含参变量积分

TOC\o"1-5"\h\z摘要 1前言 2一、预备知识 2\o"CurrentDocument"（一）、含参变量积分的定义 2（二）、含参变量反常积分的定义 2（三）、定理 3\o"CurrentDocument"1、含参变量积分的相关定理 32、含参变量反常积分的相关定理 4二、含参变量积分的应用 5（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 51、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式 5\o"CurrentDocument"2、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式 6（二）、证明等式 7（三）、证明不等式 9（四）、求极限 10\o"CurrentDocument"（五）、求隐函数的导数 12三、含参量反常积分的性质 13（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 131、局部一致收敛概念 13\o"CurrentDocument"2、连续的等价条件 13\o"CurrentDocument"3、几种收敛性的关系 15（二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法 17\o"CurrentDocument"1、主要结果 17\o"CurrentDocument"2、主要引理 18（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法 21\o"CurrentDocument"1、利用反常积分的定义和变量替换求解 21\o"CurrentDocument"2、通过建立微分方程求积分值 21\o"CurrentDocument"3、引入收敛因子法求解 22\o"CurrentDocument"4、级数解法 23\o"CurrentDocument"5、利用其他的积分 24总结 25\o"CurrentDocument"参考文献 25#含参变量积分赵洁(渤海大学数学系辽宁锦州121000中国)摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量(正常)积分和含参变量反常积分。首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量(正常)积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分ParameterIntegralZhaoJie(DepartmentofMathematicsBohaiUniversityLiaoningJinzhou121000China)Abstract：Inthispaper,twokindsofparameterintegralarestudied:parameter(normal)integralandparameterimproperintegral.Firstlytheirdefinitionsandrelatedtheoremsaregiven;Secondlytheapplicationsofparameter(normal)integralinprovingequality,provinginequalityandsolvinglimitareintroduced;Finallythequalitiesandsomespecialsolvingmethodsofparameterimproperintegralaregiven.Keywords：parameterintegral;doubleintegral;definiteintegral;improperintegral;locallyuniformlyconvergence;uniformcovergence;parameterimproperintegral前言含参变量积分是一类比较特殊的积分,由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量(正常)积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。对于含参量反常积分，本文给出了含参量反常积分局部一致收敛的定义，将建立在局部一致收敛的定义的基础上，根据局部一致收敛与一致收敛的区别与联系，参照一致收敛的判别法给出含参量反常积分的几种新的判别法，证明了局部一致收敛与含参量反常积分连续的等价性，最后讨论了含参量反常积分几种收敛性的关系，介绍了几种求反常积分的方法。一、预备知识(一)、含参变量积分的定义定义1.1[1]设函数f(x,y)在矩形区域[a,b]X[c,d]上有定义，当x取[a,b]上任一个固定值x时，f(x,y)在[c,d]上可积，则00Idf(x,y)dyc0就确定一个数，当x在[a,b]变动时，这样的积分就定义了一个函数I(x)=Idf(x,y)dy，xe[a,b] (1.1)c称此积分为含参变量积分。除(1.1)外，以下两种表示形式的积分卜(x)f(x,y)dy(xe[a,b])，c(x)I^f(x,y)dx也是含参变量积分。0(二)、含参变量反常积分的定义定义1.2⑵设函数f(x,y)在无界区域R=[a,b]x[c,+刈上有定义，若对每一个固定的xe[a,b]，反常积分,y)dy,y)dy都收敛，则它的值是x在［a,b］上取值的函数，当记这个函数为I(x)时，则(1.3)I(x)Jf(x,y)dy，xe［a,b(1.3)c称(1.2)式为定义在［a,b］上的含参变量反常积分。(三)、定理1、含参变量积分的相关定理定理1.1(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域［a,b］x［c,d］上连续，则函数在［a,b］上连续。定理1.2 (连续性)设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)lc(x)<y<d(x),a<x<b}上连续，其中c(x),d(x)为［a,b］上的连续函数，则函数F(x)=1d(x)f(x,y)dyc(x)在［a,b］上连续。定理1.3(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数色f(x,y)都在矩形区域SxR=［a,b］x［c,d］上连续，则函数在［a,b］上可微，且dJdf(x,y)dy=Jdgf(x,y)dy.dxc cSx定理1.4设f(x,y)和f(x,y)在［a,b］x［c,d］上连续，则I(x)=Jdf(x,y)dy在x［a,b］上有连续的导函数，且厂(x)=idf(x,y)dy.xc定理1.5设函数f(x,y),f(x,y)都在［a,b］x匕,d］上连续，又c，(x)和d，(x)x在［a,b］存在，且当xe［a,b］时，有c<c(x)，d(x)<d，则F(x)」d(x)f(x,y)dy在c(x)［a,b］上可导，且F'(x)=Jd(x)f(x,y)dy+fQ,d(x)［d'(x)-fQ,c(x)>'(x)•c(x)x定理1.6(可积性)若f(x,y)在矩形区域尺=［a,b］x［c,d］上连续，则I(x)和J(x)分别在［a,b］和［c,d］上可积。定理1.7设f(x,y)在［a,b］x［c,d］上连续，且I(x)=Jdf(x,y)dy，则cJbI(x)dx=JddyJbf(x,y)dx，即a caJbdxJdf(x,y)dy=JddyJbf(x,y)dx•ac ca2、含参变量反常积分的相关定理定理1.8(连续性)设f(x,y)在［a,b］x［c,+8］上连续，若含参量反常积分I(x)Jf(x,y)dyc在［a,b］上一致收敛，则I(x)在［a,b］连续。定理1.9［3］设f(x,y)，f(x,y)在［a,8］x［c,d］连续，且J+8f(x,y)dx关于yya在［c,d］上收敛，J^f(x,y)dx关于y在［c,d］上一致收敛，则I(y)=J^f(x,y)dxyaa在［c,d］上可微，且在［c,d］上有I'(y)=J+0f(x,y)dx•ay定理1.10设f(x,y)在［a,b］x［c,+8］上连续，若I(x)=J+8f(x,y)dy在［a,b］c上一致收敛，则I(x)在［a,b］上可积，且JbdxJ+8f(x,y)dy=J”dyJbf(x,y)dx•

