数论笔记素数分布的等价性

数论笔记：素数分布的等价性ANoteonNumberTheory:TheEquivalenceofTheDistributionofPrimeNumbers摘要：哥猜与孪猜同源。本文从素数的起源出发，提出了等距区间素数分布的等价性，推出了孪生素数猜想和哥德巴赫猜想的下限式，为孪生素数猜想和哥德巴赫猜想的解决提供了新的思路。AbstractGoldbachconjectureandthetwinprimeconjecturearehomologous.Thepaperfromtheprimeorigin,proposestheequivalenceofthedistributionofprimenumbersonequidistantintervals,andderivesthelowerlimitofthetwinprimeconjectureandgoldbachconjecture,whichprovidesanewideaforsolvingthetwinprimeconjectureandgoldbachconjecture.关键词：Φ(m)函数；互质；等价性；孪生素数猜想；哥德巴赫猜想Keywords:Φ(m)Function；Co-Prime；TheEquivalence；TheTwinPrimeConjecture；GoldbachConjecture作者：张伟：成都大学经济管理学院，四川，成都E-mail:tianshi20122013@

WeiZhang:CollegeofeconomicsandmanagementChengduUniversity,China

不超过x的素数个数[1][2]设1～7之间的素数个数为π(7)，7～72之间的素数个数为π7～72之间的素数个数为π在1～7之间，若素数2，3，5，7的排列顺序不变，区间7～72之间生成π'(72)个素数，区间7～72之间生成π'(72)个与2，3，5，7互质的整数，区间[1，7又等价于命题：在任意连续的7个自然数中，若2，3，5，7的倍数与1～7之间2，3，5，7的倍数排列顺序相同，与区间7～72等距的相邻区间将生成π'72个与2，3，因此，对于任一区间[72k+1，72(k+1)]，此区间与区间[1，72]相比，在其中任意连续的7个自然数中，若2，3，5，7的倍数与1～7之间2，3，5，7的倍数排列顺序相同，区间[7引理1：区间[72k+1，72(k+1)]与2，3，证明：等距区间[72k+1，72(k+1)]与区间1，72相比，在其中任意连续的7个自然数中，若2，3，5，7的倍数与1～7之间2，3，5，相同，由自然数的连续性可知，在其相邻反方向上与区间7～7即其中区间[72k+1，72(k+1)]中，最多生成1+π'(72)+1即：等距区间[72k+1，72(k+1)]与2，3，5，7因此，区间[72k+1，72(k+1)]与2，3，如：k=4，等距区间197，2451211，213，215，217，221，223，227，229，233，239，241整数210左右两边，由欧拉函数可知，

不超过7×2×3×5×7=7×210与2,3,5,7互质的奇数个数为7×(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)，

其中：区间[72k+1，72(k+1)]的个数为7×21072

则：7×(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)<［=12×72×Π(1-1p)-1(设1～72之间的素数个数为π(72)，则：π72将上式中的7换成素数P，P～P2之间的素数个数为π'引理2：区间[P2k+1，P2(k+1)]与p(p由欧拉函数可知，不超过PΠp与p互质的奇数个数为PΠ(p-1)，

其中：区间[P2k+1，P2(k+1)]的个数为P×ΠpP2

则：PΠ(p-1)<［不超过P2的素数个数为πP2，则：

πP2>12×P2Π将上式中的P2换成自然数x(x≥4)，x～x之间的素数个数引理3：区间[xk+1，x(k+1)]与p(p由欧拉函数可知，不超过xΠp与p互质的奇数个数为xΠ(p-1)，

