2020-2021学年江苏省南通市高一下期末考试数学试卷及答案解析

第第页2020-2021学年江苏省南通市高一下期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z=i2i+1（i为虚数单位），则复数A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设向量a→=(-2，1)，b→=(3，-4)，记a→，bA．-35 B．35 C．53．已知直线l、m与平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（）A．若l∥m，则α∥β B．若l⊥β，则α⊥β C．若l∥β，则α∥β D．若α⊥β，则l⊥m4．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝4，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．64 B．104 C．1555．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABCA．1 B．3 C．33 D．6．某实验单次成功的概率为0.8，记事件A为“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件A的概率：先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0，1表示单次实验失败，2，3，4，5，6，7，8，9表示单次实验成功，以3个随机数为组，代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如表：752029714985034437863694141469037623804601366959742761428261根据以上方法及数据，估计事件A的概率为（）A．0.384 B．0.65 C．0.9 D．0.9047．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB＝22，BC＝SC＝SD＝2，BC⊥SD，则四棱锥S﹣ABCD的外接球的体积为（）A．4π3 B．82π3 C．8．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（）A．4 B．43 C．23二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．下列各式中结果为零向量的是（）A．AB→+MB→C．OA→+OC10．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（）A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的11．已知复数z＝1+cos2θ+isin2θ（-π2＜θ＜A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数 C．|z|＝2cosθ D．1z的实部为12．雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值 B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若z＝3﹣4i（i为虚数单位），则z|z|=14．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为．15．已知等边△ABC，D为BC中点，若点M是△ABC所在平面上一点，且满足AM→=1316．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分）17．已知复数z1＝（a+i）2，z2＝4﹣3i，其中a是实数．（1）若在复平面内表示复数z1•z2的点位于第二象限，求a的取值范围；（2）若z1z2①求a，②求z118．甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙射中的概率为0.95．求：（1）三人中恰有一人没有射中的概率；（2）三人中至少有两人没有射中的概率．（精确到0.001）19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），C（﹣2，﹣1）．（1）以线段AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求向量AD→的坐标和|AD（2）设实数t满足(AB-tOC20．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中a，b的值；（2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．21．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是⊙O所在平面外一点，D是PB的中点．（1）求证：OD∥平面PAC；（2）若△PAC是边长为6的正三角形，AB＝10，且BC⊥PC，求三棱锥B﹣PAC的体积．22．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品．厂家将A等品售价定为2000元/件，B等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi＝9.97，s2=116i=116（xi-x）2该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，（i）估计改进后该生产线生产的产品中A等品所占的比例；（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品．请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）

2020-2021学年江苏省南通市高一下期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z=i2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵z=i∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（25故选：A．2．设向量a→=(-2，1)，b→=(3，-4)，记a→，bA．-35 B．35 C．5【解答】解：∵|a∴cos＜a故选：D．3．已知直线l、m与平面α、β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（）A．若l∥m，则α∥β B．若l⊥β，则α⊥β C．若l∥β，则α∥β D．若α⊥β，则l⊥m【解答】解：由直线l、m与平面α、β，l⊂α，m⊂β，得：在A中，若l∥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若l∥β，则α与β相交或平行，故C不正确；在D中，若α⊥β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．4．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝4，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．64 B．104 C．155【解答】解：如图，根据题意：AB1=2∴cos＜AB∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为104故选：B．5．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABCA．1 B．3 C．33 D．【解答】解：∵底面是边长为3的正三角形，∴底面正三角形的面积S=1∴棱柱的体积V＝S•h=334h=9设点P在面ABC上的投影为点Q，连接PQ、AQ，则∠PAQ即为所求，∵P为底面A1B1C1的中心，∴Q也为面ABC的中心，∴PQ＝h=3，AQ=在Rt△PQA中，tan∠PAQ=PQ∴PA与平面ABC所成角的正切值为3．故选：B．6．某实验单次成功的概率为0.8，记事件A为“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件A的概率：先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0，1表示单次实验失败，2，3，4，5，6，7，8，9表示单次实验成功，以3个随机数为组，代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如表：752029714985034437863694141469037623804601366959742761428261根据以上方法及数据，估计事件A的概率为（）A．0.384 B．0.65 C．0.9 D．0.904【解答】解：由随机模拟实验可得：“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中最多成功1次”共141，601两组随机数，则“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”共20﹣2＝18组随机数，即事件A的概率为1820故选：C．