第12讲主从联动模型(原卷版)

中考数学几何模型12:主从联动模型名师点睛①名师点睛①当轨迹为直线时揭秘：将点P看成主动点，点Q看成从动点，当P点轨迹是直线时，0点轨迹也是一条直线.可以这样理解：分别过A、0向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,所以0N始终为AM的一半，即0点到的距离是定值，故0点轨迹是一条直线，且Q点运动路径长为P点运动路径长的一半.?思考2如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且ZPCQ为定值，当点P在直线AB上运动，请探究点Q的运动轨迹.

住）UA）揭秘：当CP与C0夹角固定，且AP=AQ时，P、住）UA）揭秘：当CP与C0夹角固定，且AP=AQ时，P、0轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1.可以这样理解：易知△CPPZACPPi,则ZCPPi=CQQn故可知Q点轨迹为一条直线.900?思考3如图，点C为定点，点P是直线AB上的一动点，以CP为斜边作RtACPQ,且ZP=30°,当点P在直线AB上运动，请探究点Q的运动轨迹.庄）揭秘ppCP揭秘:条件CP与Q2夹角固定时，P、0轨迹是同一种图形，且有一=—可以这样理解：由CPQ^ACPiQi,易得△CPPi^ACPPi,则ZCPPi=CQQi,故可知Q点轨迹为一条直线.

总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量：主动点、从动点到定点的距离之比是定量.结论：主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角当主动点、从动点到定点的距离不相等时,从动点运动路径_从动点到定点距离主动点运动路径一主动点到定点距离当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长:当主动点、从动点到定点的距离不相等时,从动点运动路径_从动点到定点距离主动点运动路径一主动点到定点距离典题探究启迪思维探究垂点例题1・如图，在等边ZiABC中，AB=10,BD=4,BE=2,点P从点£出发沿EA方向运动，连结PD以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是■变式练习》＞如图，在平面直角坐标系中，A（-3.0），点3是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP,点B在y轴上运动时，求OP的最小值.22例题2.如图，正方形ABCD的边长为4,E対BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为・AD变式练习》＞（2017秋•江汉区校级月考）如图，"BC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，△EDM为等边三角形.若点E从点B运动到点A,则M点所经历的路径长为・

C例题3・如图，已知点A是第一彖限内横坐标为2馆的一个定点，AC丄x轴于点交直线于点N,若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30。，BA丄Pb则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点0运动到点N时，点3运动的路径长是・变式练习》＞(2019-东台市模拟)如图，平面直角坐标系中，点A(0,-2),B(-1,0),C(・5,0),点D从点B出发，沿x轴负方向运动到点C,E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持"ED〜△AOB,则点E运动的路径长为・

名师点睛②当轨迹为弧线时思考1如图，名师点睛②当轨迹为弧线时思考1如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,0为AP中点.当点P在圆0上运动时，0点轨迹是？揭秘：0点轨迹是一个圆，考虑到0点始终为AP中点，连接A0,取A0中点则M点即为0点轨迹圆圆心，半径M0是0P—半，任意时刻，均有△AM0S/V1OP,鬻=兽=+小结：确定0点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、0、P始终共线可得：A、0三点共线,由0为AP中点町得：AM=l/2A0.0点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.999•••思考2:如图，P是圆0上一个动点，A为定点,连接AP,作A0丄AP且AQ=AP.当点P在圆0上运动时，0点轨迹是？揭秘：0点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得A0故0点轨迹与P点轨迹都是圆•接下来确定圆心与半径.考虑AP丄A0,可得0点轨迹圆圆心M满足AM丄AO；考虑AP-AQ.可得0点轨迹圆圆心M满足AM=AO.且可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置，任意时刻均有ZkAPO丝△A0M・思考3:如图，LAPQ是直角三角形，Z创2=90。，且AP-2AQ.当P在圆O运动时，0点轨迹是？揭秘：考虑AP丄A0,可得0点轨迹圆圆心M满足AM丄AO：考虑AP：AQ=2：1,可得0点轨迹圆圆心M满足AO：AA/=2：1・即可确定圆M位置，任意时刻均有△4POsAA0M,且相似比为2・

推理：（1）如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接以AP为一边作等边△AP0当点P在圆0上运动时，0点轨迹是和圆0全等的一个圆.（2）如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角△4P0当点P在圆0上运动时，0点轨迹为按AP：AQ=AO：AA/=V2：1的比例缩放的一个圆.总结：为了便于区分动点P、0可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”・此类问题的必要条件：两个定量，即：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/刊0是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：40是定值）・结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM-,（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点距离之比：AP：AQ=AO：AM,也等于两圆半径之比,也等于两动点运动轨迹长之比，按以上两点即可确定从动点轨迹圆，0与P的关系相当于旋转+伸缩.古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”•

