黑龙江省2021年普通高中学业水平考试数学试题含解析

2021年黑龙江省普通高中学业水平考试数学学科试卷一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的（每小题5分，共60分）.直线眾+斗在孟轴上的截距是（）A.-5B.-4C.4D.5【答案】B【解析】【分析】求出直线与孟轴交点的横坐标即可.【详解】当^=°时，代入5x+4^+20二°可得：忑二V.故选：B【点睛】本题考查直线在坐标轴上截距的概念，考查基本运算求解能力.已知直线范+3二°与直线弓工+⑻-1）p+负二°平行，则实数锲二（）A.-2B.3C.5D.-2或3【答案】A【解析】【分析】根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果.【详解】当炖三i时，显然不符合题意，所以唧註1,TOC\o"1-5"\h\z_P-J?¥_£由他+2y+弓二0得，由3x+（^-l）7+rn=0得，二•22m-[m-1m_3所以|厘，解得勰二—2.3m——H—-2m—\故选：A.【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题.椭圆的两个焦点分别为珥-&山、码艮「，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20,则椭圆的方程为

A.36100B.22卜戸-336A.36100B.22卜戸-336201210036C.400【答案】B【解析】【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b,即可得椭圆的方程.【详解】已知两个焦点的坐标分别是F］（-8，0），F2（8，0），可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，由椭圆的定义可得：2a=20,即a=10，由a，b，c的关系解得b=J/—J=6・・・椭圆方程是，故选B10036【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.平行于直线厂-卜且过点（Z1）的直线方程为（）A.2x_尹一3二0B.2x+y—5二0C.斗斗驴=UD.x+2y-4=0【答案】D【解析】【分析】根据平行线斜率的性质，结合代入法进行求解即可.【详解】与直线厂-卜平行的直线』可设为：戸=—g忑b否直线』过点CN1）,故选：D所以有1所以有1二-|y+2=>z+2^-4=0,x轴上任一点到定点e习、（i,i）距离之和最小值是（）A.B.2+J^C.JlQD.+l【答案】C【解析】【分析】求出(0,2)关于x轴的对称点，连接对称点与(1,1)，即可求出距离之和的最小值.【详解】x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和最小值，就是求解(0,2)关于x轴的对称点，连接对称点与(1,1)的距离即可，因为(0,2)关于x轴的对称点为〔。厂2〕，所以『十〔1十二血.即X轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和最小值是*5.故选：C已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点(一2,—3)，则点P(x,y)到原点的距离是()A.4B.尿C.姑D.V17【答案】D【解析】乳一25-3【详解】因为点我厂可关于点对称，所以有，解得工二4』二1•所以点0(4,1)到原点的距离为=茨，故选D已知喘是实常数，若方程++=0表示的曲线是圆，则喘的取值范围为()A，两曲B.C.工妙D.20,-Ko.【答案】B【解析】【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数喘的不等式，解出即可.【详解】由于方程/+於+加+4尹+哩二0表示的曲线为圆，则22-h42-4rn>0，解得腆c5.因此，实数将的取值范围是故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题若双曲线的一条渐近线经过点3,-4!，则此双曲线的离心率为abA.B.4C-3D.A.B.4C-3D.【答案】D【解析】?y3【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点（3,-4）,ab..逖二也…9（c3-a3）=l^3,e=-=-.a3故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口•与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线4-4=1共渐近线的可设为季-茸=九（只盖0）；（2）茁社a护若渐近线方程为，则可设为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半◎ab32,M_2轴长&；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线aba\a的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.两圆G：乳+>"=1和十P_—5=0的位置关系是A.相交B.内切C.外切D.外离【答案】B【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径的关系，即可得到结果【详解】由圆二刁的圆心为（Q0）,半径为1，圆^3+/-4x-5=0圆心为行』）半径为3，所以圆心距为2,此时2=3-1，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.【点睛】本题主要考查了两个圆的的位置关系的判定，其中熟记两圆的位置关系的判定方法，准确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.双曲线的离心率大于庞的充分必要条件是（）mA.B.C.凤AlD.酬n222【答案】C【解析】【分析】由方程确定厲』，求出亡后得离心率，列不等式可得喘范围.Qf【详解】由题意双曲线的离心率为，忑，朋A1.m1故选：C.已知抛物线?=Sz，定点人（4,2），F为焦点，P为抛物线上的动点，则M+H的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义把F到焦点的距离转化为卩到准线的距离即可得.【详解】如图，作尸◎册与准线“J垂直，垂足分别为2”，则|^el=l^l，円'l+lPA\^\PQ\+\PA\>\AN\^6，当且仅当Q,P,A三点共线即F到飒重合时等号成立.故选：B.0P//'Ox=-2在坐标平面内，与点A\,2'距离为1,且与点B3J'距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B

