向量、解三角形练习

1/1/1/1/向量、解三角形练习一、选择题.在△ABC中，〃=80,b=lQQ,A=45。，则此三角形解的情况是（B）A.一解 B.两解C.一解或两解 D.无解［解析］,/bsinA=100X乎=50正<80,.bsinA<a<b,，此三角形有两解..已知锐角△ABC的面积为3姆，BC=4,CA=3,则角。的大小为（B）A.75° B.60°C.45° D.30°［解析］V3V3=1x4X3sinC,，sinC=卓,:△ABC为锐角三角形，：.C=60°,故选B..在△ABC中，已知a=x,b=2,6=60。，如果△A8C有两解，则x的取值范围是（C）C.2<x〈芋A.x>2C.2<x〈芋D.2<xW手［解析］欲使△ABC有两解，须asin60°<Z?<a.4.设。为△ABC所在平面内一点，BC=3CD,则（）2,2,/6/6一]一A.AD=1一]一A.AD=1B.AD=gAB—养。c.ad=Iab^ac一4一1D.AD=—wACl.A[VBC=3CD,?.AC-AB=3(Ab-AC),IP4AC-AB=3AD,.•.ad=-1ab+|ac.].设四边形AB。。为平行四边形，L4BI=6,\AD\=4,若点M,N满足前=3庆，D7V=2NC,则赢而=( )A.20B.15C.9D.6：.AM-NM=j(4AB-h3ADy^(4AB-3AD)=^(16AB2-9Ab2)=^(16X62-9X42)4 iZ 4o 4o=9,选C.].在△ABC中，6=60。，b2=ac,则此三角形一定是(B)A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形[解析]由余弦定理，得。2=“2+c2—“C,又"：b2=ac,••。2+《2—2cle=0,即一c)2—0,..a=c,VB=60°,：.A=C=60°.故△ABC是等边三角形.7.已知锐角△ABC的面积为3*,BC=4,CA=3,则角。的大小为(B)B.60°A.75°B.60°C.45° D.30°［解析］V3V3=1x4X3sinC,，sinC=W，:△ABC为锐角三角形，：.C=60°,故选B.8.甲船在湖中B岛的正南A处，AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60。方向驶去，则行驶15min时，两船的距离是（B）A.3km B.^/13kmC.5km D.{10—3斓km［解析］由题意知AM=8X蒋=2,BN=12X篇=3,MB=AB~AM=3~2=1,所以由余弦定理得MN2=M82+BN2—2MEBNcosl2（）o=l+9—2X1X3X（一9）=13,所以MN=yi^km.9.等差数列佰}中，已知a=［,a+a=4,a=33,则11为（ ）n 1o2 5 nA.50B.49C.48D.47-l।a10.在数列｛a｝中，a=—2,a=- %则a=(n 1 n+11——3 2012n1A.-2B.--1C.--D.3乙1+@解析：Va=-2,a=-一i n+1i—an11TOC\o"1-5"\h\z••aa?a^3,a 2.2 0 3/4 5・•・该数列是周期数列，周期T=4.又2012=503X4,a=a=3.2012 4答案：D［.已知施，就，\AB\=~,\AC\=t,若点尸是△ABC所在平面内的一点，且崩=——IABIA+—,则丽・无的最大值等于()IACIA.13 B.15 C.19 D.21.A［建立如图所示坐标系，则b［，o］，C(0,t),施=［；，o］，AC=(O,t),AP=孑+■=［；,oj+y(O,2)=(1,4),・••尸(1,4),PB-PC=(j~l,-4^•(-1,t—4)=17—(；+4］wi7—•射=13,故选A.］.如图所示，在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BO60m,则建筑物的高度为( )#/6B.20mC.25mB.20mC.25mA.15mD.30m【解析】选D.设建筑物的高度为h,由题干图知，PA=2h,PB=\bh,所以在4PBA和APBC中，分别由余弦定理，得cosNPBA二，①cosNPBC二. ②因为NPBA+NPBC=180°,所以cosNPBA+cosNPBC=0.③由①②③，解得h=30AlRn或h=-30、院(舍去)，即建筑物的高度为30%后m.二、填空题.(2014.新课标全国I,15)已知A,B,。为圆。上的三点，若前=：须+就),则AB和AC的夹角为.13.90°［由AO=2(AB+AC可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以NBAC=90°,所以AB和AC的夹角为90.］若向量a=(sina,cosa-2sina),b=(1,2),且a〃b，则tana=【答案】-4

