椭圆定义及性质练习题(一)菁优网2015.4.25

椭圆定义及性质练习题（一）一．选择题（共17小题）1．已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）动点2．设F1，F2为定点，|FF|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M的轨迹12是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段3．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是B．甲是值”，命题乙乙成立的充分不必要条件乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件4．如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线3）、F2（0，3）动点P满足条件|PF1|﹣P的轨迹是（）5．设定点F（0，﹣a=|PF2|（a＞0）1则点A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段16．在椭圆中，F，F分别是其左右焦点，P是椭圆上一点，12若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．7．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等8．已知两定点A（﹣1，0）和C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆A．B．C．D．B．短轴长相等B（1，0），动点C的离心率的最大值为（）C．离心率相等D．焦距相等P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆9．已知椭圆长轴两个端点分别为A、B，椭圆上点P和A、B的连线的斜率之积为，则椭圆A．B．C．D．C的离心率为（）10．已知点F，F是椭圆x+3y=12的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，2212那么|的最小值是（）A．0B．4C．D．11．设A，B是椭圆的两个焦点，点2P是椭圆C与圆M：x+y=102的一个交点，则||PA|﹣|PB||=（）A．B．C．D．12．已知椭圆的左右焦点分别为F，F，过F且垂直于长轴的直线交122椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为（）A．B．1C．D．13．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的对边分别为a，b，c．顶点A（0，3）和C（0，﹣3），顶点B在椭圆上，则=（）2A．B．C．D．14．设P是椭圆+=1上一点，F，F2是椭圆的两个焦点，•=0，则1△F1PF2面积是（）A．5B．10C．8D．915．已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9C．6D．1016．已知F，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以FF为直径的圆与该11椭圆的一个交点，且∠PFF=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）12A．﹣1B．2﹣C．D．17．点P（x，y）在椭圆上，则x﹣2y的最大值为（）A．6B．C．D．10二．填空题（共6小题）18．方程+=10，化简的结果是．19．已知动圆C与圆（x+1）+y=12及圆（x﹣1）2+y=252都内切，则动圆圆心C2的轨迹方程为．20．设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点．若点P在椭圆上，且•=0，则|+|=．21．已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，点，当△APF的周长最大时，△APF的面积为．322．F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点A（1，1）为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是．23．设F、F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上M的任一点，点1坐标为（6，4），则|PM|﹣|PF1|的最小值为．三．解答题（共1小题）24．如图所示，x+y+6x+5=0外切，同时与圆x+y﹣6x﹣91=0内切，22一动圆与圆22求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．42018年04月25日****@丑的想撞墙的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【解答】解：∵△ABC的周长为∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞820，顶点B（0，﹣4），C（0，4），∴点A到两个定点的距离之和等于定值，A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b=20，∴点2∴椭圆的方程是故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．2．设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（）5A．椭圆B．直线C．圆D．线段M到F1、F2两点的距离之和等于F、F的距离，则动点M的轨迹是以F，F2为端点的线【分析】对选项进行分析：在平面内，若动点6，而6正好等于两定点121段．【解答】解：对于在平面内，若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F、F的距离，则动点M的轨迹是以F，F2为端点的线段．121故选：D．