c

定理1.11［4］设f(羽y)在［a,+8］X［C,+8］上连续，且卜f(x,y)dx关于y在a［c,d］上一致收敛,}f(x,y)dy关于x在［a,b］上一致收敛.设c卜dxj"|f(x,y)|dy和卜dyJ"|f(x,y)|dx中有一个存在，则ac caJ+8dyJ+8f(x,y)dx=J+8dxJ+8f(x,y)dy•c a a c定理1.12(连续性定理)设f(x,y)在［a,+8］X［c,d］上连续，而卜f(x,y)dx关于y在［c,d］上一致收敛，则函数I(y)=J"f(x,y)dx在［c,d］上连a续.VyG［c,d］有0limJ+8f(x,y)dx=P8limf(x,y)dx二定理1.13回若a>0,b>0，且f(n)在(0,+8)上可积，则下式成立J+J+801J+8f(E)n.a0二、含参变量积分的应用(一)、用含参变量积分解决积分计算的解题模式［6］1、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式数学分析中一元函数的定积分、广义积分(收敛)都是数值问题。求其积分值一般直接利用牛顿-莱布尼兹公式。但对一些特殊的积分如J>(1+x)dx，J8Sin^dx，~e_x2dx等直接运用牛顿-莱布尼兹公式行不通,01+x2 0x 0借助含参变量积分可给出解决此类问题的途径。(1)、定积分一含参变量积分一定积分例1计算定积分I=J11n(1+x)dx.01+x2解：①构造含参变量积分I(a)=J山(1+ax)dx01+x2显然：I(0)=0，I(1)=I.②利用含参变量积分的积分号下微分法：兀1.-.、/'(a)=a义——+—ln2-ln(1+/'(a)=③J1③J1/(a)da=J1—1—0 01+a2一兀1.ax——+—ln2—ln(1+a)兀da=-ln2-1(1)而J1/(a)da二I(1)-1(0) ,\I(1)=-ln2.0 8此题是通过构造I(a)，将求定积分Ji皿1Fx问题转化成求积分01+X2J1I，(a)da，从而给难以解决的问题找出了新的途径。0解题模式：求定积分I构造含参变量积分>I(a)—求^~^I(a)—转化成求>定积分JI(a)da得出>结论0(2)、广义积分一含参变量积分一广义积分例2求J”四dx.0X解:由广义积分敛散性：该积分收敛设为A.①构造含参变量积分I(a)=J9e-aXsinxdx似20).0x②Jse-ax处dx一致收敛，由含参变量积分，积分号下微分法得：0xI，(a)=--^―(a>0).1+a2③J9I'(a)da=limI(a)-1(0)TOC\o"1-5"\h\z0 a—>9|I(a)|<J9e-axdx=1 「.limI(a)=00 a a-s因而J9sinxdx=I(0)=-J9I，(a)da=-J9(-—L-)da=三.0x 0 0 1+a2 2解题模式：求广义积分I 构造含参变量积分>I(a)—求出—I'(a)—转化成求>广义积分J91'(a)da 得出>结论02、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式在重积分的计算中，只要被积分函数满足一定的条件，重积分的计算可以转化成累次积分，这里含参量积分起到了桥梁作用。例3计算：JJf(x,y)dxdy.D解:①根据D的形状确定参变量。不妨设x为参变量，则c<x<d②确定含参变量积分Jb(x)f(X,y)dy.a(x)③当满足一定条件时：JJf(x,y)dxdy=JddxJb(x)f(x,y)dy.c a(x)D二重积分的解题模式：求JJf(x,y)dxdy-由D的形状确定参变量-D写出含参变量积分-化成累次积分例4计算JJJf(x,y,z)dxdydz.v解:①根据V投影到哪个坐标面来确定参变量。若考虑V在xoy面的投影，其投影区域为D,则参变量是x和y.此时参变量函数是6(x,y)=Jz2(x,y)f(x,y,z)dzz1(x,y)JJdxdyFJz2(x,y)f(x,yJJdxdyFJz2(x,y)f(x,y,z)dz~\.z1(x,y)V②要计算JJ6(x,y)dxdy在区域D上确定其参变量，若D为y一型区域，则Dc<x<d，此时含参变量积分Jb(y)6(x,y)dx，a(y)(x,y)Jb(y)6(x,y)dx，a(y)(x,y)dx.D③将原三重积分化为累次积分JJJf(x,y,z)dxdydz=JddyJb(y)dxJz2(x,y)f(x,y,z)dz.c a(y) z1(x,y)V1其解题模式：计算f(x,y,z)dxdydz-确定参变量积分~>Jz2(x,y)f(x,y,z)dz 转化成求二重积分》z1(x,y)JJdxdyFJz2(x,y)f(x,y,z)dzz(x,y)D1将积二积重积积分转积化成积JJdxdyFJz2(x,y)f(x,y,z)dzz(x,y)D1c a(y) z1(x,y)(二)、证明等式

若等式成立，则等式两边式子的导数必然相等。因此，若等式含有含参变量积分，可考虑利用含参变量积分的性质及定理，对等式两边进行求导。ry2+1-2e-4x2J)dy=(J2xe-y2dyry2dy=(J2xe-y2dyry2+1-e-4x2Q+1证明：左边=lf1 4 )/_兀J1-dy=M202 ()-e-4x2\2+1/1-^ y2+1dy1e-4x2'y2+1则题可改为证（1.4）— 1e-4x2Q+) “2（1.4）-J1 dy=IJ2xe-y2dyI+—e-4x2y22+12 e-4x2y22+1_，则F(x,y)=-8xe-x2Q+1)-显然F(x,y)xx>0，ye[0,1]上连续，可以在积分号下求导数.则由定理1.11,对（1.4）式左边求导得工J1工J1e-4x2Q+1J18x.42+1)e-4x22+1)——dy=f18xe-4x2(2+)dy=4e-4x2J2xe-z2dz(令对（1.4）式右边求导得di'

di'