【解析】解―“九・'.2sina-cosa+2sina=0jBPcosa=4sincL5.「浦皿I..tana= =-.ccsa4故答案为：］415.若｛an｝为等差数列,ai5=8,a60=20,则a75=..【思路点拨】直接解出首项和公差，从而求得a75,或利用ai5，a30,a45,a60,a75成等差数列直接求得.【解析】方法一：｛an｝为等差数列，设公差为d,首项为＞那么［：：：］为即代+14d=8,+59d-20.解得:a,三咋.所以a75=a1+74d争74X台24.方法二：因为｛an｝为等差数列，所以ai5，a30,a45，a60,a75也成等差数列，设公差为d,则a60-ai5=3d,所以d=4,a75=a60+d=2O+4=24.答案:24.如果等差数列｛an｝中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+-+a7=【解析】选C.在等差数列｛an｝中，a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知23+2二力+,所以a4=4.根据等差数列的性质可知21+力+…+a7=7a4=28,故选C.三、解答题17、数列满足'.I,1-- -/,■■ -..设瓦二%叶1一%1,证明｛瓦｝是等差数列;.求｛%｝的通项公式.【解析】⑴设数列电｝的公差为d,则由题意得a=2n+1,S=n2+2n.(2)由(1)知,日十仁4n(n+1),

bn.I",,设线段I",,设线段8。的中I：： :答案：1.证明：由小叶？=2阔叶二1-51~2,得%1・2-3+1=%叶1-%—2由鬣=口叶1-5得机41=k+2又瓦=的一%=1,・・・他」是首项为L公差为2的等差数列.2,由1得瓦］=1-2（n-1］=2n-由匕=口叶1—出得外+L— =2n—1.£（"十i-%）=£（2出-D于是电=L 建=L ,・・・因叶I一丛1=/,即就十I=/一由.又周=1,・•・｛加｝的通项公式为人=n2-2n+2,18.已知等差数列可｝满足:a,/a+a=26,｛aj的前n项和为S「⑴求、及S；⑵令B曷T（n金N*）,求数列｛bj的前n项和？.・［为+b?+…+b:（1一言二19、已知向量翻=照⑶,就=（-3、-1）,点4.求线段的中点的坐标；.若点尸⑵⑺满足港二八瓦（入EH）,求:y和工的值.解答：1.设后1工1,敢），,.,靠=阳3）,A=（-1,一2）,.・.（的+L,Vi+2）（门—1=4,f百=3,I见一2二3,解得I见=1，...8（3,1）,同理可得。（一4,一3）.点.n的坐标为0'2•.力1,则2....元=(3,1)一⑵v)=(1,1-y)5BL)=(-4,-3)-(3,”.G,

厂一，(入=/.・・(1"一团=A(-7？-4)5 1-y=-4人解得Iy=~-20、已知向量Q=(皿%esH-2血?b=(1,2)..若就叱方向相反,求t"8的值；答案：1.因为门和〃方向相反，所以以in8-(cosU-2总山田)二答案：1.因为门和〃方向相反，所以以in8-(cosU-2总山田)二£即,，门一~tanfl=45山日=cosH,所以4.2.因为同=网，所以疝口的+(侬8—2£也8『二5，化简得cos0(cosS-sm0)=0,即(m8=。或tanP=-1."三&=—又0V9<7T,所以2或4.21、在锐角AHBC中,叫既白分别为角4B,C所对的边，且陶s=2c.^mA.确定角C'的大小；3\/3.若己=①,且AHHC的面积为亍，求r+L的值.a_2sin4TOC\o"1-5"\h\z答案：1.由血口=2csinA及正弦定理得，匚 瓜产也“。,•产，二丁C=—・・・AA6C是锐角三角形，・・・ 3匚=上0=工2.解法1：・・・ 3由面积公式得17r 3V3—nt»sm—=--—,\o"CurrentDocument"2 3 2'即讪=6 ①由余弦定理得at j 7T1or+tr—2a.ocos——/ r>r>3即/一标一碗=7②由②变形得®+切£=25,故n+b=5解法2：前同解法1,联立①、②得Ja2—fr2—afr=7J值加一b三二13j(ib=(5ai rb=6消去b并整理得屋-城+36=口解得