【点评】本小题主要考查椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，属于基础题．3．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件【分析】当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值．“|PA|+|PB|是定值”，“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆【解答】解：命题甲是：命题乙是：∵当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，∴甲是乙成立的必要不充分条件故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义，解题的关键是注意在椭圆的定义中，一定要注意两个定点之间的距离小于两个距离之和．64．如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是（）A．圆【分析】根据垂直平分线的性质可得|EA|=|EB|，可得|EO|+|EA|=|OB|＞|OA|，E的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆．【解答】解：根据垂直平分线的性质可得|EA|=|EB|，∴|EO|+|EA|=|OB|＞|OA|，E到点O和点A的距离之和等于圆的半径|OB|，且|OB|＞|OA|，根据椭圆的定义可得点E的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆，故选：B．B．椭圆C．双曲线D．抛物线故点即点【点评】本题考查椭圆的定义、线段的垂直平分线的性质，得到|EO|+|EA|=|OB|＞|OA|，是解题的关键．5．设定点F（0，﹣3）、F2（0，3）动点P满足条件|PF1|﹣a=|PF2|（a＞0）1则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【分析】将不等式|PF1|﹣a=|PF2|移项后，利用基本不等式求出“|PF1|+|PF2|”的范围，利用椭圆的定义进行判断．【解答】解：由题意得，|PF1|﹣a=|PF2|（a＞0），所以|PF1|+|PF2|=a+≥2=6当且仅当a=时取等号，此时a=3，则|PF1|+|PF2|≥6，F1（0，﹣3）、F2（0，3），所以|F1F2|=6，当|PF1|+|PF2|=6时，点P的轨迹是线段F1F2；因为定点7当|PF1|+|PF2|＞6时，点P的轨迹是以F、F2为焦点的椭圆，1故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义，以及基本不等式的应用，属于基础题．6．在椭圆中，F，F分别是其左右焦点，P是椭圆上一点，12若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先根据椭圆的定义求得|PF1|+|PF2|=2a，进而根据|PF1|=2|PF2|求得|PF2|利用椭圆的几何性质可知|PF2|≥e＜1，综合可求得椭圆离心率的取值范围．【解答】解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，a﹣c，求得a和c的不等式关系，进而求得e的范围，最后根据根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c，故，即，又e＜1，故该椭圆离心率的取值范围是．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，考查了学生对基础知识的理解和掌握．7．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）相等A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率D．焦距相等【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，8离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．8．已知两定点C以A，B为焦点且经过点A．B．C．D．A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆P，则椭圆C的离心率的最大值为（）【分析】求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可．【解答】解：A（﹣1，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（﹣3，2），连接A′Bl于点P，C的长轴长的最小值为|A′B|=2，C的离心率的最大值为：=．交直线则椭圆所以椭圆=故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．已知椭圆长轴两个端点分别为A、B，椭圆上点P和A、B的连线的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据斜率公式及y2=，求得a2=2b2，利用椭圆的离心率公0式即可求得答案．【解答】解：设P（x0，y0），由椭圆长轴两端点为A、B，P为C上异于顶点的点．满足AP与BP的斜率之积为﹣，9∴，则y0=，2由A（﹣a，0），B（a，0），则kAP=，kBP=，则kAP•kBP=﹣，即=﹣，=，∴a=2b，∴e==22∴e=，∴椭圆的离心率为，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，椭圆的离心率公式，直线斜率公式的应用，考查转化思想，属于中档题．10．已知点F1，F2是椭圆x2+3y=122的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是（）A．0B．4C．D．