dx0e-y2dy)2+—=2J2xe-y2dy•e-4x2•2=4e-4x2J2xe-z2dz，0故有所以dx12 0所以dx12 0y2+1=—jjdxIo2xe-y2dy2兀+——4三」1-x"y2+1)dy=jj2xe-y2dy)2+^+c(C为常数).TOC\o"1-5"\h\z2 0y2+1I0 7 4当x=0时，有I-j1*—q+c，而 dy=arctgx1y2+1 0所以c=0，则三」1e"x2J,dy=jj2xe-y2dy丫+三2 0y2+1 'I0 ^) 4综上，当x>0时，有dy=(J2xe-y2dyj2fy2dy=(J2xe-y2dyj2与11 ^ (三)、证明不等式关于含积分的不等式的证明，方法较多，如微分法，利用被积函数的不等式法等。若所含积分为含参变量积分，则在微分法中必然会用到含参变量积分的相关性质及定理。例6证明若f(x)>0，f(x)在［a,b］上连续，则当xe［a,b］时，有TOC\o"1-5"\h\zjxjyf(t)etdtdy>jxf(t)(x-1)dt-aa a证明：要证卜卜f(t)etdtdy>jxf(t)(x-1)dt，即证aa ajxjyf(t)etdtdy-jxf(t)(x-1)dt>0.aa a令F(x)=jxjyf(t)etdtdy-jxf(t)(x-1)dt，由于F(a)=0，故只要证明在［a,b］aa a内F,(x)>0即可。则由定理1.2得

F'(x)=dxLyf(t)etdtdy-Jxf(t)(x-t)dtaa=—JxJyf(t)etdtdy-dxaaa—Jxf(F'(x)=dxLyf(t)etdtdy-Jxf(t)(x-t)dtaa=—JxJyf(t)etdtdy-dxaaa—Jxf(t)(x-1)dtdxa=Jxf(t)etdt-a=Jxf(t)etdt-Jxf(t)dt-aa由于t>0，f(t)>0，贝口有f(t)et>f(t)，从而Jxf(t)etdt>Jxf(t)dt•aa所以F(x)>0，从而F(x)>F(a)=0，因此JxJyf(t)etdtdy>Jxf(t)(x-1)dt-aa a(四)、求极限在求极限过程中，若极限表达式中含有含参变量积分，以前讨论的各种方法原贝上都适用，所不同的是这里需要充分运用含参变量积分的各种性质及定理。JxJy24tdtdyaa例7求极限limJxJy24tdtdyaaxf8x2J5分析：J5t分析：J5t-2tdt-x2JxJy24tdtdyaaJxJy24tdtdyaaJ5限lim'J, ，利用洛必达法则逐步求之即可。xf8JxJy24tdtdyaalimJ5xf8x2t-2limJ5xf8x2t-2tdt[JxJy2aa\-i4tdtdy)J5t.2tdt=lim x2 xf8JxJy24tdtdyaaJ5—t-2tdt+5-25.5，—x2.2x2.(x2)'二limx-8x二limx-8——2x3・2x2=lim x-8Jx24tdta二limx-8二limx—8二lim二limx—82ln2•2x2•xlim —12xx—821n2.2x2+4(ln22•2x2•x2二limx二limx—84(ln21.2x2.x+8(ln21.2x2.x+8(ln2%.2x2.x3由此可见，对于求分数形式的含参变量积分的极限这一类型的题目，在不能直接求出极限或直接约分的情况下，我们可以考虑洛必达法则，利用含参变量积分的性质及定理，对分数中的分子分母进行求导。