其中：区间[xk+1，x(k+1)]的个数为x×Πpx

则：xΠ(p-1)<不超过x的素数个数为πx，则：

πx>x2Π(1-1p)+πx-1>由不超过x的素数个数容斥公式可知：πx=xΠ(1-1其中余项Rn为反推出：素数个数容斥公式中余项Rn绝对值的上限为：x2Π即：素数个数容斥公式中余项R(n)绝对值的上限为主项xΠ(1-1不超过x的孪生素数数目设1～7之间的素数个数为π(7)，7～72之间的孪生素数(p-2，p)7～72之间的孪生素数数目为T在1～7之间，若2，3，5，7的倍数排列顺序不变，区间7～72之间生成T'(72)对孪生素数，区间7～72之间生成T'(72)个q与3，5，7互质且q-2与3，5，7互质的奇数q，区间[1又等价于命题：在任意连续的7个自然数中，若2，3，5，7的倍数与1～7之间2，3，5，7的倍数排列顺序相同，与区间7～72等距的相邻区间将生成1+T'(72)个q与3，5，7互质因此，对于任一区间[72k+1，72(k+1)]，此区间与区间[1，72]相比，在其中任意连续的7个自然数中，若2，3，5，7的倍数与1～7之间2，3，5，7的倍数排列顺序相同，区间[72k+1，72(k+1)]引理4：区间72k+1，72k+1中q与3，5，7互质且q证明：等距区间[72k+1，72(k+1)]与区间1，72相比，在其中任意连续的7个自然数中，若2，3，5，7的倍数与1～7之间2，3，5，相同，由自然数的连续性可知，在其相邻反方向上与区间7～72等距的区间，必然会生成T'(72)个q与3，5即其中区间[72k+1，72(k+1)]中，最多生成1+T'(72)+1+T即：等距区间[72k+1，72k+1中q与3，5，7互质且q-2与3，5，7互质的奇数q，最多比区间因此，区间[72k+1，72(k+1)]中q与3，5，7互质且由Φ(m)函数的性质[3]可知，不超过7×2×3×5×7=7×210的奇数中q与3,5,7互质且q-2与3，5，7互质的奇数个数为7×(3-2)(5-2)(7-2)，

其中：区间[72k+1，72(k+1)]的个数为7×=14×72×Π(1-2p)-1(Π为连乘积符号，设1～72之间的孪生素数数目为T(72)，则：T72将上式中的7换成奇素数P，P～P2之间的孪生素数(p-2，p)数目为引理5：区间[P2k+1，P2(k+1)]中q与p互质且q-2与p互质由Φ(m)函数的性质可知，

不超过PΠp的奇数中q与p互质且q-2与p互质(p为不超过奇素数P的奇素数)的奇数个数为PΠ(p-2)，

其中T'P2>14×P2Π(1-2p)-不超过P2的孪生素数数目为TP2，则：

TP2>1将上式中的P2换成自然数x(x≥9)，x～x之间的孪生素数(p-引理6：区间[xk+1，x(k+1)]中q与p互质且q由Φ(m)函数的性质可知，不超过xΠp的奇数中q与p互质且q-2与p互质(p为不超过x的奇素数)的奇数个数为xΠ(p-2)，T'x>x4Π(1-2p)-1(不超过x的孪生素数数目为Tx，则：

Tx>x4Π即：不超过x的孪生素数数目Tx下限式为：

Tx>x4Π或：Tx>x·cΠ(1-Π1-1p2中，p为不超过x的素数，c=Π偶数x可以表示为(1+1)的表示数在偶数xx≥10中，设G同理可证：引理7：区间[P2k+1，P2(k+1)]中q与p互质且PΠp+x由Φ(m)函数的性质可知，

不超过PΠp的奇数中q与p互质且PΠp+x–q与p互质(p为不超过x的最大素数P的奇素数)的奇数q个数为：PΠ则：PΠ(p-2)Π(p-1)或：PΠ(p-2)Π(p-1)G'x>14×P2P为不超过x的最大素数，Π(1-2p)中，p为不超过x的最大素数P设Gx为偶数xx≥10可以表示为两个素数之和或(1+1)的表示数，则：

G或：Gx>P2·cΠ(1-Π1-1p2中，p为不超过x的最大素数P的素数，Πp-1p-2中，p为在偶数xx≥10中，设G'x为x同理可证：引理8：区间[xk+1，x(k+1)]中q与p互质且xΠp+x-q由Φ(m)函数的性质可知，

不超过xΠp的奇数中q与p互质且xΠp+x–q与p互质(p为不超过x的奇素数)的奇数q个数为：xΠ则：xΠ(p-2)Π(p-1)或：xΠ(p-2)Π(p-1)G'x>x4Π(1Π(1-2p)中，p为不超过设Gx为偶数xx≥10可以表示为两个素数之和或(1+1)的表示数，则：

G即：偶数xx≥10可以表示为两个素数之和或(1+1)的表示数Gx下限式为：或：Gx>x·cΠ(1-Π1-1p2中，p为不超过x的素数，Πp-1p-2中，可见，当x=2n，偶数xx≥10可以表示为(1+1)参考文献[1]J.B.RosserandL.Scloenfeld,approximateformulasforsomefunctionsofprimenumbers.LllinoisJ.Math.Volume6,Issue1(1962),64-94.[2]G