【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，由向量的三角形法则分析可得=2，则||为椭圆上任意一点到坐标原点（0，0）的距离的2倍，由椭圆的几何性质分析可得P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，其最小值为b，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆x+3y=12的标准方程为+=1，22点F1，F2是椭圆x+3y=12的两个焦点，则O是F1，F2的中点，2=2，则||=2||，2则故||为椭圆上任意一点到坐标原点（0，0）的距离的2倍，而点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，其最小值为b，即2，10则||=2||≥2b=4；即||的最小值为4；故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查平面向量的中点表示，及向量模的公式，注意分析||的意义．11．设A，B是椭圆的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x2+y=102的一个交点，则||PA|﹣|PB||=（）A．B．C．D．【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件列出方程，转化求出||PA|﹣|PB||即可．【解答】解：A，B是椭圆（，0），的两个焦点，可知：A（﹣，0）、B圆M：x+y=10恰好经过AB两点，点P是椭圆C与圆M：x+y=10的一个交点，2222可得PA⊥PB，所以，可得：2|PA||PB|=8，||PA|﹣|PB||=32，2||PA|﹣|PB||=4．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆与圆的位置关系的应用，考查计算能力．12．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为（）11A．B．1C．D．【分析】根据题意，设△ABF1内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF1|﹣2|AF2|2=4，|AF1|+|AF2|=2a=4，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得△ABF1的周长与面积，由内切圆的性质计算可得答案．【解答】解：根据题意，设△ABF1内切圆的半径为r；椭圆的方程为，其中a==2，b=，c==1，则||F1F2|=2c=2，AB与x轴垂直，则有|AF1|﹣|AF2|=4，|AF1|+|AF2|=2a=4，解可得：|AF1|=，|AF2|=，△ABF1的周长l=|AF|+|BF1|+|AB|=4+2c=8，221其面积S=×|AB|×|F1F2|=3，由内切圆的性质可知，有r×l=S，解可得D．r=．故选：【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意利用三角形面积公式进行转化．13．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的对边分别为a，b，c．顶点A（0，3）和C（0，﹣3），顶点B在椭圆上，则=（）12A．B．C．D．【分析】利用椭圆的性质以及正弦定理求解即可．【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，3），C（0，﹣3），顶点B在椭圆椭圆上．∴椭圆的焦距为2b=6，椭圆的长轴长为：10，即AB+CB=10，AC=6，由正弦定理可知：==，∴=．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．14．设P是椭圆+=1上一点，F，F是椭圆的两个焦点，•=0，则12△F1PF2面积是（）A．5B．10C．8D．922【分析】在△，PFF中，|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=10①，由勾股定理得80=m+n12②求出mn，即可求出△PFF的面积．12【解答】解：在△PFF中，|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=10①，12由勾股定理得80=m+n，②2﹣②，可得mn=10，2①2∴SPF1F2=mn=5．△故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义，考查勾股定理，考查学生的计算能力，比较基础．15．已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9C．6D．1013【分析】涉及|PF|时，一般可以想到椭圆的定义，所以设该椭圆的右焦点为F′，则：|PF|+|PF′|=6，所以|PA|+|PF|=6+|PA|﹣|PF′|．这时候可以作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，这样即可求得|PA|﹣|PF′|的最大值，从而求出|PA|+|PF|的最大值．【解答】解：F是椭圆C：的左焦点，如图，设椭圆的右焦点为F′，则|PF|+|PF′|=6；F′（2，0），|PF′|==，∴|PA|+|PF|=|PA|+6﹣|PF′|=6+|PA|﹣|PF′|；P在直线AF′上时，||PA|﹣|PF′||=|AF′|=，∴|PA|+|PF|的最大值为6+，C．由图形知，当故选：【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边，及数形结合求最值．16．已知F，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以FF为直径的圆与该11椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1B．2﹣C．D．【分析】先根据题意和圆的性质可判断出△F1PF2为直角三角形，根据∠PF1F2=2∠PF2F1，推断出∠PF1F2=60°，进而可求得PF和PF2，进而利用椭圆的定义求得1a和c的关系，即可求椭圆的离心率．