例8求极限limJ"2—xsinbxdx•b—10分析：2-xsinbx在[0,+8]x[—R,R]上连续，且J"2-xsinbxdx关于b在[—R,R]0上一致收敛，满足连续性定理的条件。解：由于二元函数2—xsinbx在[0,+s]x[—R,R]上连续（R为任意的实数），则由定理1.2连续定理得limJ”2—xsinbxdx=J”lim2—xsinbxdx=J”2—xsinxdx•b—10对J"2-xsinxdx有J"2rsinxdx=—J"2-xdcosxTOC\o"1-5"\h\z0 0=-2-xcosx+s+J+Wcosx-2-xln2-(-1)dx0 0=1-ln2J+K2-xdsinx0=1-In2卜-xsinx内-J”sinx-2-xln2-(-1)dxL 0 0=1-(ln2)2J+wsinx-2-xdx-0所以L 12-xsinxdx=——f——v，0 1+(ln2)2从而limJ"2-xsinbxdx=L»10 1+(ln2力(五)、求隐函数的导数对于方程F(x,y)=0(或F(x,y)=F(x,y))所确定的隐函数y=f(x)，若1 2F(x,y)(或F(x,y)，F(x,y))有连续的导数，则隐函数y=f(x)也有连续的导12数。并且它的导数可按如下方法求出：将方程中的y看成是由方程所确定的隐函数，从而原方程成为恒等式，在等式两端同时求导，便可求得隐函数导数的线性方程，解之即可求出隐函数的导数。例9y=f(x)是由方程Jy+12td=Jxt3dt所确定的隐函数，求其导数包.y-1 0 dx解：对上述方程两端求导得d11y+12tdt)=dfJxt3dtdx卜y-1 )dx10 )则由定理1.3有Jy+92tdt+2(y+1)-(y+1)'y-1Sx-2y-1-Jy+92tdt+2(y+1)-(y+1)'y-1Sx即2(y+1)-y'-2(y-1)-y'=x3.所以x3y——:——三■2(y+D-2(y-1)又由题知1 y+11X一・21 =-t4，TOC\o"1-5"\h\zln2 4y-1 01所以2(y+1)-2(y-1)=In2.x4，则4y，= X3 ，y1In2•—x44所以dy4——= •dxIn2•x三、含参量反常积分的性质(一)、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性[7]1、局部一致收敛概念设函数f(X,y)定义在平面点集R=({(x,y)|xeE,C<y<+刃}其中E为实数集)上，考虑积分卜f(x,y)dy (3」)c定义3.1设积分(3.1)在实数集e上收敛于函数巾(x)，若对任给的正数£，任一实数N〉C及E上任一点x，总存在正数8及实数N>N，使得00对一切xeU(x,8)cE,都有0JN0f(x,y)dy-Mx)<£c则称积分(3.1)在数集E上局部一致收敛于狄x),也称局部一致收敛。2、连续的等价条件下面证明积分(1)在区间/上连续与在区间/上局部一致收敛的等价