7．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB＝22，BC＝SC＝SD＝2，BC⊥SD，则四棱锥S﹣ABCD的外接球的体积为（）A．4π3 B．82π3 C．【解答】解：在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，则BC⊥CD，由于BC⊥SD，所以BC⊥平面SCD，由于AB＝22，BC＝SC＝SD＝2，在等腰三角形SCD中，由于CD2＝SD2+SC2，所以△SCD为等腰直角三角形．所以四棱锥S﹣ABCD的外接球的球心为：经过底面矩形ABCD的对角线的交点且垂直于平面ABCD及侧面等腰直角三角形SCD经过斜边CD的中点，且垂直于平面SCD的直线，正好交点为底面矩形的对角线的交点．设外接球的半径为R，则R2=12所以V=4故选：D．8．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（）A．4 B．43 C．23【解答】解：由图可知该几何体为两个全等的正四棱锥构成，四棱锥底面四边形面积为正方形面积一半为2，高为正方体棱长一半为1，所以V=1故选：B．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．下列各式中结果为零向量的是（）A．AB→+MB→C．OA→+OC【解答】解：由向量加法的法则得A：AB→B：AB→C：OA→D：AB→-AC→+故选：BD．10．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（）A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的【解答】解：某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，所以该检验采用分层抽样的方法，故选项A正确，选项B错误．对于选项C：1500+6000+2000＝9500，所以抽样为57×15009500=9，57×60009500对于选项D：对于分层抽样的每一辆轿车被抽到的可能性相等，故选项D正确．故选：ACD．11．已知复数z＝1+cos2θ+isin2θ（-π2＜θ＜A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数 C．|z|＝2cosθ D．1z的实部为【解答】解：z＝1+cos2θ+isin2θ＝2cosθ（cosθ+isinθ），∵-π2＜θ＜π2，∴cosθ＞0，sinθ∈当sin2θ＝0，θ＝0∈（-π2，π2）时，复数z|z|=(1+cos2θ)2+(sin2θ)1z则1z的实部是1+cos2θ2+2cos2θ=故选：BC．12．雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值 B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【解答】解：依题意，乙的逻辑推理能力3分，而甲的逻辑推理能力4分，故A正确；甲的数学建模能力指标值为3分，乙的直观想象能力指标值为5分，故B错误；乙的六维能力指标值有4项优于甲的六维能力指标值，故C正确；甲的数学运算能力指标值为4分，而甲的直观想象能力指标值为5分，故D错误；故选：AC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若z＝3﹣4i（i为虚数单位），则z|z|=3【解答】解：∵z＝3﹣4i，∴z=3+4i，|z|=∴z|z|故答案为：3514．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为172．【解答】解：百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占90%，故答案为：172．15．已知等边△ABC，D为BC中点，若点M是△ABC所在平面上一点，且满足AM→=13【解答】解：由已知有|AB→|＝|AC因为AB→⋅CM=AB→•（=AB→•（=AB→•（=1=1＝0，故答案为：0．16．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是7500+25003cm2．【解答】解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积＝8×12×252×252×sin60°+6×252×252故答案为：14，7500+25003．四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分）17．已知复数z1＝（a+i）2，z2＝4﹣3i，其中a是实数．（1）若在复平面内表示复数z1•z2的点位于第二象限，求a的取值范围；（2）若z1z2①求a，②求z1【解答】解：（1）由题可得：z1z1∵在复平面内表示复数z1•z2的点位于第二象限，∴4a2+6a-4＜0（2）①依题意得：z=(=(4∵z1z2是纯虚数，则4解得a＝2．②当a＝2时，z1z则z118．甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙射中的概率为0.95．求：（1）三人中恰有一人没有射中的概率；（2）三人中至少有两人没有射中的概率．（精确到0.001）【解答】解：（1）甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙射中的概率为0.95．∴三人中恰有一人没有射中的概率为：P＝0.9×0.95×0.05+0.9×0.05×0.95+0.1×0.95×0.95＝0.17575≈0.176．（2）三人中至少有两人没有射中的概率为：P＝0.9×0.05×0.05+0.1×0.95×0.05+0.1×0.05×0.95+0.1×0.05×0.05＝0.012．19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），C（﹣2，﹣1）．（1）以线段AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求向量AD→的坐标和|AD（2）设实数t满足(AB-tOC【解答】解：（1）由题意知，AC→=（﹣1，1），∴AD→=AC（2）由题意知，OC→=（﹣2，﹣1），AB→-tOC∵(AB-tOC)⋅OC=0，∴﹣2（3+2t20．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中a，b的值；（2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．【解答】解：（1）∵从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长，样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，∴a=100∵（0.05+0.1+0.2+0.075+0.05+b）×2＝1，∴b＝0.025．（2）由频率分布直方图得该市中学生阅读时长不小于10小时的频率为：（0.05+0.025）×2＝0.15．∴估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率为0.15．（3）用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，从[10，12）中抽取：6×0.050.05+0.025=从这6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，基本事件总数n=C这2名学生来自不同组包含的基本事件个数m=C∴这2名学生来自不同组的概率p=m21．如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是⊙O所在平面外一点，D是PB的中点．（1）求证：OD∥平面PAC；（2）若△PAC是边长为6的正三角形，AB＝10，且BC⊥PC，求三棱锥B﹣PAC的体积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点，又D是PB的中点，∴OD∥PA，∵OD⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴OD∥平面PAC；（2）解：由AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，得∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC．∵△PAC是边长为6的正三角形，∴S△PACBC=A∴VB-PAC22．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品．厂家将A等品售价定为2000元/件，B等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi＝9.97，s2=116i=116（xi-x）2该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，（i）估计改进后该生产线生产的产品中A等品所占的比例；（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品．请你