【解答】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，14∴△PFF为直角三角形，且∠P=90°，12∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，∴PF1=c，PF2=c，由椭圆的定义知，PF+PF2=c+c=2a，1即==﹣1∴离心率为﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．椭圆的离心率是椭圆基本知识中重要的内容，求离心率的关键是通过挖掘题设信息求得a和c的关系，结合椭圆的定义是解决本题的关键．17．点P（x，y）在椭圆上，则x﹣2y的最大值为（）A．6B．C．D．10【分析】根据题意，设x﹣2y=t，将其代入椭圆的方程中，变形可得52y+36ty+9t22﹣144=0，由直线与圆的位置关系分析可得△≥0，解可得t的取值范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设x﹣2y=t，则有x=2y+t，可以看成一条直线，将其代入椭圆的方程中，可得+=1，即9（2y+t）+16y﹣144=0，2252y2+36ty+9t2﹣144=0，则有△≥0，解可得﹣2≤t≤2；15则x﹣2y的最大值为2；故选：B．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，二．填空题（共6小题）18．方程+=10，化简的结果是+=1．【分析】根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程．【解答】解：∵方程+=10，表示平面内到定点F（﹣2，0）、F（2，0）的距离的和是常数10（10＞4）的12点的轨迹，∴它的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴2a=10，焦距2c=4的椭圆；∴a=5，c=2，b==；∴椭圆的方程是+=1，即为化简的结果．故答案为：+=1．【点评】本题考查了椭圆的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题．19．已知动圆C与圆（x+1）+y=12及圆（x﹣1）2+y=252都内切，则动圆圆心C2的轨迹方程为．【分析】设圆（x+1）2+y2=1的圆心O（﹣1，0），半径r1=1；圆（C的圆心C（x，y），半径R．由于动圆=25都内切，可得|O1C|=R﹣1，|O2C|=5﹣R．于是|O1C|+|O2C|=5﹣1=4＞|O1O2|=2，利用椭圆的定义可知：动点C的轨迹是椭圆．求出即可．x﹣1）+y=25221的圆心O（1，0），半径r2=5．设动圆C2与圆（x+1）+y=1及圆（x﹣1）+y222216【解答】解：设圆（x+1）+y=1的圆心O（﹣1，0），半径r=1；圆（x﹣1）+y=25222211O（1，0），半径r=5．的圆心22设动圆C的圆心C（x，y），半径R．C与圆（x+1）+y=1及圆（x﹣1）+y=25都内切，2∴|O1C|=R﹣1，|O2C|=5﹣R．∴|O1C|+|O2C|=5﹣1=4＞|O1O2|=2，∵动圆222因此动点C的轨迹是椭圆，设其标准方程为：．则2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，∴﹣c=3．C的轨迹方程是．b=a222因此动圆圆心故答案为：．【点评】本题考查了两圆相内切的性质、椭圆的定义，属于中档题．20．设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点．若点P在椭圆上，且•=0，则|+|=6．2a及c由勾股定理求出．然后求|+|【分析】由题意方程求出2，由•=0，可知△PFF为直角三角形，122，则答案可求．【解答】解：由椭圆+=1，得a=4，c2=a2﹣b2=9，又•=0，∴，即，∴4×16﹣2，即．17∴|+|2=2•==4a2﹣2×14=36．∴|+|=6．故答案为：6．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，求解与焦点三角形有关的问题，常利用定义和余弦定理解决，是中档题．21．已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，点，当△APF的周长最大时，△APF的面积为20．【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为F′，|AF|=|AF′|，|PF|+|PF′|=2a=6，利用|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，即可推出结果．【解答】解：如图所示设椭圆的左焦点为F′，（F3，0），|AF|==6=|AF′|，则|PF|+|PF′|=2a=8，∵|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，∴△APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+8﹣|PF′|≤6+8+6=20，当且仅当三点A，F′，P共线时取等号．∴△APF的周长最大值等于20．故答案为：20．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．1822．F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点A（1，1）为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是6﹣．【分析】涉及|PF1|时，一般可以想到椭圆的定义，所以设该椭圆的右焦点为F′，则：|PF1|+|PF2|=6，所以|PA|+|PF|=6+|PA|﹣|PF2|．这时候可以作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF2||≤|AF2|=，这样即可求得|PA|﹣|PF2|的最小值，从而求出|PA|+|PF1|的最小值．【解答】解：椭圆的a=3，b=，c=2，如图，设椭圆的右焦点为F（2，0），2则|PF1|+|PF2|=2a=6；∴|PA|+|PF1|=|PA|+6﹣|PF2|=6+|PA|﹣|PF2|；由图形知，当P在直线AF′上时，||PA|﹣|PF2||=|AF2|=，当P不在直线AF′上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，