典题探究启迪思维探究垂点例题4・如图，点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0)，点M是圆P上的动点，点C是A/B的中点，则AC的最小值是・变式练习＞»如图，在等腰RtAABC中，AC=BC=2忑，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P从点A运动至点B时，点M运动的路径长为・

例题5・如图，正方形ABCD中，AB=2©0是BC边的中点，点E是正方形内一动点，0E=2,连接D&将线段绕点D逆时针旋转90。得DF,连接AE、CF.求线段OF长的最小值.变式练习》＞'ABC中，AB=4,AC=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点、O,则线段AO的最大值为■名师点睛③当轨迹为其他种类时名师点睛③当轨迹为其他种类时根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是.典题探究启迪思维探究重点例题6.如图，在反比例函数y=--的图像上有一个动点儿连接AO并延长交图像的另一支于点XB,在第一象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数v=-的图像上运动，•x若tanZCAB=29则R的值为（）变式练习＞»（2017•深圳模拟）如图，反比例函数）=克的图彖上有一动点A,连接AO并延长交图彖的另一支于点B,在第二彖限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动NanZCAB•rX

例题7・如图，A（-14）,B（丄4）,C（-54），点P是aABC边上一动点，连接0P,以0P为斜边在0P的右上方作等腰直角△OPQ,当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面枳为・变式练习》＞（2017春•工业园区期末）如图，AABC的面枳为9,点P在氐ABC的边上运动.作点P关于原点O的对称点0，再以P0为边作等边△P0M.当点P在aABC的边上运动一周时，点M随之运动所形成的图形面积为（）A・3E・A・3E・9C・27D.9^3例题&如图所示，AB=4,AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD,连接AD并延长至点P，使则PB的取值范|韦1为・变式练习》＞(2018秋•新吴区期末)如图己知：正方形OC4B,A(2,2),Q(5,7),AB丄y轴，AC丄x轴，OA.BC交于点P,若正方形OCAB以O为位似中心在第一彖限内放人，点P随正方形一起运动，当P0达

到最小值时停止运动•以P0的长为边长，向P0的右侧作等边'PQD,求在这个位似变化过程中，DE.6C.2^/13D.4E.6C.2^/13D.4例题9・（2019秋•斫II区期中）如图，一副含30。和45。角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC与EF重合,BC=4品m.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动，当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为脚・A(E)BC(F)变式练习＞»（2018-金华模拟）如图，RtAABC中，BC=4,AC=S,RtAABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点人由0点出发沿丫轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点0滑动，直到与点0•r重合时运动结束.在这个运动过程中.（1）AB中点P经过的路径长・达标检测领悟提升强化落实（2018ft-黄冈期中）在aABC中，ZR4C=90°,AB=AC=2cm,线段BC上一动点P从C点开始运动,到3点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△AP0则0点运动的路径为_cm如图，在矩形ABCD中，AB=4,ZDCA=3Q^点尸是对角线AC上的一个动点，连接DF,以DF为斜边作ZDFE=30啲直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是・（2019・铜山区二模）如图，己知点M（0,4）,N（4,0）,开始时，△ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长3.（2018-宝应县三模）在RtAABC中，ZC=90°,AC=2^BC=2,若P是以AB为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接CP,过P向下作PM丄CP,且有PM=0.5CP,如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长是_.\/如图，已知线段AB=S.0为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持0P=2不变，连结肿，将绕点P逆时针旋转90。到PG连结BC.AC.则线段AC长的最人值是・（2017-江阴市二模）如图，线段AB为的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点P是<90上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtAPCD,且使ZDCP=60。,连接OD,则OD（2018*建湖县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（4,0）.B（0,-3）,以点B为圆心、2为半径的0B上有一动点P・连接AP,若点C为AP的中点，连接OC,则OC的最小值为・（2016-江岸区校级模拟）如图，线段AB=2,C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF,连EF,点P为EF的中点.当点C从A运动到3时，P点运动路径长为・CTOC\o"1-5"\h\z&(2019秋•江岸区校级月考)如图，正ZkABC中，AB=2,AD丄BC于D,P,0分别是AB,BC上的动点，且PQ=AD,点M在P0的右上方且PM=0M,ZM=120。，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为・BDQC9.如图，点P(人0)(?>0)是x轴正半轴上的一定点，