性。定理3.1设函数f(%,y)在区域D={(%,y)|%eI,c<y<+8}上连续,且积分(3.1)在区间I上收敛于函数巾(%),则巾(%)在I上连续的充要条件是：积分(3.1)在I上局部一致收敛于巾(%).证明：(必要性)对任给的正数£及I上任一点%，由于。(%)在%连续,因此，存在正数5，使得当%eU(%,5)时，有1 01(3.2(3.2)他(%)-。(%0)|<3>C，使得当N>N时，11因为卜f(%,y)dy斗(>C，使得当N>N时，11c0(3.3)c0于是，对任一实数N>C，取N>max0f于是，对任一实数N>C，取N>max0fN0f(%,y)dy-。(%)c0{N,N3则由(3.3)式亦有1£<一3又因为jN0f(%,y)dy在%连续，所以对所给的£，存在正数6，02使得当c%eU(%,5)时，有02JN0f(%,y)dy-fN£0f(%/y)dy<3c0式，有取6=min{5,5}，则当%eU(%,5)时，由(3.5)、(3.4)及(3.2)式，有12fN0f(%,y)dyR(%)Jn0f(%,y)dy-fN0f(%,y)dy+c c 0£££fN0Jn0f(%,y)dy-fN0f(%,y)dy+c c 0£££<-+-+—<£333所以，积分(3.1)在I上局部一致收敛与‘(%).0所以存在实数N>C1(充分性)设%为I上任一点，对任给的正数£，由于bf(%,y)dy0所以存在实数N>C1c0，使得当N>N时，有(3.3)式成立，因为积分(3.1)1

