则不能线性表示；若有唯一解，则能够唯一线性表示；若有无穷多解，则能够线性表示，且表示方式不唯一。4、有关基础解系的问题解题提示：*一个向量组要是方程组的基础解系，需要满足三个条件：（1）该向量组中的每个向量都满足方程A*＝0；（2）该向量组线性无关；（3）该向量组中向量的个数等于n-r(A)；或方程组的任一解向量都可由该向量组线性表示。四、特征值和特征向量（二）性质1、2、3、4、5、6、一个特征值可以对应多个特征向量，但一个特征向量只能对应一个特征值7、（三）归纳列表如下矩阵特征值特征向量KAAmA-1A*f（A）AT无法确定是否相同（四）概率论部分一、随机事件部分1.事件间的四种关系(1)包含AB(2)相等A=B(两个事件A,B样本点完全一致)(4)互斥：AB=Ø2.事件间的三种运算(1)和(并)：A+B=AB3.概率运算公式(1)若AB，则有P(A)≤P(B)和P(B-A)=P(B)-P(A)(2)P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)-P(A-B)=P(B)4.条件概率，P(A|B)实质为事件A的概率5.乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)6.全概公式(3)贝叶斯公式：(逆概)7.事件的独立性()(1)定义：P(AB)=P(A)P(B)(2)特殊情况：a.Ø与任何事件相互独立b.Ω与任何事件相互独立c.P(A)=0的事件A与任事件相互独立(4)当P(A)P(B)>0时若A与B相互独立，则A与B必不互斥(独立不互斥)若A与B互斥，则A与B必不独立(互斥不独立)注意：Ø与任事件即互斥也独立8.判断A与B相互独立的充要条件(1)定义P(AB)=P(A)P(B)(2)P(B|A)=P(B)(P(A)>0)或P(A|B)=P(A)(P(B)>0)，即：B的发生不受A的影响(3)0<P(A)<1即：A发生与否不影响B的概率P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB)P(AB)=P(A)P(B)四组事件中，若其中一组相互独立，则其余三组也相互独立，则其余三组也相互独立(6)求“n个事件至少有一个发生时”转化为其对立事件“都不发生”9．独立试验序列(1)贝努里：n次试验中成功k次的概率：(2)直到第k次试验，A才首次发生：(3)做n次贝努里试验，直到第n次，才成功k次：二、随机变量部分1、常见随机变量的分布表如下：随机变量E*D*密度函数f(*)离散型0–1分布PP(1–P)P{*=k}=Pk(1-P)1-k,k=0,1二项分布nPnP(1–P)连续型正态分布u标准正态分布u=02、离散型随机变量（1）分布律Pk=P(*=*k)，k=1，2，┅**k*1*2┅*k┅PkP1P2┅Pk┅（2）分布律的性质(1)有界性：0≤Pk≤1应用：求待定参数值，注意求完参数要验证3、二项分布（1）定义（2）各参数的意义参数n：试验次数为n次；参数P：每次试验成功的概率参数k：n次试验中成功k次（3）二项分布产生的背景可以是n重贝努利试验，若用*表示n重被努力试验中事件A发生的次数，则*服从参数为n,p的二项分布，其中p是一次试验中事件A发生的概率。，4、分布函数F(*)F(*)=P(*≤*)(1)定义：F(*)在*处函数值表示点*落入区间(-，*]上的概率(2)公式：P(*1<*≤*2)=P(*≤*2)-P(*≤*1)=F(*2)-F(*1)(3)分布函数性质：1)值域：0≤F(*)≤12)极限性质(**)，应用：求参数值3)单调性：单调不减(单调增)即若*1<*2，有F(*1)≤F(*2)4)F(*)右连续注意：前四个性质，用来判断函数是否为分布函数5)P(*=*)=F(*)-F(*-0)6)对于*1<*2，有P(*1<*≤*2)=F(*2)-F(*1)7)对*1<*2，F(*)在*1，*2处连续P(*1≤*≤*2)=P(*1<*≤*2)=P(*1<*<*2)=P(*1≤*<*2)=F(*2)-F(*1)5、连续型随机变量密度函数f(*)的性质(1)非负性：f(*)≥0，即f(*)与*轴所围面积为1应用：求待定参数值注意：前两个性质用来判断函数是否为密度函数的标准(3)对于*1<*2有P(*1<*≤*2)=P(*1≤*≤*2)=P(*1≤*<*2)=P(*1<*<*2)6、正态分布*~N(，2)(1)正态分布密度函数(2)f(*)图像特点密度函数的曲线关于*=μ对称，μ是正态分布的位置参数它在*=μ时取到最大值P(μ)=越大，密度函数的取值越小；σ越小，其值越大，由于密度函数曲线与*轴之间的面积总是1，所以σ越大表明密度函数的曲线越矮越胖，而σ越小，密度函数的曲线越瘦高。*离μ越远，P(*)的值越小，表明对于同样长度的区间，区间离μ越远，*落在这个区间上的概率越小。，这一条性质非常有用，应好好掌握。P(*≤)=P(*≥)期望E*=7、一般正态分布的标准化（非常重要）8、密度函数f(*)为偶函数的重要结论(2)F(-a)=1-F(a)-aa-aaF(-a)1-F(a)(3)P(|*|<a)=2F(a)-1(a>0)分析：P(|*|<a)=P(-a<*<a)=F(a)-F(-a)=2F(a)-1(4)P(|*|>a)=1-P(|*|<a)=2(1-F(a))(5)若E*存在，则E*=09、数学期望有以下重要性质：若C为常数，则E(C)=C.若*为一个随机变量，C为常数，则E(