【解析】【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y=kx+b,即kx—y+b=O,所以八丙所以八丙解之得k=0或七二-首'所以所求直线方程为y=3或4x+3y—5=0,所以符合题意的直线有两条，选B.二、填空题：（每小题5分，共20分）・若^+2^+2=0与直线3x-y-2=0垂直，那么耳=2【答案】【解析】【详解】由两条直线垂直知号x寸二-1，2得口二亍已知A【-N-A,B（5,1），则以线段AB为直径的圆的方程的一般式为.【答案】川+b-2工+乜-20=0.【解析】【详解】试题分析：以AB为直径的圆的圆心为AB的中点，坐标为（1，—2），半径为所以圆的标准方程为：•兀—13+•，+"*二2b，转化为普通方程为?2x447-20=0.考点：考查了圆的一般方程.点评：解本题的关键是根据圆心坐标和半径先求出标准方程，再转化为圆的一般方程.已知点皿（询在直线或+®二15上，则&护的最小值为.【答案】3【解析】【分析】将J"屮的最小值转化为原点到直线衣+4》二15的距离来求解.=6=6【详解】可以理解为点到点9丄)的距离，又•••点就備)在直线3x^4y=^上,.|3xO+4xO-15|的最小值等于点(°，°)到直线3^+47-15=0的距离，且吐=故答案为：3【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.已知点理-3厂4),思33到直线厂般亠严1=0的距离相等，贝y实数&的值为17【答案】或【解析】【分析】利用点到直线的距离求解.【详解】因为点找-3厂4),月33到直线皿廿+1=0的距离相等，17解得或门二_§，17故答案为：一召或三、解答题(共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知三角形ABC的顶点坐标为A(—1,5)、B(―2,—1)、C(4，3)，M是BC边上的中点。求AB边所在的直线方程；求中线AM的长【答案】(1)6疋一/+11=0⑵2^5【解析】【分析】(1)由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率,，由点斜式得直线方程;(2)由中点坐标公式求得中点M坐标，由两点间距离公式计算可得.【小问1详解】由两点式写方程得7-5-1-5忑+1-2+r由两点式写方程得7-5-1-5忑+1-2+r即6疋一^+11=Q.或直线川月的斜率为疋二-1-5-2-(-1)直线/月的方程为^-5=6x+b，即6^-^+11=0【小问2详解】设M的坐标为心,时,则由中点坐标公式可得闻二2："二1必二〔J二］,故M川，AM=』1十1#十门一5『=2怎（1）求焦点的坐标分别为炉厂习，且过点户（¥，习的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点Q（Q_g）的椭圆标准方程.【答案（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意椭圆的焦点在卩轴上，且，结合却二^十芒即得解；（2）设椭圆的方程为唧/+勞'=1,待定系数即得解【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在卩轴上，设椭圆方程为a由椭圆定义，皿故农=5,c=3rb=&=422故椭圆的标准方程为：2516（2）不妨设椭圆的方程为：噁严+勞'二111—期+—m=1:9，解得^=5^=4—刃=1ip5?+4^2=1丁+兀_]故椭圆的标准方程为：45已知圆U:H—2乂+4护—4=0和直线/:+9=0，点p是圆c上的动点.(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)求点P到直线F的距离的最小值.【答案】(1)圆心坐标1-2'，半径为孑；(2)1【解析】【分析】(1)将圆化为标准方程：，即可求解.(2)求出圆心到直线的距离，减去半径即可.【详解】(1)由圆C:?+/-2z+^-4=0,化为•疋一11+=9,所以圆C的圆心坐标1.-2'，半径为H.3xl-4xi：-21+9(2)由直线/3xl-4xi：-21+9所以圆心到直线的距离/,=4所以圆心到直线的距离/护+T，所以点p到直线』的距离的最小值为4-3=1.【点睛】本题考查了圆的标准方程、写出圆的圆心与半径、点到直线的距离公式，属于基础题求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点分别为(°厂6,Q6〕,且经过点*邛)；(2)经过点◎屁,I-•「•；【答案⑴【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，代入点坐标，结合”=护十护，即得解;a护（2）设双曲线的方程为用+新=1（血7，代入点坐标，待定系数即得解【小问1详解】,2t_2由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程ab'=贰+/=3右3G琳q!h1-1j=1G解得::护=魁所以所求双曲线的标准方程为1620【小问2详解】设双曲线的方程为：^5—（血⑴代入点坐标得到："16A+佃二1■=1解得：卫一故双曲线的标准方程为：4S已知抛物线才=2px的准线方程为X=-1.（1）求p的值；（2）直线交抛物线于A，B两点，求弦长国行|,【答案（1）2（2）8【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程直接求出占即可；(2)设丿耳JV，行忌;V，联立方程，利用韦达定理求得忑+花，工迁，再根据弦长公式即可得解.【小问1详解】解：因为抛物线才二2px的准线方程为X二-1，所以彳二1，所以P~^；【小问2详解】解：设且耳外，0呵必’，J=^-1.由|2』，消去卩，得怎一心+1=0,»=4x则罚+心二「羽心二1,所以^已知在平面直角坐标系兀內中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-屈®，右顶点为巩2®,设点丿卩远〕•求该椭圆的标准方程；过原点。的直线交