在I上局部一致收敛于巾(X),故对所给的£及上述的N,存在正数5及11TOC\o"1-5"\h\zN>N，使得对一切xeU(x,5),有0 1 01JN0f(x,y)dy—。(x)<| (3.6)c 3又因Jn°f(X,y)dy在X连续，故存在正数5，使得当XeU(X,5)时，有(3.5)c 0 2 02式成立，取5=min{5,5}，则当xeU(x,5)时，由(3.6)、(3.5)及(3.3)12 00(0(x)—0(X0)|工Jn0f(X,y)dy—0(X)c£££c0c0Jn0f(x,y)dy—Jn0f(x,y)dy+c0c0333所以°(x)在x连续，由xeI的任意性，O(x)在I上连续。003、几种收敛性的关系局部一致收敛和我们熟知的收敛或一致收敛概念既有联系又有区别，显然，若积分(3.1)在实数集E上局部一致收敛于0(X),则必收敛于°(x),反之不成立。例10积分bxe—xydy在区间［0,1］上收敛于函数00(x0(x)=0,x=01,0<X<1(3.7)且f(X,y)=xe—xy在区域D={(x,y)10<x<1,0<y<+8}上连续，但由于°(x)在［0,1］上X=0处不连续，所以由定理3.1,积分(3.7)在［0,1］上非局部一致收敛。由一致收敛的定义易知，若积分在实数集e上一致收敛于狄x),则必在E上局部一致收敛于加x)，反之不成立。例11由于积分(3.7)在区间(0,1)上收敛于连续函数0(x)=1,x£(0,1)且/（x,y）=xe-xy在区域D=｛（%,y）0<x<l,0Vy<+00｝上连续。故由定理3.1知，积分（3.7）在区间（0」）上局部一致收敛，但积分（3.7）在区间（0」）上非一致收敛。事实上，取正数e=2，则对任意正数N，取M=N+\>N及o2x=—e（0,1）?有M|f+coxe-xydy=f+coxe-xydy=e-i>£•下面给出积分（3.1）在£上局部一致收敛的一个充分条件与一个必要条件。首先容易证明：定理3.2设函数。⑴定义在实数集石上，若对任给的正数£及石上的任一点x,总存在某一实数N>C，及某个正数B，使得当时，0对-*切xeU（x,3）c£，都有/（羽-0⑴<£.则积分（3.1）在£上局01 IC部一致收敛于巾⑴.定理3.3若积分（3.1）在紧集石上局部一致收敛于函数巾⑴，则积分（3.1）在石上亚一致收敛于0⑴,即对任给的正数£及任何实数N〉。，都存在使得对£上任一点％,都存在N£6,乂],使XIC证明：由假设，对任给的正数5任何实数N>C及石上任一点x,都0存在正数b及N〉N，使得对一*切％6。（工，3）cE，有Ao Ao ° %y）dy-^（x）<eIc于是得邻域集6=%（羽3小£昌.因为6覆盖了£，且石是紧集，故G中必X存在有限个邻域｛[/（X,8）1/=1,2，左｝它们也覆盖E，iI令N'=maxL\i=1,2，左｝，XI则N，>N，又对石上任一点x，必有某个，（1«注左）使得）c石，取N=N，xxi则Ne[n,N，]，且fNxf(x,y)dy-弧N=N，xxi(二)、含参量反常积分局部一致收敛的判别法定义3.2若函数列｛f(x)｝和函数f(x)，对任意的正数£及任意的xeDn0存在正整数N及正数8,使得对一切的xenD，当n>N时，都有|f(x)-f(x)|<|n 2则称函数歹U｛f(x)｝在D上局部一致收敛于f(x)。n定义3.3(含参量反常积分局部一致收敛)若含参量反常积分卜f(x,y)dy与函数I(x)；对任意的正数£及任意的xe(〃,b)，存在N>C及c0正数8，使得当M>N时，对一切的xeu(x,8)n(a,b)，0都有 fMf(x,y)dy-1(x)<£c则称含参量反常积分卜f(x,y)dy在(a,b)上局部一致收敛于I(x)，或简单地c说含参量反常积分卜f(x,y)dy在(a,b)上局部一致收敛。c1、主要结果定理3.4含参量反常积分卜f(x,y)dy在(a,b)上局部一致收敛的充要c条件是：对任意的正数£及任意的xeu(a,b)，存在M>c及正数8，使得0对一切的xeu(x,8)n(a,b)，当A>A>M时，都有0 0 12fAif(x,y)dy<£ (3.8)A2定理3.5设对任意的xe(a,b)，存在正数8，有函数g(y)使得0|f(x,y)|<g(y)， xeu(x0,8)n(a,b) c<y<+s若卜g(y)dy收敛，则含参量反常函数卜f(x,y)dy在(a,b)上局部一致收敛。cc定理3.6(阿贝尔判别法)设(i)含参量反常积分卜f(x,y)dy在(a,b)上局部一致收敛；

