高一第二学期数学期中考试试卷含答案(新教材)

#高一第二学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.TOC\o"1-5"\h\z1设i为虚数单位，复数z满足i（z+1）=1，则复数Z=（）A.1+iB.1-iC.-1-iD.-1+i2.设向量a=（1,1）,b=（—1,3）,c=（2,1），且（a—九b）丄c，则九二（）A.3B.2C.-2D.-33如图，正方形O'A'B'C的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.2+3迈A.2+3迈B.8C.6D.2+2运4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知A=60。，a二，b=4迈，则B=（）A.45°B.135°C.45°或135°D.以上都不对5•已知正方体的表面积为24，设它的外接球的表面积为S，它的内切球的体积为V，则S与V的值分别为:()C.4兀，4兀D.4C.4兀，4兀D.4兀A.12兀，-兀36.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45。、30°，在水平面上测得上BCD=120。，C、D两地相距300m，则电视塔AB的高度是（）A.150*：2mB.300mC.A.150*：2mB.300mC.300朽mD.150m7.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（）A.3AB-1AC4A.3AB-1AC44c.3AB+1Ac44TOC\o"1-5"\h\z44D.1AB+3AC448.已知直三棱柱ABC-£B£的侧棱长为2,AB丄BC,AB二BC二2.过AB,BB】的中点E,F作平面a与平面AAC1C垂直，则所得截面周长为（）A.2迈+€6B—2+2j6C.3运+空6D.3迈+2屈二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.已知m，n，c为三条不重合的直线，a，卩，丫为三个不重合的平面其中正确的命题是（）m//n，n〃cnm//cB.m//y，n//ynm//nm//c，c//anm//aD.m电a，nua，m//nnm//a下列关于平面向量的说法中不．正．确．的是（）•••a•已知a，b均为非零向量，则a//bo存在唯一的实数九，使得b=xa若向量AB，CD共线，则点A，B，C，D必在同一直线上c•若点GABC的重心，则GA+GB+GC=0若a-c=b-c且c主0，则a=b在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（）A.若A>B，则sinA>sinBB•若a—4，b—5，c—6，则△ABC为钝角三角形冗若a=5，b=10，A=—，则符合条件的三角形不存在4若bcosC+ccosB=asinA，贝ij△ABC为直角三角形如图，直三棱柱ABC-A^C］中，AA1=2，AB=BC=1，ZABC=90°，侧面AACf中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点，有下列判断，正确的是（）A直三棱柱侧面积是4+2j2一、1直三棱柱体积是3三棱锥E-AAO的体积为定值D.AE+EC』勺最小值为2迈三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量13已知向量a二则（2a一b）-a=14如图，在三棱柱ABC-ABC中，AA丄底面ABC，CA=CB=CC，AC丄BC，CE=-CB,^3TOC\o"1-5"\h\zCD=3CC],则直线AC1与DE所成角的大小为.已知a，b，c分别是AABC内角A，B，C的对边，asinB3bcosA，当b+c=4时，AABC面积的最大值为.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是4,S是£代的中点，P是££的中点，点Q在正方形DCqD及其内部运动，若PQ〃平面SBq，则点Q的轨迹的长度是.四、解答题（本大题共6小题，共70分）复数z=（1-i）2—3a+2+i（aeR）（1）若z为纯虚数求实数a的值，及z在复平面内对应的点的坐标；（2）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.

18.已知IaI二2,|b1=3,(2a-3b)-(2a+b)=_7.⑴求Ia+bi；（2）求向量a与a+b的夹角的余弦值.19.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=<7.（1）（1）求cosZCAD的值；（2）若cosZBAD=—近，sinZCBA=归，求BC的长.14620.如图，四棱锥P-ABCD的底边ABCD是正方形，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA=AB=1.证明：EF//平面PCD；若PA是四棱锥P-ABCD的高，求三棱锥F-PCD的体积.，acosC+asinC—b=0