(ii)对于每一个x式a,b)，函数g(x,y)为y的单调函数；(iii)对参量x，g(x,y)在(a,b)上是局部一致有界的，即任意给定的L+⑹及任意的x式凡b)存在正数M和o，使得对一切的0xeu(x,o)c(a,b)都有0都有g(x,y0)|<M则含参量反常积分bf(x,y)g(x,y)dy在(a,b)上局部一致收敛。c定理3.7(狄利克雷判别法)设(i)对一切的N〉C，含参量反常积分JNf(x,y)dy对参量x在(a,b)上局部c致有界;(ii)对每一个x式a,b)，函数g(x,y)关于y是单调递减且yf+8时， 对参量x，g(x,y)局部一致收敛于0.则含参量反常积分卜f(x,y)g(x,y)dy在(a,b)上局部一致收敛。c2、主要引理引理3.1函数歹U｛f(x)｝在数集D上局部一致收敛的充要条件是：对任n意的正数£及任意的xeD，存在正整数N及正数o，使得对一切的0xeu(x,o)cD，当m,n>N时，都有0If(x)-f(x)|<E (3.9)n m证明：(必要性)若函数歹此f(x)｝在数集D上局部一致收敛于f(x)，n即对任意的正数£及任意的xeD，存在正整数N及正数o，使得对一切0的xeu(x,o)cD，当n>N时，都有0\f((x)-f(x)|<£ (3.10)n于是对于m,n〉N，有(3.10)式就有\f(^)—f(x)|n m=|f(x)-f(x)+f(x)-f(x)|i^n(x)-f(x)|+ifm(x)-f(x)|(充分性)若条件(3.9)成立及函数列收敛的柯西准则得，函数列{f(x)}在u(x,。)cD上任一点x都收敛，记其极限为f(x)，xe(x,c)cD。n 0 0现固定(3.9)式中的n，令mf+s，于是当n〉N时，对一切的xeu(x,c)cD0都有|f(x)-f(x)|<8.n由于8的任意性及局部一致收敛的定义知函数歹U{f(x)}在u(x,c)cDn0上局部一致收敛。类似可证明引理3.2。引理3.2设函数项级数£u(x)每一项u(x)在数集D上连续，且对任n nn=1意的正数8及任意的xeD，存在正整数N及正数c，使得对一切的0xe(x,c)cD，当m,n〉N时，都有|u(x)++u(x)1<8，则称级数£u(x)在数0 m n nn=1集D上局部一致收敛。引理3.3含参量反常积分卜f(x,y)dy在(〃,b)上局部一致收敛的充要cTOC\o"1-5"\h\z条件是：对任给的趋于+8的递增数列U{A}(其中A=c)，函数项级数n 1£fAn+if(x,y)dy=£u(x) (31DAn=1n n=1在(a,b)上局部一致收敛。证明：(必要性)由于含参量反常积分卜f(x,y)dy在(a,b)上局部一致收c敛。故对任意的正数8及任意的xe(a,b)，存在M〉c及正数c，使得当04〉A〃〉M时，对一切的xeu(x,c)c(a,b)都有0

lAllAlA'f(羽y)dy<8(3.12)又由A-8(nf+8)，所以对正数M，存在正整数N，只要m,n>N时就有nA>A〃>M，由(3.12)式对一切的xgu(x,o)c(a,b)就有

0u(x)++u(x)1n mjAm+1f(x,y)dy+ +jAn+1f(x,y)dyA,m=JAn+1f(x,y)dy<8An这就证明的级数(3.10)在(a,b)上局部一致收敛。(充分性)用反证法，假若含参量反常积分j+8f(x,y)dy在(a,b)上不局c部一致收敛，则存在某个8>0，xG(a,b)使得对任意的M>c0 0在相应的A，>A〃>M和xgu(x,o)c(a,b)，使得0jAjA”A'f(x,y)dy>801现取M=max{1,c}，则存在A>A>M及xgu(x,o)c(a,b)使得2 111 0般的取M=max般的取M=max1A1,A2(n>2)'(n-1)0，则有A>A>A及xg

2n 2n-1 n1使得jA2nAjA2nA2n-1f(x,y)dy>8n(3.13)由上述所得到的数列｛A｝是递增数列

n且limA=+8nn-8现考察级数汇上n+1f(x,y)dy=艺u(x)n=1A

n=n=1就有某个由(3.13)式知存在正数8，对任何的正整数N，只要n>N，就有某个0xgu(x,o)c(a,b)使得)|=JA2n+1A2n这与级数（3.11）在（〃,b）上局部一致收敛相矛盾，故含参量反常积分J"f（x,y）dy在（a,b）上局部一致收敛。c（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法反常积分是微积分教学中的一个难点,涉及的知识点较多,近年来考研的试题中也屡屡出现这方面的试题。许多试题按照通常的方法不易求解,本文拟提供几种特殊的计算方法。1、利用反常积分的定义和变量替换求解这种方法的主要思想是:求一个无穷上限（或下限）的反常积分,可以先将其上限（或下限）固定,然后利用变量替换的的方法求解其值,最后通过作极限手段,求得其无穷上限(或下限)的反常积分值。例12设f(x)在h+s)上连续，并且积分卜fzd(A>0)存在，试求Az积分卜于3)f)dx(9>①的值。0x解:八以加一于3)dx=J+s[(ax)ddxJ”f^dx0x AxAxJ+”07J+”旦7TOC\o"1-5"\h\z=J dz-J dzaAz bA z=JbA1(zLddz=Jbf(Ax)dxaAz a x因为以作为二元函数在A>0，xe[a,b](或\b,a])上连续，所以xlimJbf(Ax)dx=f(0)J心=f(0)lnbA-0a x ax a故 原积分=limJ+”f(ax)-f(bx)dx=f(0)lnb(a,b>0).A-0A x a2、通过建立微分方程求积分值将含参变量的反常积分看成是关于该参量的函数形式,然后求导建立一个微分方程,通过对微分方程的求解,求出原反常积分的值。

例13求积分g(a)=1e-x2cos2a.xdx的值(g(0)=).0 2解：令f(x,a)=e-x2cos2a.x则f'(x,a)=-2xe-x2sin2a.xa显然f(x,a)，f(x,a)连续。a又因对一切ae(T,+s)，xe[0,4w)有e-x2cos2a-x<e-x2,-2xe-x2sin2a-x<2xe-x2而be-x2dx收敛，所以上f(x,a)dx也一致收敛。又卜2xe-x2dx收敛，0 0 0所以卜f(x,a)dx也一致收敛。因此，由可微性定理可知g(a)可微，所以0ag，(a)Jg，(a)Js0(e-x2cos2a•x)'dx=a-J+g2xe-x2sin2a.xdx0=-=-2a・g(a)=e-x2sin2a.x曲-2aJ+ge-x2cos2a.xdx0 0即g'(a)=-2a.g(a)求解此微分方程，由g(0)=亘得g(a)=亘e-x2.223、引入收敛因子法求解有时不能在积分号下求导，但通过引入“收敛因子”之后，可以进行积分号下求导。例14计算卜业dx.0x分析用Dirichlet判别法易知该积分收敛，但积分号下求导之后积分J+s(sinpx)<pdx=J+00cosPxdx0x 0发散,不满足积分号下求导的条件。为此我们粗略地想法是引入收敛因子(3.14)考虑积分g(a)=J+