321.在A，acosC+asinC—b=0

3（1）求角A的大小；（2）若AABC的面积为匕朽，a=2b-c，求b的值.422.如图1,在直角梯形ABCD中，AB//DC，ZBAD=90。，AB=4，AD=2，DC=3，点E在CD上,且DE=2，将AADE沿AE折起，使得平面ADE丄平面ABCE（如图2）.G为AE中点问题：在线段BD上是否存在点P，使得CPII平面ADE?若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.数学答案一、二选择题123456789101112DDBAABACADBDACDACD三、填空题13.2814.60°15.*316.2x/5四、解答题(本大题共6小题，共70分)【解析】因为z=(1-i)2-3a+2+i,所以z=(1-i)2—3a+2+i=(2—3a)—i若z为纯虚数，2则2—3a—0，解得：a=3，此时z=—i,z在复平面内对应的点的坐标为：(0,—1),2所以z为纯虚数时实数a=3，z在复平面内对应的点的坐标为：(0,—1)若z在复平面内对应的点位于三象限，TOC\o"1-5"\h\z2—3a<02则］［门，解得a>-所以z在复平面内对应的点位于第三象限，(2)则实数a的取值范围：亍+8.V3丿解：(1)・・・已知Ia1=2，|b1=3，(2a—3b)-(2a+b)=4a2—4a-b—3b2=16—4a-b—27=—7，a•b=—1.「.Ia+b1=J(a+b)2=yja2+2a•b+b2二J4-2+9=J11.(2)设向量a与a+b的夹角为0，a-(a+b)a2+a-b4—13JH则cos0====.IaI-1a+bI2J112伍22

19.【答案】(19.【答案】(1)cosZCAD=72)3【解析】(1)由ADAC关于ZCAD的余弦定理可得TOC\o"1-5"\h\zAD2+AC2-DC21+7-42釣cosACAD===2AD-AC2x1x^/772“所以cosACAD=.7(2)因为ABAD为四边形内角，所以sinABAD>0且sinACAD>0，则由正余弦的关系可得sinABAD=J1-cos2ABAD=3竺7147且sinACAD=显1一cos2ACAD=再由正弦的和差角公式可得sinABAC=sin(ABAD-ACAD)=sinABADcosACAD-sinACADcosABADV7I3书忑羽—=+V7I3书忑羽—=+==7142xx-1477(14丿再由△ABC的正弦定理可得=3AC=BCsinACBAsinA=320.【答案】解：证明：取PC的中点为G,连接DG，FG，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是线段AD，PB，PC的中点,DEIIBC，且DE=2BCFG//BC，且FG=2BC，DEIIFG，且DE=FG，四边形DEFG为平行四边形，EFIIDG，・.・EF広平面PCD，DGu平面PCD，EF//平面PCD；BC(2)EF//平面PCD,・•・F到平面PCD的距离等于E到平面PCD距离,V二v,三棱锥F-PCD三棱锥E-PCD'而9三棱锥E-PCD"三棱锥P-CDE・PA是三棱锥P-CDE的高,.•.V三棱锥P.•.V三棱锥P-CDE二-S-PA二—x3△CDE3121即三棱锥f-PCD的体积为1221.解:由题意知,acosC+asinC—21.解:由题意知,acosC+asinC—b—3由正弦定理得:sinAcosC+丰sinAsinC-sinB-由sinB—sin[兀—(A+C)]—sin(A+C)得,sinAcosC+sinAsinC一sin(A+C)—0sinAcosC+贝9^3sinAsinC-cosAsinC=0,3又sinC丰0,贝9空sinA=cosA,3化简得，tanA=又0<A<n,兀所以A-"3；(2)因为△ABC的面积为孚€3,4所以S=bex=3,224得be=15,因为a=2b一e,由余弦定理得a2=b2+e2一2becosA=b2+e2+be,所以(2b一e)2=b2+e2+15,解得b=5.22•解：存在点P，使得CP//平面ADE,BP3且=—；且BD4，过点C作CF//AE交AB于点F,贝